Dividere per zero (parte seconda)

George Berkeley

L’impossibilità di assegnare un valore alla divisione per zero è divenuto un solido pilastro della matematica soltanto in tempi molto più recenti: uno dei primi riferimenti è presente nel saggio The Analyst pubblicato nel 1734 da George Berkeley.
D’altra parte, è possibile convincersi di questo anche senza ricorrere a false dimostrazioni come quella precedente. Per esempio, a scuola abbiamo imparato che 6∶3=2 perché 2∙3=6. Analogamente, se, dato un certo numero a diverso da zero, potessimo calcolare il risultato della divisione a∶0, la moltiplicazione di questo per zero dovrebbe restituirci a. Per esempio, se 4∶0 fosse un numero, moltiplicando questo numero per zero dovremmo ottenere 4. Ma lo sanno tutti che moltiplicando un numero qualsiasi per zero si ottiene irrimediabilmente zero. Quindi la divisione per zero è impossibile.
E se lo stesso a fosse uguale a zero? In questo caso il ragionamento da svolgere sarebbe un po’ diverso: il risultato della divisione 0∶0, moltiplicato per zero, dovrebbe restituire zero. Per quanto appena detto, qualsiasi numero potrebbe andare bene, cioè la divisione 0∶0 potrebbe avere un risultato qualsiasi. Ma in matematica non possiamo permetterci il lusso di avere operazioni indeterminate, in cui qualsiasi numero è un risultato accettabile. La divisione tra due numeri deve avere un unico risultato corretto, altrimenti la dobbiamo bollare come priva di significato. Così anche la divisione di zero per se stesso non è definita, è un nonsense matematico.

Non siete ancora persuasi che la divisione per zero rappresenta il crimine matematico più nefando e imperdonabile? Lasciatevi allora convincere da un esempio musicale. Immaginate che una rock band debba registrare dodici canzoni per il prossimo disco e che decida di suddividerle in gruppi, così da programmare al meglio le giornate di lavoro in studio di registrazione. Se i pezzi sono già ben rodati, può darsi che in un giorno si possano produrre tutti e dodici i brani: in tal caso basterà un’unica giornata di lavoro (12∶ 12 = 1). Se invece si decide di registrare 6 canzoni al giorno, serviranno 2 giornate (12∶ 6 = 2). Se la band volesse fare le cose in modo molto puntiglioso, potrebbe decidere di dedicare un’intera giornata a ciascun brano, impiegando così ben 12 giorni per completare il disco (12∶1 = 12). E se i musicisti, presi da un’improvvisa svogliatezza, decidessero di registrare zero brani al giorno? Naturalmente le dodici canzoni non vedrebbero mai la luce, nemmeno dopo un numero infinito di giornate, e addio sogni di gloria. In altri termini, sommando tra di loro tanti zeri otteniamo sempre zero e non possiamo mai arrivare a 12. Quindi la divisione 12∶0 non ha alcun risultato sensato.
Un ragionamento analogo potrebbe essere sviluppato fissando il numero di giornate di lavoro anziché quello di pezzi per sessione. Se la band decide di lavorare per 12 giorni, registrando un numero fisso di pezzi a giornata, dovrà dedicarsi ogni giorno a 1 solo brano (12∶ 12 = 1). Volendo concludere le sessioni dopo 6 giorni, ogni giornata sarà dedicata a 2 canzoni (12∶ 6 = 2). E così via. Se i musicisti volessero cavarsela in una sola giornata, registrerebbero tutti i pezzi in una sessione (12∶ 1 = 12). Ma se pensassero di impiegare zero giornate, saremmo autorizzati a dubitare della loro sanità mentale, perché non c’è modo di programmare le 12 registrazioni se sul calendario non ci sono date riservate a questa attività. Ancora una volta abbiamo constatato che non è possibile dividere 12 per 0.

Torniamo ai Pet Shop Boys e alla loro “Two Divided by Zero”. Come abbiamo visto, Chris Lowe era erroneamente convinto che il risultato della divisione per zero fosse una quantità infinita. Se avesse dato retta a Neil Tennant e a Bobby Orlando, che si ricordavano dell’illegalità di questa operazione aritmetica, all’interpretazione metaforica “due divisi da nulla” avrebbe potuto aggiungere un ulteriore, ingegnoso significato: è assurdo provare a dividere i due amanti protagonisti della storia, così come è impossibile tentare di dividere due per zero.
Mi piace fantasticare che la voce sintetica del computer sia stata una trovata del duo britannico per alludere all’aspetto computazionale della divisione per zero. Chiunque si sia cimentato, anche non in maniera approfondita, nell’arte della programmazione, avrà sperimentato almeno una volta la fastidiosa sensazione di vedere un proprio programma arrestarsi sbandierando il triste messaggio di errore “Division by zero”. Se avete una calcolatrice (al limite anche quella virtuale sul vostro computer), vi basta premere di seguito i tasti [2], [:] e [0] per ottenere un simile messaggio al posto di un normale risultato numerico.
La maggior parte dei processori e dei linguaggi informatici genera un errore quando un programma tenta di dividere per zero. Se ne accorsero, loro malgrado, i membri dell’equipaggio dell’incrociatore USS Yorktown il 21 settembre 1997, quando la nave della Marina americana si fermò all’improvviso durante alcune manovre di addestramento al largo di Cape Charles in Virginia.

L'incrociatore americano USS Yorktown

Che cos’era accaduto? Uno dei tecnici della nave, incaricato di risolvere un problema meccanico riscontrato in una valvola del carburante, aveva pensato di calibrare e resettare il dispositivo da remoto, attraverso un’applicazione informatica collegata al database del sistema di controllo della propulsione. Per eseguire l’intervento, digitò uno zero in uno dei campi dell’applicazione, ma questa tentò di dividere un numero per la quantità nulla inserita dal tecnico, generando uno sciagurato errore di divisione per zero. Come dicono gli informatici, l’applicazione andò in crash e innescò una malaugurata catena di errori che provocò infine il blocco totale della nave. La Yorktown era stata utilizzata con successo dal 1984, anche in operazioni di guerra, senza mai riportare incidenti, ma quel giorno rimase come morta per due ore e 45 minuti. Alla fine i tecnici riuscirono a sbloccare i motori e a ricondurre la nave nel porto di Norfolk. Proprio l’impossibilità matematica della divisione per zero aveva annichilito gli ottantamila cavalli vapore di quel colossale incrociatore.

Può darsi che l’incidente della Yorktown avesse contribuito ad attirare l’attenzione di molti sulla questione aritmetica della divisione del zero: fatto sta che nel 2003 addirittura un intero album musicale fu intitolato a questa operazione proibita. "Division by Zero" è un CD del 2003 del musicista svedese Hux Flux, al secolo Dennis Tapper, noto per le sue produzioni di psychedelic trance e prematuramente scomparso nel 2018. A Tapper la matematica doveva piacere molto, visto che i suoi brani sfoggiano titoli come "Calculus", "Logarithmic", "Finite Automata", "Numerous Numerics", "Equivalent Equations", "Numbers" (quest’ultimo contiene perfino un frammento tratto dal film Pi di Darren Aronofsky, dedicato al pi greco). Lo strano caso dell’incrociatore americano ebbe un’altra curiosa conseguenza: l’ingresso della divisione per zero nell’immaginario ironico dei nerd, nel mondo dei meme di internet e nello slang della rete. Alla fatidica operazione è infatti associato un significato metaforico che ha che fare con un’azione proibita e al tempo stesso irrimediabilmente catastrofica: un po’ come il leggendario pulsante rosso dello Studio Ovale che, una volta premuto, scatenerebbe la guerra mondiale nucleare (senza la possibilità di premere un altro pulsante di annullamento dell’operazione). In questa giocosa simbologia telematica, la divisione per zero è spesso collegata alla frase interrotta “OH SHI-“: la naturale e disperata imprecazione di chi si è accorto di aver compiuto un errore analogo a quello del tecnico della Yorktown… ma troppo tardi.

Un internet meme associato alla divisione per zero

In alcuni sistemi informatici, tuttavia, la divisione per zero non è considerata causa di errore, ma produce un risultato associato a una quantità infinita. Sia chiaro: questo non significa che la questione della divisione per zero sia controversa o soggettiva e che si possa affermare che il risultato dell’operazione sia uguale a infinito.
Insomma, Bhaskara II aveva torto e Tennant ricordava le lezioni di matematica del liceo meglio del collega Lowe. Ma la faccenda non può essere liquidata così: adesso vi devo spiegare cosa c’entra la divisione per zero con il vertiginoso concetto matematico dell’infinito.
Anche se non possiamo eseguire una divisione come 1:0, possiamo tuttavia provare a dividere 1 per numeri via via più piccoli e vedere cosa succede.

Per esempio:

1:1=1
1:0,1=10
1:0,01=100
1:0,001=1000
1:0,0001=10000
1:0,00001=100000
eccetera.

Visto? Man mano che i divisori si rimpiccioliscono, cioè si avvicinano allo zero, i risultati della divisione diventano sempre più grandi. Possiamo esprimere questo fatto affermando che, al tendere del divisore a zero, il quoziente della divisione tende a una quantità positiva e infinita. Attenzione però: questo non significa che possiamo eseguire la divisione per zero. Significa soltanto che la sequenza dei quozienti delle divisioni sopra riportate ha un valore limite: tale valore viene indicato con il simbolo +∞ (“più infinito”). Questo valore non è un numero, ma rappresenta una tendenza, un avvicinamento illimitato a valori positivi sempre più grandi.
Dobbiamo sottolineare un altro fatto. Se, anziché considerare divisori positivi sempre più piccoli e sempre più vicini a zero, avessimo preso in esame divisori negativi sempre più grandi e quindi sempre più prossimi a zero, avremmo ottenuto una sequenza di questo tipo:

1:(-1)=-1
1:(-0,1)=-10
1:(-0,01)=-100
1:(-0,001)=-1000
1:(-0,0001)=-10000
1:(-0,00001)=-100000
eccetera.

In questo caso, al tendere dei divisori a zero, i risultati della divisione diventano numeri il cui valore assoluto è sempre più grande. Tuttavia, trattandosi di numeri negativi, il loro valore limite corrisponde a una quantità infinita ma negativa, indicata con il simbolo -∞ (“meno infinito”).
Il fenomeno è ben illustrato dalla figura seguente.

Valore limite del risultato della divisione per quantità tendenti a zero

Il grafico mostra sull’asse orizzontale i valori di x e sull’asse verticale i corrispondenti quozienti 1:x. Quando x assume valori positivi, anche il quoziente è positivo (infatti il grafico è tutto nel primo quadrante, cioè quello in alto a destra): in particolare, quando ci si sposta da destra verso l’asse verticale perché si considerano valori di x sempre più prossimi a zero, il grafico si impenna verso l’alto, perché i quozienti tendono a inerpicarsi sull’inarrivabile vetta di +∞. Quando invece x è negativo, lo è anche il corrispondente quoziente (e il grafico è contenuto nel terzo quadrante, ovvero quello in basso a sinistra): quando ci si avvicina da sinistra verso l’asse verticale considerando valori di x sempre più vicini a zero, il grafico precipita in basso, per rappresentare la tendenza dei quozienti all’irraggiungibile abisso di -∞.
Una cosa è certa ed evidente anche dalla figura: il grafico non si azzarda mai a toccare l’asse verticale. Vi si avvicina indefinitamente, sia da destra che da sinistra, quando x si avvicina sempre di più a zero, ma si guarda bene dal raggiungerlo, perché x non può mai valere esattamente zero. I matematici usano il termine asintotico (dal greco asymptotos, che significa “che non si incontra”) per indicare un avvicinamento di questo tipo, eterno, costante ma mai coronato dal successo.
A me tutto questo ricorda molto la vicenda di un innamorato che, irresistibilmente attratto dalla persona amata, le si avvicina sempre più, ma per un incantesimo beffardo non riesce mai a raggiungerla: una sorta di tragedia romantica in chiave matematica. È una metafora di segno opposto rispetto a quella concepita da Tennant e Lowe in “Two Divided by Zero”: là, infatti, i due protagonisti sono uniti per l’eternità e non si divideranno mai.
In entrambi i casi a stabilire i destini ultimi dei protagonisti è la divisione per zero, anzi la sua impossibilità. Non osate scherzare con questo fuoco, cari lettori. Non arrischiatevi a scavalcare le recinzioni innalzate dall’assurdità di questa operazione, non sognatevi mai di scrivere uno zero sotto una linea di frazione: non vorrete mica causare un’avaria a qualche incrociatore americano, o provocare un disastro apocalittico come quelli evocati dai nerd della rete, vero?