sabato 23 aprile 2011

Il "Computus" di Spencer Jones

Domani è Pasqua, e volendo inserire un post di sapore pasquale in un blog di matematica, non potevo che parlare del problema del calcolo della data della Pasqua.
Nei secoli passati si utilizzava la parola latina "computus", senza altre specificazioni, per indicare appunto questo particolare calcolo: prova dell'importanza che veniva attribuita a questo tipo di procedura.
Com'è noto, la Pasqua cristiana cade nella prima domenica successiva al primo plenilunio successivo all'equinozio di primavera. Ad esempio, la prima luna piena della primavera di quest'anno si è verificata lunedì scorso, 16 aprile: quindi per festeggiare la Pasqua dobbiamo aspettare domani. Il plenilunio precedente è stato il 19 marzo, troppo presto per considerarlo un plenilunio di primavera.
Questa curiosa regola per fissare la data in cui celebrare la resurrezione di Cristo fu stabilita al Concilio di Nicea del 325; in base ad essa, la Pasqua non può verificarsi prima del 22 marzo o dopo il 25 aprile. Quest'anno siamo quasi al limite massimo. Un giorno più in là e avremmo celebrato la più importante ricorrenza cristiana insieme alla Liberazione: l'ultima volta che accadde fu nel 1943, quando la seconda guerra mondiale era ancora in corso e il 25 aprile 1945 era di là da venire. La prossima volta sarà nel 2038.
Tre anni fa la Pasqua cadde, al contrario, molto "bassa": il 23 marzo, un solo giorno dopo il limite inferiore. Per vedere una Pasqua festeggiata il 22 marzo si deve risalire addirittura al 1761, e la prossima volta sarà nel 2285!
Come è ragionevole supporre, non tutte le date comprese tra il 22 marzo e il 25 aprile sono ugualmente probabili come date pasquali: ad esempio le Pasque basse sono, come abbiamo visto, piuttosto rare.
La figura seguente illustra la distribuzione statistica: come vedete le date comprese tra il 28 marzo e il 20 aprile sono più o meno equiprobabili, con un curioso picco positivo in corrispondenza del 19 aprile, mentre le date "basse" e "alte" sono progressivamente più rare mano a mano che ci si avvicina ai limiti consentiti.

Come si esegue il "Computus"?
L'algoritmo più famoso è sicuramente quello scoperto dall'onnipresente matematico Carl Friedrich Gauss, ma questa procedura ha il difetto di utilizzare un parametro che varia a seconda dell'intervallo di due secoli che si considera.

Un algoritmo che non presenta questa aspetto "poco elegante" (sono certo che Gauss da lassù mi perdonerà per questa impertinenza) è riportato sul prezioso libro "Astronomical Algorithms" di Jean Meeus (edito da Willmann-Bell), ma venne descritto da Spencer Jones (nella foto accanto) nel suo volume "General Astronomy" del 1922.
Jones fu un illustre astronomo inglese, noto anche per essersi occupato, intorno al 1940, dell'affascinante problema dell'esistenza della vita su altri pianeti.
Il metodo di Jones, valido per il calendario gregoriano e per qualsiasi secolo, richiede, come unico dato di partenza, l'anno X del quale si desidera calcolare la data della Pasqua, e consiste nell'eseguire, in dieci passi, alcune divisioni, per ognuna delle quali occorre annotare quoziente e resto.
La tabella seguente dovrebbe fornire la descrizione completa dell'algoritmo.


Dividere per quoziente resto

1) l'anno X 19 a
2) l'anno X 100 b c
3) b 4 d e
4) b + 8 25 f
5) b - f + 1 3 g
6) 19a +b -d - g + 15 30 h
7) c 4 i k
8) 32 + 2e + 2i - h - k 7 l
9) a + 11h + 22l 451 m
10) h + l -7m + 114 31 n p


Una volta arrivati in fondo, n indica il mese in cui cade la Pasqua nell'anno X: 3 sta per marzo, 4 per aprile; e p+1 indica il giorno della Pasqua.
Ad esempio, prendiamo X = 2011. Dividendo 2011 per 19 otteniamo il resto a=16 (passo 1), e dividendolo per 100 otteniamo il quoziente b=20 e il resto c=11 (passo 2).
Se dividiamo b=20 per 4 (passo 3), il quoziente è d=5 e il resto è e=0; nel passo 4, b+8=28 va diviso per 25, fornendo il quoziente f=1.
Il passo 5 ci chiede di dividere b - f + 1 = 20 per 3, e otteniamo il quoziente g=6.
Nel passo 6, dividiamo 19a +b -d - g + 15 = 328 per 30, annotandoci il resto h=28.
Dividendo poi c=11 per 4 (passo 7), otteniamo il quoziente i=2 e il resto k=3.
Al passo 8, calcoliamo 32 + 2e + 2i - h - k = 5 diviso 7, e il resto è l=5.
Dividendo a + 11h + 22l = 434 per 451 (passo 9), otteniamo il quoziente m=0, e infine (passo 10), dividiamo h + l -7m + 114 = 147 per 31, ricavando il quoziente n=4 e il resto p=23.
Il valore n=4 ci dice che la Pasqua cadrà in aprile, e p+1=24 ci fornisce il giorno esatto, domani appunto.
Buona Pasqua a tutti i lettori di Mr. Palomar!

domenica 17 aprile 2011

Strani sonetti

Sicuramente molti lettori hanno già sentito parlare dell'OuLiPo, e sanno cos'è: un gruppo di scrittori di lingua francese, fondato nel 1960, che inventò interessanti tecniche di scrittura "vincolata", spesso legate a criteri matematici.
Due celebri membri dell'OuLiPo furono Raymond Queneau, autore de "I fiori blu", di "Zazie nel metro" e degli "Esercizi di stile", e Georges Perec, che, come già raccontato in questo blog, utilizzò un quadrato greco-latino per dare una struttura al suo romanzo "La vita, istruzioni per l'uso".
Sulle tecniche di scrittura oulipiane si potrebbero riempire centinaia di post di interesse matematico: ma vorrei limitarmi ad un esempio piccolo piccolo, che vi propongo in forma di enigma domenicale.
Uno dei componenti dell'OuLiPo, certo meno noto di Perec e Queneau, fu Jacques Bens (1931-2001), il quale inventò una forma alternativa di sonetto, e riempì addirittura un intero libro con 41 esempi di questa nuova struttura.
Il sonetto classico è formato da quattordici versi, di solito endecasillabi, raggruppati in strofe composte rispettivamente da 4, 4, 3 e 3 versi (in totale appunto 14).
Per illustrare la struttura classica del sonetto propongo il seguente celebre esempio dantesco:

Tanto gentile e tanto onesta pare

Tanto gentile e tanto onesta pare
la donna mia quand'ella altrui saluta,
ch'ogne lingua deven tremando muta,
e li occhi non l'ardiscan di guardare.

Ella si va, sentendosi laudare,
benignamente d'umiltà vestuta;
e par che sia una cosa venuta
da cielo in terra a miracol mostrare.

Mostrasi sì piacente a chi la mira,
che dà per li occhi una dolcezza al core,
che 'ntender no la può chi non la prova:

e par che de la sua labbia si mova
uno spirito soave pien d'amore,
che va dicendo a l'anima: Sospira.


Il sonetto di Bens utilizza invece una struttura di strofe costituite rispettivamente da 3, 1, 4, 1 e 5 versi. Eccone un esempio:

Mélancolique

Je vais donc retrouver mes anciens horizons,
Cette odeur pas perdue des vents et des maisons.
J’ai l’air d’abandonner, mais n’ayez nulle crainte:

Si je quitte Paris, c’est pour le mieux aimer.

On incline à brusquer une banale étreinte.
Mais que vaut cet orgueil qui n’est plus de saison?
Allez donc réunir le cœur et les raisons.
La ville, en souriant, laisse sa rude empreinte:

Si je quitte Paris, c’est pour vous mieux aimer.

Vous mieux aimer, je ne pouvais y croire, mais
Je vois bien qu’aujourd’hui le présent nous emporte.
Il me faut, pour vous voir, m’éloigner quelque peu.
J’enferme mes regrets, puisque cela se peut,
Après avoir glissé ma clé sous votre porte.


Lascio ai lettori due compiti: il primo è tradurre il sonetto dal francese, il secondo, più interessante dal punto di vista della matematica giocosa, è capire il motivo di questa particolare struttura.
Non è affatto difficile, sono sicuro che l'avete tutti capito: il primo che inserirà un commento con la soluzione esatta meriterà un pubblico elogio su un prossimo blog.

domenica 10 aprile 2011

Il nodo dei Led Zeppelin

Pochi giorni fa vi ho parlato delle meraviglie matematiche celate nel disco "Ummagumma" dei Pink Floyd. Quell'album uscì nel 1969. Un paio di anni dopo, i Led Zeppelin, altra grande band del rock britannico, realizzarono il quarto album della propria discografia, che essendo privo di un titolo ufficiale passò alla storia come "Led Zeppelin IV".

Il disco ebbe un successo enorme in tutto il mondo, e si stima che furono vendute circa 32 milioni di copie. Una delle canzoni contenute nell'album, "Stairway to Heaven", diventò uno dei brani più celebri della storia del rock.
In "Ummagumma" gli aspetti matematici non si nascondevano nelle canzoni, ma nella copertina: una cosa simile avviene anche in questo disco dei Led Zeppelin, curatissimo negli aspetti grafici e simbolici.

Sul recto della copertina (cioè sul davanti) appare l'immagine di una parete, con la carta da parati sbrindellata: appesa al muro, una vecchia cornice racchiude una fotografia di un contadino con una grossa fascina di legname sulle spalle.

Nell'interno della copertina, si ammira un disegno ispirato alla figura dell'Eremita dei tarocchi, mentre nella quarta di copertina, sopra i titoli delle canzoni, osserviamo quattro simboli misteriosi.
I quattro Led Zeppelin decisero infatti di firmare il loro disco ciascuno con un simbolo scelto personalmente.
Il primo simbolo, quello scelto da Jimmy Page, fu disegnato personalmente dal chitarrista: si trattava di uno strano segno, vagamente rassomigliante alla parola "ZoSo", ma del quale Page non rivelò mai il significato e l'origine.

Anche il quarto dei simboli raffigurati, associato al cantante Robert Plant, era originale, e pare ispirato ad una simbologia legata al mitico continente Mu.
Il secondo e il terzo simbolo, rispettivamente scelti dal bassista John Paul Jones e dal batterista John Bonham, furono trovati sul famoso "Book of Signs" di Rudolf Koch.
Il simbolo di Bonham raffigurava tre anelli intrecciati, associati alla triade di madre, padre e figlio; ma è quello di Jones che merita qualche parola in più in un blog come questo, dato il suo interesse geometrico.

Il nome tecnico della figura scelta dal bassista è "triquetra". Si tratta di una strana forma che si può costruire utilizzando esclusivamente dei cerchi. In che modo? Prendete due cerchi uguali, e intersecateli tra loro come mostrato nella figura a fianco, facendo in modo che il centro di ognuno si trovi sulla circonferenza dell’altro. L’intersezione tra i due cerchi è la figura centrale bianca, detta “vesica piscis”, cioè vescica di pesce, o anche “mandorla”. Questa semplice figura geometrica cela in sé una interessante particolarità matematica. Se calcoliamo il rapporto tra la sua altezza e la sua larghezza, otteniamo esattamente il valore della radice di 3. Gli antichi greci si erano accorti di questa proprietà, che d’altra parte può essere dimostrata per via geometrica abbastanza facilmente.
Per le sue proprietà geometriche e matematiche, la “vesica piscis” è sempre stata un simbolo religioso e mistico, non solo in India, nella Mesopotamia antica e in varie civiltà asiatiche e africane, ma anche nel Cristianesimo. La mandorla venne associata alla figura di Cristo in quanto legata al concetto di seme e quindi simbolo di vita; inoltre, essendo l’intersezione tra due cerchi, apparve come simbolo perfetto di Cristo in quanto ponte tra il mondo materiale e quello spirituale, tra l’uomo e Dio.

Bene, ora che conosciamo e abbiamo imparato a costruire una “vesica piscis”, la possiamo usare per costruire la triquetra: è importante sapere che per raggiungere il nostro obiettivo non ci basterà una “vesica piscis”, e nemmeno due, ma ce ne serviranno ben tre, che dobbiamo sovrapporre tra loro come indicato nella figura qui sotto.


I lettori più smaliziati si saranno però accorti che la triquetra mostrata nella figura non è soltanto una sovrapposizione di tre figure a forma di mandorla: o meglio, può essere vista anche così, ma può anche essere costituita come una linea, intrecciata mirabilmente a se stessa, che disegna il contorno delle tre “vesicae piscis”. Costruita così, la nostra triquetra è a tutti gli effetti un nodo, e in particolare il cosiddetto “nodo a trifoglio”. Gli esperti di araldica riconosceranno in questo tipo di nodo un simbolo molto utilizzato negli stemmi, che riecheggia nel proprio nome la celebre leggenda del nodo di Gordio legata ad Alessandro Magno: il “nodo gordiano”.
Il profilo del nodo a trifoglio e del nodo gordiano differisce da quello della triquetra per il fatto di avere le estremità arrotondate, laddove la triquetra mostra invece le punte che le derivano dalle tre “vesicae piscis”.

Lo studio delle strutture topologiche riconducibili a nodi, cioè a curve chiuse intrecciate nello spazio, occupa nella matematica un posto non trascurabile. La teoria dei nodi ha importanti applicazioni alla fisica, alla chimica e alla biologia. Uno dei primi matematici che studiarono i nodi, già nel Settecento, fu Alexandre-Théophile Vandermonde, che molti studenti o ex studenti associano inevitabilmente al concetto matematico del determinante. In seguito a studiare i nodi furono, oltre che i matematici, anche molti fisici. Lord Kelvin nel 1867 propose la teoria degli “atomi vortice”, secondo la quale gli atomi non sono altro che mulinelli che si muovono nell’etere, annodati tra di loro; per verificare la solidità della teoria Kelvin, aiutato da altri ricercatori, si imbarcò nell’enorme impresa di compilare una tavola di tutti i nodi topologicamente distinti. La teoria degli atomi vortice non resse a lungo, e crollò quando i fisici compresero che l’etere non esisteva; ma le ricerche sui nodi compiute da Kelvin e dagli altri matematici rimasero preziose e vennero continuate. Oggi lo studio matematico dei nodi e dei cosiddetti “link” (cioè collezioni di nodi) rappresenta una delle più complicate, interessanti e attive branche della matematica. Uno dei punti di contatto con la fisica è oggi rappresentato dalla teoria delle stringhe, tra le candidate a fornire una modalità di conciliazione tra la relatività generale e la fisica quantistica.
La triquetra, in particolare, rappresenta, nella teoria dei nodi, l’esempio più semplice di nodo non banale. Se la “vesica piscis” era stata usata come simbolo di Cristo, la triquetra venne spesso associata alla Trinità, e tale associazione appare abbastanza ovvia se consideriamo la natura “triplice” di questa figura.
Il simbolo della triquetra appare spesso nell’arte e nella cultura germanica e in quella celtica.

Insomma, quando John Paul Jones scelse questo simbolo per firmare, assieme agli altri tre Led Zeppelin, il loro capolavoro del 1971, scelse una figura semplice, figlia soltanto di umili cerchi, ma sorprendentemente densa di matematica, di storia, di cultura.