sabato 23 giugno 2012

Buon compleanno, Alan

Oggi Alan Turing compirebbe 100 anni. Peccato sia morto, appena quarantaduenne, nel lontano 1954, e in circostanze tra l'altro alquanto incresciose (non per lui, ovviamente, ma per il governo inglese che troppo tardi e goffamente ha riconosciuto le proprie responsabilità).
Ma ve lo immaginate Turing oggi?
Sarebbe più giovane di Rita Levi Montalcini, di ben tre anni.
Ve lo immaginate, il fondatore dell'informatica teorica e dell'intelligenza artificiale, nell'epoca degli iPad e degli smartphone, dei computer quantistici e dei computer a DNA?
E ve lo immaginate, il crittoanalista che durante la seconda guerra mondiale decifrò il codice Enigma usato dai nazisti, alle prese con le problematiche di sicurezza della rete?
Buon compleanno, Alan.  L'informatica continuerà ad evolvere continuamente e rapidamente dal punto di vista tecnologico, come ha sempre fatto finora; nuovi framewok, linguaggi, sistemi operativi compariranno e sostituiranno i precedenti. Ma la base teorica di tutto questo, che conta molto più dei dettagli tecnologici, attingerà, anche fra mille anni, alle ricerche fondamentali di quell'uomo che, come nella favola di Biancaneve, si spense addentando una mela avvelenata.

giovedì 21 giugno 2012

Da Diego Bricio Hernandez ai Van Der Graaf Generator

Il mio professore di Analisi Matematica 1 (e poi anche 2) all'Università era messicano. Si chiamava Diego Bricio Hernandez, e aveva una faccia rotonda e simpatica. Ad ogni lezione dimostrava il suo genio matematico: riusciva a inventare al momento le dimostrazioni dei teoremi, e sapeva affascinare noi studenti con una visione della matematica che, ricordo bene, mi era sembrata improvvisamente diversa, molto più vasta, difficile e stimolante di quella che avevo studiato al liceo.
Dal febbraio 1992 il mio libretto poté vantare la presenza di ben due sue firme (in particolare quella accanto al 30 in Analisi 1): ma non avrei immaginato che quel brillantissimo matematico poco più che quarantacinquenne avrebbe terminato i suoi giorni pochi mesi dopo. In effetti lo seppi molti anni dopo, e mi dispiacque molto.
Tra i molti aneddoti legati a lui, ne ricordo uno: una mattina scrisse alla lavagna la celebre identità di Eulero
e^{i\pi}+1=0 \;
e disse: "Ragazzi, questa è la più bella formula della matematica. Guardatela. Ci sono tutte le cose più basilari della matematica: c'è il numero e, c'è i, c'è π, c'è lo zero, c'è l'uno, c'è l'addizione, c'è l'uguaglianza, c'è l'elevamento a potenza. C'è tutto. Non c'è una formula più bella di questa."

Anche il gruppo rock dei Van Der Graaf Generator, famoso soprattutto negli anni 70 nella stagione progressiva, ha reso omaggio a questa così elegante eguaglianza, nel brano intitolato semplicemente "Mathematics".





Il testo è alquanto significativo (lascio a voi l'onere della traduzione):

Here be numbers transcendental,
on an imaginary axis spun,
decimal places without limit
and zero and one.

Mathematics,
simply pure beyond belief.

e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi is minus one
e to the power of i times pi is minus one

A single function, exponential,
just one addition must be done...
multiplication in completion
of zero, of one.

Mathematics,
just so "wow" it brooks belief.


Quella definizione della matematica, "semplicemente pura in modo incredibile", rende bene la sensazione che il prof. Hernandez sapeva suscitare nelle sue lezioni.  Oltre alla sua attività accademica, viene ricordata anche quella legata alla divulgazione della matematica, e ciò non sorprende, data la sua capacità di trasmettere con naturalezza e, direi, leggerezza, il bello che si nasconde tra teoremi e numeri.
A distanza di più di vent'anni posso essere orgoglioso di essere stato uno dei suoi allievi.

domenica 17 giugno 2012

Carnevale della Matematica #50 su Crescere creativamente

Con l'edizione di giugno, egregiamente ospitata dal blog "Crescere creativamente", il Carnevale della Matematica giunge ad un numero bello tondo di uscite: 50.
Il ragguardevole traguardo dimostra la grande salute e l'autorevolezza dell'iniziativa ideata, sulla falsariga dell'anglosassone Carnival of Mathematics, dal buon Maurizio Codogno alias .mau.
L'edizione allestita da Maestra Rosalba (volutamente "senza tema") è, come da tradizione, ricca di segnalazioni di notevole interesse; molto simpatici i disegni dei suoi alunni che hanno illustrato il post carnascialesco.
Mr. Palomar ha contribuito con le ultime due puntate del ciclo "Mr. Q", dedicato alla computazione quantistica (a propostito di Mr. Q, la quarta e ultima puntata uscirà entro pochi giorni!).
La prossima edizione del Carnevale sarà ospitata dal grande Popinga; data la concomitanza con le Olimpiadi londinesi e con la festa nazionale francese del 14 luglio, i temi saranno due: la matematica dello sport e la matematica in Francia da François Viéte a Cedric Villani.

Congratulazioni a Maestra Rosalba e a tutti i partecipanti al Carnevale!

mercoledì 6 giugno 2012

Mr. Q #3: Circuiti, uova strapazzate e grovigli

Ora che è chiaro cosa sia un qubit e come possa essere realizzato (ad esempio tramite un fotone polarizzato o una particella dotata di spin), la domanda ovvia è: come possiamo utilizzare i qubit per realizzare calcoli o eseguire algoritmi?
Insomma, come sono fatti i computer quantistici?
Come i computer classici, sono costituiti da circuiti logici: con l'unica differenza sostanziale che essi manipolano informazioni quantistiche, caratterizzate cioè dal fenomeno della sovrapposizione e da altri esotiche proprietà che scopriremo nel seguito.
Supponiamo di avere un registro contenente un qubit, e immaginiamo che lo stato del registro sia 0. Abbiamo già visto che possiamo realizzare il registro con un fotone, e che facendo passare il fotone attraverso un polarizzatore posto a 45° rispetto alla verticale il fotone può passare dallo stato 0 allo stato sovrapposto |0> + |1>.
Un altro modo per ottenere la stessa sovrapposizione è utilizzare come registro, ad esempio, un atomo di rubidio, dotato di un elettrone esterno che può essere eccitato tramite un fascio di luce laser. Se chiamiamo 1 lo stato eccitato dell'atomo, e 0 quello fondamentale (cioè non eccitato), possiamo dire che il fascio laser funziona come un circuito logico che trasforma un qubit posto a 0 in un qubit posto a 1. Qualcosa di simile all'operatore logico NOT, che converte gli zeri in uni e viceversa.
Cosa accade però se sottoponiamo l'atomo di rubidio ad una luce laser dotata di un'energia pari al 50% di quella necessaria per eccitare l'atomo? A causa delle stranezze della fisica quantistica, l'atomo non rimane nello stato fondamentale, ma non entra nemmeno nello stato eccitato: avete indovinato, entra in uno stato di sovrapposizione del tipo |0> + |1>.
Ecco quindi un altro esempio di porta logica quantistica: in questo caso l'effetto è quello di prendere un qubit posto a 0 o a 1, e porlo in uno stato di sovrapposizione. Partendo dallo stato 0, e sottoponendo due volte il qubit a questo trattamento, il risultato è quello di eccitare completamente l'atomo, che quindi arriva nello stato 1 dopo essere passato attraverso lo stato sovrapposto.
Come ha affermato il matematico Brian Hayes, "è come se avessimo inventato una macchina che strapazza le uova e poi le fa tornare come prima".


Per costruire circuiti quantistici dobbiamo poter disporre di altri operatori logici. Uno di questi, noto come trasformata di Hadamard, è molto simile a quello che ho appena descritto, con l'eccezione che applicandolo due volte non si ottiene la commutazione da 0 a 1 o viceversa, ma il ritorno nello stato di partenza:

|0>  ---->  |0> + |1>  ---->  |0>
|1>  ---->  |0> -  |1>  ---->  |1>

 La porta logica descritta in precedenza, invece, funziona così:


|0>  ---->  |0> + |1>  ---->  |1>
 |1>  ---->  |1> -  |0>  ---->  -|0>

Ma questi operatori agiscono entrambi su un solo qubit, un po' come le classiche porte NOT presenti nei nostri computer: da sole non bastano per costruire un vero computer. Ci serve una porta che prenda più di un valore in ingresso, e butti fuori dei risultati secondo una certa tabella di verità, ad esempio come le porte AND e OR dei computer classici.
Nell'ambito della computazione quantistica, una porta di questo tipo che viene utilizzata molto è nota come "NOT controllato" o porta "C-NOT".
Come funziona questo operatore logico? In modo molto semplice. Gli ingressi sono due: il primo viene denominato "controllo" (control) e il secondo "bersaglio" (target). Il controllo attraversa la porta invariata, mentre il bersaglio viene commutato solo se il controllo è a 1.


Se immaginiamo che l'ingresso di controllo sia nello stato di sovrapposizione |0> + |1>, e che il bersaglio sia posto in ingresso a |0>. Cosa accade al bersaglio in uscita?
Ho detto che il bersaglio si inverte se il controllo è a 1, altrimenti rimane invariato. Ma il controllo, nel nostro caso, è sovrapposto, per cui si potrebbe dire che il bersaglio si inverte e al tempo stesso non si inverte (un po' come il famoso gatto di Schrödinger, vivo e morto insieme). Più precisamente, lo stato del bersaglio in uscita sarà sovrapposto, ma dipenderà dalla sovrapposizione del controllo: i due qubit di uscita sono, per così dire, strettamente legati tra loro, cosicché quando il controllo è nello stato |0> lo è anche il bersaglio, e quando il controllo è nello stato |1> lo è anche il bersaglio.
Insomma, lo stato complessivo in uscita può essere scritto come |00> + |11>: una sovrapposizione di stati in cui le due uscite o sono entrambe |0> o sono entrambe |1>.  Andando a misurare i due qubit in uscita non potremmo mai trovare i valori 01 oppure 10.
Secondo l'interpretazione a molti mondi, in metà universi il controllo vale 0 e quindi il bersaglio non si inverte, e nell'altra metà il controllo vale 1, provocando l'inversione del bersaglio.
I fisici quantistici conoscono bene questo tipo di correlazione tra qubit, e la definiscono come un "groviglio" tra i due qubit: i due stati sono infatti detti entangled.  Proprio come la canzone dei Genesis del 1976.