Germogli

Stamattina sono uscito a fare una breve passeggiata con mia moglie alle pendici delle colline veronesi. Dopo molti giorni grigi, finalmente il sole ha fatto capolino lanciando una promessa di imminente primavera, e la visione luminosa degli alberi in fiore e dei nuovi germogli ci ha fatto bene al cuore.
D'altra parte, oggi è Pasqua, festa di resurrezione per antonomasia, la cui data è legata, anche matematicamente, a quella dell'equinozio di primavera.

Ma dicevo dei germogli. Esiste un gioco che porta proprio questo nome (in inglese sprouts), e non credo che esista una stagione migliore di questa per provare a giocarci.
Il gioco nacque nel 1967 nella mente geniale di John Conway, ideatore anche dell'automa cellulare Game of life, dell'algoritmo Doomsday per calcolare i giorni della settimana, dei numeri surreali e di molte altre meraviglie matematiche. A plasmare l'idea collaborò anche un collega di Conway a Cambridge, Michael Paterson.
Il gioco dei germogli ebbe subito un grande successo, come ricorda lo stesso Conway:

"Il giorno in cui i germogli incominciarono a germogliare sembrava che tutti, tra una lezione e l'altra, al caffè o nella pausa per il tè fossero presi dal nel nuovo gioco. In ogni angolo c'erano gruppi di studenti e professori che analizzavano movimenti e strategie dei germogli"

Come si gioca a Germogli? E' molto semplice: basta un foglio di carta e due giocatori, forniti ciascuno di una matita.
Si comincia tracciando sul foglio alcuni punti (o pallini): ne bastano pochi, ad esempio sette o otto.
A turno, ogni giocatore traccia una linea che unisca due punti (se si preferisce, la linea può partire da un punto e finire sullo stesso punto), e segna sulla linea tracciata un nuovo punto.
La linea può avere una forma qualunque, ma non deve intersecare le altre linee già presenti, né attraversare i punti esistenti. Per dirla matematicamente, il grafo del gioco deve mantenersi planare.
Il nuovo punto non deve coincidere con uno dei due punti estremi della linea: tipicamente viene disegnato intorno alla metà della linea, in modo da suddividerla, di fatto, in due nuove linee.
Esiste un'ultima regola da rispettare: da ogni punto non possono partire più di tre linee.
Vince il giocatore che, dopo aver tracciato la sua linea, mette l'avversario nelle condizione di non poter tracciare nuove linee.
Tutto qui.

Com'è noto, in matematica "bello" è quasi un sinonimo di "semplice". Ma "semplice" è il contrario di "complicato", e non di "complesso". Complicato è male, complesso è bene, si potrebbe sintetizzare. Tanto è vero che molte idee semplici, come i germogli di Conway, danno origine a meravigliose complessità, che rimangono belle e per nulla complicate.
La bellezza e l'eleganza hanno spesso a che fare con la complessità che, a sorpresa, sgorga dalla semplicità.
Il gioco "primaverile" di Conway è, in questo senso, un esempio brillante di semplicità e bellezza matematica: non stupisce quindi il fatto che sia stato ideato da un matematico e che molti matematici, a partire dallo stesso autore (in particolare nel suo libro "On Numbers and Games"), lo abbiano studiato in profondità.

Nelle tre figure seguenti è illustrata una semplice partita, con un solo punto iniziale (indicato in rosso). Come mostrato nella prima figura, il primo giocatore traccia una linea dal punto iniziale a se stesso, creando un nuovo punto (indicato in nero). Il secondo giocatore ha due mosse a disposizione, illustrate nelle due figure successive, ma entrambe lo portano alla vittoria, in quanto bloccano le mosse del primo giocatore.

In generale non esiste una strategia per giocare a Germogli, ma l'analisi del gioco porta a individuare metodi vincenti, suggerendo quali curve chiuse o aperte convenga tracciare per bloccare l'avversario. Ma tornerò sull'argomento nei prossimi post.
Per adesso, vi invito a cimentarvi nel gioco, per scoprire quanto possa essere un gioco divertente e metematicamente affascinante.
Ad esempio, per queste vacanze pasquali, potrebbe essere un'ottima alternativa alle gite fuori porta, rese impossibili dal tempo che non sembra affatto essersi messo al bello stabile.
Buona Pasqua e buona Pasquetta con i germogli!