Mr. Palomar

Un paio di precisazioni e una piccola "scoperta" inerenti alla questione delle scale musicali che ha riempito due lunghi post qualche settimana fa.
Prima precisazione: qualcuno mi ha fatto notare che una scala formata da una nota, ma anche da due o tre sole note, si fa fatica a considerarla una vera scala. Verissimo. Non a caso, nella prima parte del post osservavo che una scala costituita da un solo suono è qualcosa di molto strano, noioso e soprattutto inutile. Poco cambierebbe, in effetti, aggiungendo una sola altra nota o anche due: ciò che si ottiene, più che una scala, verrebbe definito da un musicista un intervallo (nel primo caso) o una coppia di intervalli (nel secondo caso). Il tutto poco utilizzabile per costruire composizioni di qualche interesse. Eppure, volendo analizzare la questione da una prospettiva matematica, il che (non essendo musicista) è ciò che ho cercato di fare nei miei due post precedenti, si pone il dubbio fondamentale: quante devono essere le no…

Stranamente questo mese riesco a segnalare l'uscita del Carnevale della Matematica il giorno stesso.
D'altra parte il Carnevale non ha certo bisogno di un Mr. Palomar qualsiasi che lo promuova, dato che è giunto ormai alla veneranda età di ottantacinque edizioni in salute perfetta e anzi via via migliore.
Il "facilitatore" di maggio è il Fondatore stesso della gloriosa celebrazione, Maurizio Codogno detto .mau., che ospita il Carnevale sulle sue Notiziole, regalandoci una carrellata di grande interesse e confezionata con maestria.

Mi si conceda un piccolo appunto, di carattere campanilista e nostalgico: non è stato menzionato che il numero dell'edizione, 85, corrisponde all'anno dello scudetto dell'Hellas Verona (come sapete sono nato nella città di Romeo e Giulietta), del quale, guarda caso, ricorre il trentennale proprio in questi giorni. Ma pazienza (ovviamente scherzavo).
Per il resto, il Carnevale merita una lettura, a partire dalla sbarazzina cita…

Nella prima parte di questo post ho raccontato come sia possibile "contare" le scale musicali possibili. Il conteggio finale è contenuto nella tabella che ho riportato alla fine del post precedente, e che per comodità ripropongo di seguito: le scale in tutto risultano essere 2048.

La "cardinalità" di una scala, cioè il numero di note che essa contiene, può variare tra 1 e 12, perché 12 sono i semitoni di un'ottava, ovvero gli intervalli più piccoli ammessi dal sistema occidentale equabile.
Per ogni possibile cardinalità della scala, come ho mostrato nella prima parte, esiste un certo numero di possibili partizioni del 12, ovvero modi di sommare più numeri per ottenere un totale di 12, il che equivale a dire che esiste un certo numero di modi di suddividere l'ottava in più intervalli, ciascuno formato da uno o più semitoni. Per complicare le cose, da ogni partizione possono derivare, in generale, più note, perché è importante anche l'ordine in cui si su…