Numeri coprimi, ritardi e... stomp-stomp-clap!

Ho deciso di scrivere questo post invogliato dall'imminente Carnevale della Matematica di febbraio, come da tradizione ospitato dai magnifici Rudi Mathematici. Il tema scelto è il "ritardo", declinato in tutte le sue possibili accezioni.
Gli amici Rudi ironizzano spesso sul ritardo con cui la loro celebre e-zine mensile tende a uscire: tuttavia, per quanto ne so, mai hanno perso un colpo, il che dimostra che i loro ritardi sono in realtà cosa trascurabile rispetto alla magnificenza della loro ormai più che ventennale opera divulgativa. Se c’è un colpevole e recidivo ritardatario, invece, questo è proprio Mr. Palomar, che spesso e volentieri scompare per mesi dai radar. Per questo, mi è sembrato particolarmente significativo raccogliere il guanto di sfida dei Rudi e proporre una mia variazione sul tema del “ritardo”.
Per declinare questo concetto in chiave matematica, ho deciso di prenderla larga, e di partire dai numeri coprimi. Ma che c’azzecca, chiederete voi. Abbiate pazienza e provate a seguire il mio filo logico (se ne esiste uno...).

Chiudete gli occhi e pensate a due numeri interi e positivi qualsiasi. Fatto? Bene, adesso controllate se questi due numeri hanno almeno un fattore primo in comune, oppure nessuno. Per esempio, se avete scelto il 9 e il 21, c’è un fattore primo comune a entrambi, ed è 3. Questo perché sia 9 che 21 sono divisibili per 3. Se invece avete pensato, poniamo, a 12 e 35, non c’è alcun fattore primo comune. In questo secondo caso si dice che i numeri scelti sono coprimi oppure primi fra loro. Due numeri coprimi non hanno alcun divisore comune a parte il numero 1. Detto altrimenti, due numeri sono coprimi se il loro massimo comune divisore è 1.

Un'interpretazione molto suggestiva del concetto di coppia di numeri coprimi è collegata al piano cartesiano. Immaginate che il piano cartesiano sia disseminato di paletti, posti in maniera regolare in tutti i punti di coordinate intere. Dati due numeri a e b,consideriamo il punto P le cui coordinate sono proprio a e b: se P è "visibile" dall'origine, cioè nessun "paletto" si frappone tra l'origine e il punto stesso, allora a e b sono numeri coprimi. Per esempio, nella Figura 1 si vede che i numeri 9 e 4 sono coprimi.

Figura 1 - L'interpretazione "cartesiana" delle coppie di numeri coprimi

Il concetto di numeri coprimi, come potrebbe far intuire il termine utilizzato, è legato all'idea di numero primo? In parte sì. È facile comprendere che due numeri primi sono sicuramente anche primi fra loro. Comunque, affinché due numeri siano primi fra loro non è necessario che essi siano numeri primi.

Qual è la probabilità che due numeri interi positivi scelti a caso siano coprimi? Non è facilissimo calcolare questa probabilità. Potremmo farci un’idea grossolana utilizzando un approccio statistico, cioè eseguendo una serie di prove. Prepariamo una certa quantità di bigliettini, per esempio cento, sui quali scriviamo i numeri interi compresi tra 1 e 100. Poi estraiamo a caso una coppia di bigliettini e verifichiamo se i due numeri estratti sono coprimi o no. Se ripetiamo l’operazione per un numero abbastanza elevato di volte, ci accorgeremo che le coppie sono coprime circa nel 60% dei casi. In base alla legge dei grandi numeri, questo ci autorizza a ipotizzare che la probabilità cercata sia all'incirca uguale a 60%, cioè a 0,6.
Ma questa è una dimostrazione empirica, non rigorosa dal punto di vista matematico. Proviamo allora a ragionare in modo diverso. Qual è la probabilità che, preso a caso un numero intero positivo, questo sia divisibile per un certo numero primo p? Per esempio, estraendo a caso un numero intero compreso tra 1 e 100, qual è la probabilità che esso sia divisibile per 7? Be’, i numeri divisibili per 7 sono 7, 14, 21, 28, 35, e così via. Uno su sette. Il fatto che stiamo considerando i numeri fino a 100 è irrilevante. La probabilità cercata è quindi, in generale, uguale a 1/p.
E se invece di un solo numero ne estraiamo due, a caso? Qual è la probabilità che entrambi siano divisibili per il numero primo p? Trattandosi dell’intersezione di due eventi indipendenti, essa è uguale al prodotto delle singole probabilità, cioè a

È un po’ come la probabilità di ottenere 2 lanciando due dadi: equivale alla probabilità di ottenere 1 su entrambi i dadi, cioè

 
La probabilità che nessuno dei due numeri estratti a caso sia divisibile per il numero primo p, a
questo punto, è la probabilità dell’evento complementare, cioè è uguale a

È analogo a determinare la probabilità di non ottenere 2 lanciando due dadi: è uguale a

I due numeri scelti a caso sono coprimi se entrambi non sono divisibili per qualsiasi numero primo. Anche in questo caso siamo di fronte all'intersezione di eventi indipendenti: la probabilità che questo avvenga è quindi uguale al prodotto

Figura 2 - Eulero in un
francobollo svizzero

Lo so, probabilmente starete pensando: adesso che abbiamo espresso la nostra agognata probabilità in questo strano modo, cosa ci abbiamo guadagnato? Apparentemente non è facile calcolare il valore di quella produttoria e nemmeno stimare se esso si aggira intorno a 0,6 come ipotizzato mediante le prove empiriche.
Eppure, a chi ha qualche familiarità con l’analisi e con la teoria analitica dei numeri sarà forse venuta in mente la celebre formula del "prodotto di Eulero": 

con x reale maggiore di 1.


Da questa formula deriva che la nostra probabilità è uguale a

cioè all'inverso della funzione zeta calcolata in 2. Ora, dobbiamo dirci fortunati, perché lo stesso Eulero ci viene in soccorso nuovamente, questa volta con la sua famosa soluzione del “problema di Basilea”, risalente al 1735: la zeta di Riemann calcolata in 2 vale esattamente

per cui possiamo esultare: la probabilità che due numeri interi positivi scelti a caso siano coprimi è uguale all'inverso di quel numero, ovvero a

Quanto vale questo numero? Circa 0,608: e questo conferma i risultati delle prove empiriche di cui parlavo prima.
Un'avvertenza per il lettore curioso e desideroso di approfondimento: in un mio post di otto anni fa avevo parlato di questi due risultati di Eulero. In quel post sottolineavo la sorprendente presenza di π in un teorema che nulla ha a che vedere con la geometria, ma che scaturisce da una serie formata dagli inversi dei quadrati dei numeri interi positivi. Anche in questo caso non possiamo trattenere un’esclamazione di meraviglia nel constatare come la celebre costante dei cerchi salti fuori anche in questo calcolo di probabilità relativa a coppie di numeri coprimi.

Benissimo. Vi starete però chiedendo cosa c’entra tutto questo con l’idea di ritardo. Chi ha letto il mio libro “Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin” (Hoepli, 2019) sa che il capitolo 2 è dedicato alla celebre base ritmica di "We Will Rock You" dei Queen (sì, proprio quella: "stomp-stomp-clap! stomp-stomp-clap!") e in particolare a come l’autore Brian May riuscì a rivestirla di un effetto di riverbero basato appunto su numeri coprimi.

Come ben sa chi si occupa di musica, il riverbero si verifica quando un’onda sonora viene riflessa, anche più volte, da superfici poste lungo il proprio cammino: l’ascoltatore percepisce così non soltanto l’onda originaria, ma una miscela formata da questa e dalle onde riflesse.
Per simulare artificialmente un effetto di riverbero, il suono originale viene sovrainciso assieme a sue copie “ritardate” di qualche millisecondo (ms), in modo da imitare l’effetto del rimbalzo su una superficie riflettente (per la verità l’intensità dei suoni ritardati viene anche attenuata, così come nella realtà gli echi sono sempre meno forti del suono originale, avendo perduto parte della loro intensità nel corso del loro cammino).
Più precisamente, il chitarrista dei Queen prese ciascuno degli "stomp" e dei "clap" (registrati dai quattro della band in una chiesa sconsacrata alla periferia di Londra) e lo sovraincise più volte, introducendo ritardi diversi e, una volta misurati in millisecondi, primi fra loro.
Per esempio, come indicato nella Figura 3, potrebbe aver scelto 4 ms, 9 ms e 25 ms.

Figura 3 - Una possibile scelta di ritardi coprimi nel riverbero di "We Will Rock You"

Perché questa singolare scelta? Supponiamo che May non avesse scelto ritardi coprimi: ci sarebbe stato allora almeno un divisore comune ad alcuni di questo ritardi. Per fissare le idee, poniamo che tra i ritardi introdotti sul nostro "stomp", vi sia un divisore comune uguale a 10 ms.
L’onda sonora associata al nostro "stomp" è la somma delle sue armoniche, ciascuna caratterizzata da una frequenza multipla di quella del suono fondamentale (o, in modo equivalente, da un periodo che è divisore del periodo del suono fondamentale): se tra queste armoniche ve n’è una con periodo pari a 10 ms, essa presenterà i propri picchi di massima intensità intervallati da una distanza temporale di 10 ms.
In altri termini, se all'istante zero l’onda presenta un picco nel punto A, essa presenterà nello stesso punto un picco di uguale intensità all'istante 10 ms, all'istante 20 ms, all'istante 30 ms, e così via.

Figura 4 - La copertina di "Matematica rock"

Poiché 10 ms è divisore comune tra i ritardi scelti per il riverbero, in almeno due di questi istanti cominceranno a sommarsi anche alcune ripetizioni del nostro "stomp" perfettamente in fase con l’onda originaria, dando origine a un’onda complessiva più intensa di quella iniziale.
L’effetto finale sarà un’amplificazione selettiva delle componenti armoniche caratterizzate da periodi uguali o multipli rispetto ai ritardi scelti per il riverbero. In modo analogo, altre frequenze risulteranno fortemente attenuate, se non cancellate del tutto, come risultato della somma tra picchi e valli.
Qual è la conseguenza di tutto questo? Un’alterazione sgradevole e poco realistica del suono riverberato. Insomma, qualcosa da evitare assolutamente.
Scegliendo ritardi coprimi, Brian May evitò questo rischio.
Se volete approfondire la questione complessiva della matematica di "We Will Rock You", potete trovare pane per i vostri denti nel mio libro "Matematica rock".
Se la base ritmica del famoso pezzo dei Queen è, ancora oggi dopo più di quarant'anni, così potente, irresistibile e trascinante, un po’ di merito lo dobbiamo riconoscere  alla matematica, in particolare ai numeri coprimi, e anche ai ritardi. Vedete? Il ritardo non viene sempre per nuocere.
Delay will rock you!