Gli enigmi di Coelum: Moebius dentro Moebius

Con molta calma e lentezza, continuo a ripubblicare su questo blog i miei giochi matematici che trovarono spazio nella prestigiosa rivista Coelum Astronomia.
Dato che per la rubrica era stato scelto il titolo "Möbius", a un certo punto ritenni appropriato dedicare uno degli enigmi al celebre nastro.
Ebbene, questo semplice quanto sconcertante oggetto, di cui ho già raccontato su queste pagine, deve il suo nome ad August Ferdinand Möbius, matematico e astronomo tedesco nato nel 1790. Appassionato di matematica, fisica e astronomia fin da ragazzo, nel 1813 August Ferdinand andò a studiare nella prestigiosa università di Gottinga, dove ebbe il grande Carl Friedrich Gauss come insegnante. Solo tre anni Möbius dopo divenne professore di astronomia e meccanica superiore a Lipsia, dove rimase fino alla morte, avvenuta nel 1868.

Il suo contributo alla matematica è molto notevole, e spazia tra la topologia, la geometria proiettiva e la teoria dei numeri. Pare che abbia affrontato il problema della colorazione delle carte geografiche prima di Francis Guthrie, che di solito viene considerato come il pioniere in questo campo. D’altra parte, il famoso anello di Möbius non è stato descritto per la prima volta da Möbius ma da un altro matematico, Johann Benedict Listing, anche lui allievo di Gauss a Gottinga.

Costruire un nastro di Möbius è semplicissimo: basta prendere una striscia di carta e unirne le estremità dopo aver sottoposto una delle due a un mezzo giro di torsione.
Lo strano oggetto che si ottiene gode di alcune caratteristiche del tutto peculiari. Se si percorre il nastro con un pennarello, partendo da un punto qualsiasi, si scopre di poter percorrere l’intera superficie. L’anello ha quindi una sola faccia! Com’è possibile? Dopo aver percorso un giro attorno al nastro, ci si ritrova dalla parte opposta.
Ma parlare di parte opposta è fuori luogo, perché di facce ce n’è una sola. Dopo aver percorso due giri ci ritroviamo al punto di partenza.

E non basta: se si prova a seguire il bordo della striscia con un dito, ci si ritrova, dopo un giro, sul bordo “opposto”. E anche qui si ha un analogo “paradosso”: non ci sono due bordi, ma un bordo unico.
La caratteristica più sorprendente del nastro di Möbius si scopre tagliando la striscia a metà, in senso longitudinale, cioè parallelamente al bordo. Ci si aspetterebbe forse di ottenere due anelli di Möbius separati, mentre ci si ritrova con un unico anello, caratterizzato però da una torsione intera, e quindi da due bordi e due superfici diverse. Con un secondo taglio si ottengono poi due nastri con torsione intera, l’uno intrecciato all’altro.
Se proviamo a tagliare la striscia a un terzo della sua larghezza, è possibile fare due giri: alla fine si ottengono due anelli concatenati, il primo caratterizzato da una torsione intera e grande la metà del secondo, che invece è un vero nastro di Möbius, con mezza torsione.
Queste meravigliose stranezze giustificano l’interesse che questo oggetto geometrico ha suscitato, non solo tra i matematici, ma anche tra gli artisti.
L’incisore olandese Maurits Cornelis Escher ha spesso utilizzato la superficie di Möbius come fonte di ispirazione per le sue opere.


L’anello di Möbius è presente anche in molte opere letterarie e cinematografiche.
Nel 2006 il divulgatore americano Clifford Pickover ha pubblicato un libro intitolato “Il nastro di Möbius” (Apogeo 2006), interamente dedicato a questa superficie geometrica, mostrandone le innumerevoli connessioni con ogni ambito dello scibile umano.
Una curiosità: fin dall’inizio degli anni Settanta il simbolo universale del riciclo è un nastro di Möbius.

E veniamo all’enigma. Come abbiamo visto, il matematico che ha dato il nome alla nostra bizzarra superficie era anche un astronomo. Ma soprattutto, se parliamo di anelli, non vi vengono in mente quelli di Saturno?
Da un punto di vista geometrico, il sistema di anelli di Saturno assomiglia a una corona circolare, in cui il bordo interno è più corto di quello esterno. Topologicamente, però, la superficie equivale alla superficie laterale di un cilindro, cioè un anello ottenuto a partire da una striscia unendo le estremità senza torsioni.
Se potessimo camminare sull’anello di Saturno, potremmo stare o sulla faccia superiore o su quella superiore, ma per passare da una all’altra dovremmo per forza attraversare uno dei bordi: poco importa che l’anello sia visualizzato com’è in realtà, cioè con un bordo più vicino al pianeta e uno più lontano, oppure come la superficie laterale di un cilindro, in cui c’è una faccia rivolta verso il pianeta e un’altra faccia esposta nel verso opposto.

Ben diversa, invece, diventa la situazione se l’anello viene chiuso effettuando la fatidica mezza torsione di una estremità: si ottiene un mostruoso nastro di Möbius attorno a Saturno, che è possibile percorrere in tutta la sua superficie senza mai attraversare il bordo.

Il citato libro di Clifford Pickover racconta di come sia possibile giocare a scacchi su un nastro di Möbius. Le regole del gioco rimangono invariate, ma occorre fare un po’ più di attenzione, perché diventano possibili alcune mosse a sorpresa: occorre immaginare infatti che uno dei lati della scacchiera sia confinante con il lato opposto, ma in modo speculare.
Pickover rivela le stranezze di un simile modo di giocare a scacchi, e descrive anche la variante (più semplice) della scacchiera ripiegata ad anello ma senza torsione.

Sulle scacchiere e con i pezzi degli scacchi si possono fare partite, ma si possono anche risolvere rompicapi. Uno di questo è famoso come “giro di cavallo”. Su una scacchiera tradizionale 8×8, si tratta di muovere un cavallo partendo da una casella qualsiasi e rispettando le regole del gioco, con l’obiettivo di visitare tutte le caselle della scacchiera, ciascuna una volta sola. Il giro del cavallo può essere chiuso, se, alla fine del suo peregrinare, il quadrupede riesce a tornare alla casella di partenza. Altrimenti il giro viene considerato aperto.
Il problema del giro di cavallo è celebre nel mondo dei rompicapi che possono essere affrontati per via algoritmica, cioè addestrando un programma informatico a risolvere l’enigma. Ad oggi, nessuno sa di preciso quanti diversi giri di cavallo aperti siano possibili su una scacchiera tradizionale.
Si può provare a risolvere il problema anche su scacchiere “esotiche”, ad esempio rettangolari, o anche su scacchiere di Möbius.

L’enigma da me proposto consiste appunto nel trovare un simile percorso su una scacchiera di Möbius di dimensioni 4 x 7, dove il lato corto (di lunghezza 4) è quello che costituisce l’estremità che si torce di mezzo giro e si unisce al lato opposto.
Come ha argutamente osservato Maurizio Carlino, uno dei lettori della rivista che seppero risolvere il problema:

(…) una scacchiera di Möbius 4 x 7 mantiene l’alternanza bianco/nero delle caselle: è un dato che non ho usato esplicitamente per risolvere il problema, ma comunque vale per una scacchiera con un numero di colonne dispari. In altri termini, ogni singola mossa cambia colore alla casella di partenza, proprio come avviene in una scacchiera classica.
Come conseguenza, dopo un numero di mosse dispari, un cavallo che si muova su una scacchiera di Möbius di ordine dispari si troverà su una casella di colore opposto di quella da cui è partito, mentre dopo un numero di mosse pari sarà su una casella di colore identico a quello di partenza.

Nel suo libro Clifford Pickover afferma che una scacchiera di Möbius di dimensioni m x n (con m file e n colonne) consente un giro di cavallo se vale almeno una delle seguenti condizioni:

    m = 1 e n > 0 oppure n = 1 e m = 3, 4 o 5
    m = 2 e n pari, oppure m = 4 e n dispari
    n = 4 e m = 3

Nella nostra scacchiera 4 x 7 abbiamo m=4 e n=7: rientriamo quindi nel caso 2) e il giro di cavallo è possibile. Una delle possibili soluzioni è illustrata nella figura seguente:

Il già citato Carlino, invece, ha affrontato il problema servendosi di un programma in linguaggio C da lui stesso sviluppato, che calcola tutti i possibili giri di cavallo su una scacchiera di dimensione m x n (con m e n non maggiori di 8) a partire da una qualsiasi posizione della scacchiera, sia essa di tipo Möbius o no. L’algoritmo è basato sulla tecnica del “backtracking”, cioè tenta di individuare le soluzioni del problema esplorando tutte le mosse raggiungibili da una certa configurazione e tornando sui propri passi nel caso incontri ostacoli insormontabili. L’approccio sfrutta il meccanismo della ricorsione, ben noto agli informatici. La complessità dell’algoritmo è esponenziale, il che significa che il tempo di calcolo aumenta molto rapidamente al crescere della scacchiera, fino a diventare inservibile sopra una certa soglia di dimensioni.

Una delle soluzioni trovate da Carlino è riportata nella figura qui a fianco.
Il suo programma  ha trovato ben 13.209.800 diverse soluzioni. Modificando l’algoritmo per farlo funzionare su una scacchiera 4 x 7 non di Möbius, le soluzioni sono solo 1.682: dato che una scacchiera classica è un caso particolare della scacchiera di Möbius, queste 1.682 soluzioni sono incluse in quelle precedenti.
Come osserva Carlino, il numero di soluzioni “classiche” molto basso rispetto a quelle möbiussiane si spiega considerando il fatto che, nella maggior parte delle posizioni su una scacchiera classica, le possibili successive mosse di un cavallo sono meno numerose di quelle che può compiere su una scacchiera di Möbius.
Riporto infine un’altra interessante osservazione di Carlino:

Per indagare le proprietà di una scacchiera di Möbius ho provato a individuare almeno una soluzione diversa per ogni possibile posizione di partenza. Ho così scoperto che il programma da me elaborato non è in grado di trovare una soluzione se il cavallo parte dalla seconda o dalla terza riga (posizioni bj e cj con j=1..7) sia nel caso di una scacchiera di Möbius che nel caso classico.
Al momento non so dire se si tratta di un’imperfezione del programma o di una caratteristica intrinseca del problema.
Riporto nel seguito una tabella che riassume il numero di soluzioni trovate con il mio algoritmo per ogni posizione di partenza, per una scacchiera di Möbius 4 x 7 e per quella classica. Mi propongo di continuare a studiare il problema variando le dimensioni della scacchiera e cercando di approfondire la questione sulle posizioni di partenza che sembrano non garantire una soluzione.

Come si vede il numero di soluzioni nel caso di una scacchiera di Möbius è lo stesso a prescindere dalla posizione iniziale, nel caso delle righe 1 e 4 (aj e dj con j=1..7): la situazione è diversa nel caso della scacchiera classica, fermo restando la condizione di simmetria.

La questione posta da Carlino sulle posizioni iniziali “sfortunate” sembra molto interessante: varrebbe la pena di studiarla per capire se si tratti di una caratteristica intrinseca e generale di questo tipo di problema.

La geometria degli Europei di calcio

I miei lettori si saranno chiesti, nelle ultime settimane, che fine avesse fatto questo blog, tristemente abbandonato da un paio di mesi. Ebbene, inconvenienti e progetti diversi lo hanno frenato per un tempo molto lungo, ma state sereni: ancora per molti anni, Mr. Palomar non intende buttare la spugna, costi quel che costi. E allora beccatevi anche questo nuovo post, di sapore pallonaro.
Da qualche giorno sono in corso gli Europei di calcio, ospitati dai cugini francesi. La nostra Nazionale è riuscita perfino a portare a casa un paio di vittorie, assicurandosi in anticipo l'accesso agli ottavi di finale.
Ma perché parlare di calcio in un blog di matematica? Come sapete, il legame tra queste due realtà mi è molto caro. L'anno scorso 40K ha pubblicato  "La matematica nel pallone", il mio libro sugli aspetti matematici del gioco del calcio.
Uno dei principali temi trattati riguarda la geometria dei palloni da calcio.
"La palla è rotonda", cantava Mina nel 2014, nelle serate del Mondiale brasileiro.

Ma questo non è poi così vero. Tutti i palloni da calcio sono fabbricati cucendo o incollando insieme pezzi di cuoio poligonali ritagliati da un pannello piatto. Il poliedro ottenuto viene poi gonfiato d'aria, facendolo assomigliare il più possibile a una sfera. Ma sfera non è, né può esserlo. Il più classico dei palloni da calcio, per capirci quello fatto a esagoni bianchi e pentagoni neri, altro non è che un icosaedro troncato, come avevo mostrato ampiamente in un vecchio post di 4 anni fa. Da ormai 46 anni, il progresso tecnologico nel settore del pallone è un'esclusiva dell'Adidas, che in occasione di ogni edizione dei Mondiali di calcio sforna un nuovo modello di poliedro pseudo-sferico.

Il "Brazuca" dei Mondiali 2014

Il tradizionale icosaedro troncato bianco e nero fu adoperato per la prima volta in un Mondiale nel 1970, nell'edizione messicana rimasta celebre per "Italia-Germania 4-3". Fino al 2002 tutti i palloni mondiali non si sono discostati granché da quel modello di riferimento.
Nell'edizione del 2006 vinta dall'Italia, in quella sudafricana del 2010 e in quella di due anni fa, sono stati invece impiegati palloni sostanzialmente diversi. In particolare, il "Brazuca" del 2014 era ottenuto cucendo insieme sei pezzi di cuoio uguali tra loro e dalla forma molto particolare. Un po' come un cubo, che notoriamente si costruisce unendo tra di loro sei quadrati uguali. Il "Brazuca" è dunque un pallone cubico? In un certo senso sì. D'altra parte, la possibilità di fabbricare palle come queste trova un solido fondamento matematico in un teorema dimostrato dall'ucraino Aleksei Pogorelov, di cui ho parlato nel mio ebook. Se ritagliate da un "foglio" di cuoio due forme uguali, oppure anche diverse ma caratterizzate da contorni della medesima lunghezza, riuscirete a cucirle insieme e a ottenere un oggetto tridimensionale convesso senza dover fare strappi o pieghe. Sotto particolari condizioni, la cosa funziona anche se le forme sono più di due. Il "Brazuca" ne è un meraviglioso esempio. Qui le forme sono sei: la loro forma non è quadrata, eppure su ogni forma ci sono quattro punti che giocano il ruolo di "pseudo-vertici" del "pseudo-quadrato". Una volta assemblato il pallone, gli pseudo-vertici si sovrapporranno a tre a tre, un po' come in ogni vertice di un cubo si incontrano tre facce quadrate.

Il "Telstar" del 1968

E gli Europei? Le prime due edizioni, quella del 1960 ospitata dalla Francia e quella del 1964 organizzata dalla Spagna, videro l'utilizzo di palloni ben diversi dai moderni e raffinati manufatti Adidas. Queste palle erano molto pesanti e pericolose: non era raro vedere giocatori dell'epoca sanguinanti dopo aver colpito di testa il pallone: la colpa era dei lacci che legavano insieme le strisce di cuoio.
La multinazionale tedesca entrò in scena nel torneo del 1968, ospitata nel nostro Paese: fu in questa edizione che venne lanciato per la prima volta il mitico pallone "Telstar", ovvero l'icosaedro troncato a esagoni e pentagoni.

Il protagonista del Mundial messicano del 1970 venne infatti sperimentato due anni prima in Italia, prima di diventare l'indiscusso modello di riferimento nell'immaginario collettivo e il pallone più famoso della storia del calcio.
Da qui in avanti lo schema di invertì: in ocsasione di ogni edizione dei Mondiali la Adidas avrebbe presentato un nuovo modello di pallone, che sarebbe stato riproposto due anni dopo agli Europei, identico oppure con variazioni trascurabili.
Fu così che alle edizioni 1972 e 1976 degli Europei, organizzate rispettivamente dal Belgio e dalla Jugoslavia, si giocò ancora con varianti del "Telstar".

L'"Europass" del 2008

Nel 1980 gli stadi italiani, nuovamente scelti come location del campionato europeo, videro volare il glorioso pallone "Tango", già testato ad Argentina '78. Ma anche il "Tango" era di fatto il solito icosaedro troncato.
Il nome "Tango" fu adottato per i palloni europei fino al 1988. Nel 1992 fu la volta di "Etrusco Unico", fratello del pallone di Italia '90. Tra il 1996 e il 2004 le palle ufficiali ebbero nomi particolari: "Questra Europa", "Terrestra Silverstream", "Roteiro". Ma geometricamente si trattava sempre di palloni in stile "Telstar": nè più nè meno.
Il pallone "Europass" dell'edizione austro-svizzera 2008 si basava invece sul "Teamgeist" utilizzato ai Mondiali tedeschi del 2006. Questa volta il modello geometrico era un ottaedro troncato.

Il "Tango 12" del 2012

Ancora una volta si adottava un solido archimedeo, variazione di un poliedro platonico, ma non più l'icosaedro troncato: per la prima volta il lungo dominio del "Telstar" e discendenti veniva interrotto.

Nel 2012 la regola del riciclo del pallone mundial conobbe un'eccezione: il famigerato "Jabulani", protagonista dell'edizione ospitata dal Sudafrica, venne decisamente accantonato in seguito alle aspre critiche che lo avevano colpito, e la Adidas sfornò un pallone battezzato "Tango 12" perché esteticamente simile al vecchio "Tango" degli anni Ottanta, ma in realtà geometricamente inedito, in quanto formato non da pezzi esagonali e pentagonali, ma da pannelli quasi-triangolari.

Il "Beau Jeu" del 2016

Ed eccoci arrivati all'edizione di quest'anno.
Il pallone che corre sui campi francesi di Euro 2016 si chiama "Beau Jeu", ovvero "Bel Gioco", ed è una rivisitazione del Brazuca di due anni fa.
Il rosso e il blu che lo adornano richiamano il tricolore transalpino.

Molti esperti di calcio hanno affermato che il "Beau Jeu" si comporta in modo superlativo in termini di grip, stabilità e controllo di palla, grazie alle caratteristiche geometriche del "Brazuca" per l'occasione ulteriormente perfezionate anche grazie alla collaborazione tra Adidas e Covestro, azienda che produce il poliuretano di cui è fatto il pallone.
Buoni Europei a tutti, dunque. E non dimenticate che c'è molta geometria e molta matematica dietro le traiettorie magiche che vi entusiasmeranno in queste serate europee.

Carnevale della Matematica #96 su MaddMaths!

Puntuale come ogni mese, il Carnevale della Matematica è giunto ieri mattina, generoso di contributi e di spunti e introdotto dal verso gaussiano Canta, canta, canta, canta, canta il merlo.
Questa edizione n. 96, come la tradizione impone a tutte le edizioni del mese di aprile, è stata allestita da MaddMaths! seguendo le celebrazioni americane del "Mathematical Awareness Month", organizzato dal Joint Policy Board for Mathematics (JPBM). Il tema proposto quest'anno è "Il futuro delle previsioni".
Fare una previsione vuol dire vedere il futuro: se poi parliamo di "futuro delle previsioni", ci spingiamo doppiamente nel futuro. Mai fu visto un Carnevale così lungimirante e futuribile!

Cito direttamente dal post di MaddMaths!:

Yogi Berra, famoso giocatore e allenatore di baseball americano, noto per i suoi aforismi, disse una volta, parafrasando Niels Bohr: "È difficile fare previsioni, specialmente sul futuro." In questo Mese della Consapevolezza Matematica 2016 siamo tutti invitati a esplorare come la matematica e la statistica siano il vero futuro delle previsioni, fornendo idee e guidando l'innovazione. La pagina del sito americano del Mese della Consapevolezza Matematica e il nostro Carnevale della Matematica dovrebbero aiutarci a capire il ruolo della matematica e della statistica nel comprendere e prevedere il futuro. E ricordatevi che la domanda fondamentale da farsi sempre è: Cosa c'è dopo?

Tra i (pochi ma buoni?) contributi a tema, incredibile dictu, c'è quello di Mr. Palomar, primo post di una serie dedicata alle "Macchine che imparano", ovvero alle tecniche di apprendimento automatico.
Numerose e solluccherose le segnalazioni in generale.
Complimenti a tutti i partecipanti, buona lettura ad aficionados e non, e appuntamento all'edizione di maggio!

Macchine che imparano #1: autori e autrici

Qualche anno fa frequentai un corso di scrittura creativa. Ad ogni appuntamento il docente, che tra l'altro era uno scrittore e poeta piuttosto noto, ci assegnava, come compito per la lezione successiva, la stesura di un racconto su un tema fissato.
Una volta uno di noi gli domandò se fosse in grado di capire, leggendo un racconto anonimo, di determinare il genere dell'autore (cioè se fosse uomo o donna). Il docente rispose che sì, con un po' di esercizio e di intuito si riesce abbastanza facilmente. Non fummo abbastanza cattivi da metterlo alla prova con alcuni nostri racconti privati dell'indicazione dell'autore.
 Ora, un compito di questo tipo sembra richiedere una tale dose di intuizione e di sensibilità, doti squisitamente umane, che difficilmente potremmo pensare di affidarlo a una macchina.
Eppure qualcuno ci ha pensato, e in rete si trova persino una pagina in cui potete verificare l'abilità del computer in questo difficile esercizio.

L'identificazione del genere dell'autore di un testo è infatti uno degli innumerevoli campi in cui sono state applicate le tecniche di apprendimento automatico (in inglese "machine learning").

A partire da questo post comincerò a esplorare questo vastissimo ambito dell'intelligenza artificiale di cui oggi si sente parlare sempre di più e sul quale università e aziende stanno investendo in misura sempre maggiore.

L'idea alla base dell'apprendimento automatico è molto semplice: affinché un computer riesca a risolvere un tipo di problema particolarmente difficile, come quello descritto sopra, la strategia migliore è la stessa che gli insegnanti utilizzano spesso con i propri studenti: mostrare alcuni esercizi svolti, e poi verificare se gli alunni sono in grado di risolvere da soli altri problemi dello stesso tipo.

Nel panorama odierno dell'intelligenza artificiale il machine learning è la tendenza di gran lunga dominante. Sono da un bel po' considerati old-style gli approcci utilizzati da metodologie come i sistemi di produzione o i sistemi esperti: programmi la cui ambizione era possedere fin dall'inizio l'intera base di conoscenza relativa a un dato argomento, ed essere così capaci di risolvere ogni problema di un certo tipo in maniera diretta, sulla base di deduzioni logiche.
La debolezza dei sistemi esperti era la loro incapacità di imparare dall'esperienza.
Negli anni Settanta e Ottanta, per esempio, si realizzarono sistemi esperti il cui compito era effettuare diagnosi di malattie in funzione dei sintomi segnalati dai pazienti. Anche ammettendo di poter introdurre in un simile sistema tutte le conoscenze dei migliori luminari del pianeta, il programma, una volta confezionato, poteva iniziare a formulare diagnosi, magari anche azzeccate, ma era destinato a restare un medico artificiale sempre uguale a se stesso: in altre parole, non era in grado di imparare dalla propria esperienza, cioè dai propri successi e dai propri errori.

Tratto da http://eecs.wsu.edu/~cook/ml

Una persona, prima di iniziare a lavorare, deve andare a scuola per un po' di anni: analogamente, un algorimo di apprendimento automatico, prima di cominciare a emettere le sue risposte, deve essere addestrato, cioè deve analizzare un grande numero di problemi dello stesso tipo, ciascuno completo di soluzione preconfezionata. Il programma, sulla base di questi esempi, impara, cioè costruisce e via via perfeziona un proprio "modello" interno del problema, che viene poi adoperato quando sarà il momento di lavorare davvero senza conoscere in anticipo la risposta.

Questo approccio si è rivelato ottimale per un insieme innumerevole di problemi, soprattutto quelli molto complessi per i quali non esiste una formula esatta per determinare a colpo sicuro le risposte e le predizioni desiderate.
In altre parole, a causa della complessità di questi problemi, non possiamo più ambire alla perfezione assoluta, ma dobbiamo anzi accettare una percentuale di errore (comunque limitata).
Le tecniche di un tempo, fondate su schemi rigidi di deduzione, cercherebbero di risolvere questi problemi in modo esatto, ma impiegherebbero tempi biblici prima di produrre qualcosa, il che francamente non è quello che desideriamo.

Uno dei modi per superare questa empasse è il machine learning. Un altro filone algoritmico di cui ho già parlato in passato (ad esempio qui e qui), è costituito dai metodi euristici: anche questi, seppure attraverso un percorso un po' diverso, soddisfano il bisogno di meccanismi meno rigidi, che accettano l'approssimazione e che si avvicinano alla soluzione del problema attraverso una ricerca graduale.
I due mondi, apprendimento automatico e tecniche euristiche, non sono tra di loro separati in modo netto, ma si intersecano reciprocamente in molti casi.

La necessità di ricorrere a metodologie "soft", non rigide ma basate su paradigmi "moderni" (euristici, evolutivi, di apprendimento, e così via) è resa ancora più stringente dal fatto che i dati da elaborare arrivano spesso in quantità molto grandi, a grande velocità, e con formati molto eterogenei (i famosi "big data").
Da queste confuse e furiose basi di conoscenza si vorrebbe poter estrarre informazioni pregiate, che purtroppo se ne stanno solitamente ben nascoste come minuscoli aghi d'oro nello sterminato pagliaio informativo. Le numerose tecniche basate sull'idea dell'apprendimento automatico escono spesso vincitrici in questo genere di sfida, a condizione che i dati vengano inizialmente "puliti" e resi omogenei, che venga scelto l'algoritmo più appropriato per il problema da risolvere, e che il programma sia ben addestrato nella fase iniziale.

L'esempio con cui ho aperto questo post è emblematico. Per poter sviluppare un programma capace di riconoscere se un racconto è stato scritto da uno scrittore o da una scrittrice, possiamo certamente pensare ad un approccio di tipo "machine learning". Certo, occorre prendere oculatamente alcune decisioni importanti, per esempio scegliere  un algoritmo di apprendimento che si presti a questo ingrato compito. Nella prossima puntata di questa serie entreremo nel merito matematico di una di queste tecniche di apprendimento, e vedremo di applicarla al problema dell'identificazione del genere dell'autore. 

Mr. Palomar in tour (nel Trevigiano)

Se qualcuno avesse voglia di sentirmi parlare dei miei due e-book, "La matematica dei Pink Floyd" e "La matematica nel pallone", terrò tre presentazioni in provincia di Treviso, nei prossimi tre venerdì:

• venerdì 25 marzo, ore 21, presso il Mirik Cafè di Carbonera, presenterò "La matematica dei Pink Floyd", con le improvvisazioni musicali di Stefano Zamuner (vedi locandina qui a fianco);

•  venerdì 1° aprile, ore 20.45, presso l'Auditorium di Villa Olivi a Breda di Piave, presenterò "La matematica nel pallone";

• venerdì 8 aprile, ore 21, presso il Mirik Cafè di Carbonera, presenterò "La matematica nel pallone".

Per chi non fosse pratico di questi luoghi del Trevigiano, qui è spiegato come raggiungere l'incantevole e accogliente Mirik Cafè, e qui è spiegato come arrivare a l'Auditorium di Villa Olivi, accanto al quale trova posto la specialissima Biblioteca Comunale.

Le mie presentazioni non sono classici incontri con l'autore, ma piccoli "science show" in cui il libro diventa il pretesto per parlare di matematica in modo multimediale, multidisciplinare e "pop".
In altre parole, venite che ci si diverte.

Carnevale della Matematica #95 su DropSea

Mi autoassolvo sempre dicendo “Meglio tardi che mai”, ma questa volta il ritardo è davvero imperdonabile, lo so. Be’, lo dico lo stesso: lunedì scorso è uscito il Carnevale della Matematica n. 95, ricco di contributi e di spunti.

Così come il Carnevale di febbraio è tradizionalmente assegnato ai Rudi Mathematici, quello di marzo è ormai una prerogativa di Gianluigi Filippelli e del suo blog DropSea.
Introdotto dal verso gaussian-popinghiano "Tra i cespugli nella luce" e dalla cellula melodica preparata da Flavio Ubaldini, il Carnevale marzolino ha rilanciato con sapiente leggiadria i contributi dei blogger.
Il tema di marzo, si sa, non è un tema qualunque: dato che il Carnevale esce il giorno 14, non si potrebbe parlare che del pi greco. Anzi, tutti i Carnevali escono il 14 proprio per questo motivo, ragion per cui l'edizione di marzo è in qualche modo la madre di tutte le edizioni carnevalizie.
Complimenti a tutti i partecipanti (tra i quali questo stesso blog che ha contribuito parlando di scacchi, astronomia e... Kama Sutra), e appuntamento all'edizione di aprile
Lunga vita al Carnevale e naturalmente a π!

Scacchi e astronomia

Secondo un’antica leggenda, l’inventore degli scacchi si presentò un giorno al palazzo reale, e chiese di poter presentare il gioco al sovrano. Il re lo ricevette e rimase tanto affascinato che si dichiarò pronto a offrire qualsiasi ricompensa al suo ospite. Questi disse però che si sarebbe accontentato di un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, di due chicchi per la seconda, di quattro per la terza, e così via. Il sovrano si meravigliò di tanta modestia, e gli ricordò che poteva avere molto di più: una provincia del regno, un castello, una rendita a vita per lui e isuoi discendenti. Ma l’inventore non si mosse dal suo proposito. Il re diede ordine al tesoriere di provvedere, ma l’indomani ricevette la spiacevole notizia: non sarebbe bastato il raccolto annuale di tutto il regno, e nemmeno i raccolti di dieci anni di tutto il mondo. In effetti il geniale inventore aveva richiesto più di diciotto miliardi di miliardi di chicchi di grano: un numero decisamente astronomico.

Le connessioni tra scacchi e astronomia non si fermano certo qui. Nel trattato duecentesco noto come “Libro de los juegos” venivano descritti gli "scacchi astronomici", da giocare su una scacchiera composta di sette cerchi concentrici, uno per ogni pianeta del modello geocentrico. La struttura dell’universo tolemaico, d’altra parte, sembra essere stata determinante anche nell’origine (indiana e successivamente araba) degli scacchi classici: la scacchiera 8×8, infatti, si ricondurrebbe alle otto sfere concentriche presenti in quel sistema cosmologico.

In tempi recenti, molti astronomi, per esempio Arthur Eddington, Eugene Antoniadi e Fred Hoyle, sono stati anche ottimi giocatori di scacchi. Ma alfieri e cavalli si muovono anche nello spazio: nel giugno 1970, i cosmonauti Vitaly Sevastyanov e Andrian Nikolayev giocarono una partita contro la sala controllo mentre erano a bordo della Soyuz 9. Sette anni dopo, Sevastyanov divenne presidente della federazione di scacchi dell’URSS. Nel 1999 Sergei Andeyev si portò sulla stazione spaziale
Mir un notebook con un programma di scacchi, per non rinunciare al suo passatempo preferito durante la lunga permanenza nello spazio. L’astronauta americano Gregory Chamitoff giocò a scacchi contro la stazione di controllo mentre si trovava sullo Space Shuttle e quando era a bordo della ISS: una delle sue partite Spazio-Terra, nel maggio 2011, venne ufficialmente sponsorizzata dalla NASA e resa pubblica attraverso i social network.

Anche la fantascienza ha messo in scena partite di scacchi, giocate su astronavi o su pianeti immaginari. Memorabile, a questo proposito, la sonora sconfitta che nel film “2001: Odissea nello spazio” il supercomputer HAL 9000 infligge all’astronauta Frank Poole. Nell’universo di Dune esiste una complicata variante del gioco degli scacchi, denominata “Cheops”. Oltre a pezzi familiari come il re, la regina, la torre e il cavallo, ve ne sono alcuni di peculiari come il primo ministro e i ministri, il duca e la duchessa, il barone e la baronessa, l’assassino, il falco, il soldato, il pastore, la spia.
Ma soprattutto il gioco si svolge su una scacchiera dalla forma piramidale (ecco spiegato il nome). Obiettivo dei giocatori è portare la propria regina sul vertice, al nono piano della piramide, e mettere sotto scacco il re avversario.


Immaginate ora una mini-scacchiera 3×3, con due cavalli bianchi agli angoli superiori e due cavalli neri agli angoli inferiori. Esiste, secondo voi, una sequenza di mosse che porti da questa configurazione di partenza a quella indicata a destra nella figura, con i cavalli di sinistra scambiati tra di loro?

Naturalmente, i cavalli possono muoversi secondo le regole classiche degli scacchi, e una casella non può essere occupata da due pezzi. Buon divertimento!

La matematica del Kama Sutra

Normalmente il Kāma Sūtra, libro indiano scritto dal filosofo Vātsyāyana in sanscrito intorno al secondo secolo dopo Cristo, viene associato all'amore e in particolare alle tecniche per raggiungere il piacere sessuale.
Non tutti sanno, però, che una parte di questo testo, precisamente il capitolo 3, è dedicata alle 64 arti che una donna doveva conoscere per poter trovare marito: e tra queste sono citate il canto e l'uso di strumenti musicali, la legatura di libri, la falegnameria, la conoscenza di miniere e cave, ma anche i giochi matematici, gli scacchi e "l'arte di interpretare scritture cifrate e di scrivere parole in
modi particolari".

In altre parole, l'uso della crittografia per cifrare i messaggi segreti che devono essere scambiati tra due amanti.
L'arte di celare i messaggi è antichissima. Il cifrario di atbash, in cui la prima lettera dell'alfabeto viene sostituita con l'ultima e viceversa, la seconda con la penultima e viceversa, e così via, viene utilizzato perfino nella Bibbia, nel Libro di Geremia.
Anche Giulio Cesare occupa un posto rilevante nella storia della crittografia: il suo cifrario è un po' più sofisticato dell'atbash, perchè ogni lettera non viene sostituita da quella che si trova in posizione speculare nell'alfabeto, ma da una lettera che nell'alfabeto si trova N posizioni dopo. Il bello è che il numero N, noto a chi invia e a chi riceve il messaggio, può essere un numero qualsiasi, il che rende la decodifica del messaggio più ardua rispetto al caso dell'atbash.
Per esempio, la parola CESARE viene cifrata in FHVDUH se scegliamo N=3. Se avessimo scelto per N un valore molto grande, avremmo potuto, per alcune lettere, superare la fine dell'alfabeto: in questi casi avremmo dovuto ricominciare dall'inizio, come se la lettera A fosse immediatamente successiva alla lettera Z.

Ma anche il cifrario di Cesare è facilmente attaccabile da un malintenzionato che volesse spiare i messaggi dei due poveri amanti desiderosi di privacy: basterebbe provare tutti i numeri compresi tra 1 e il numero di lettere dell'alfabeto meno 1, e prima o poi il messaggio verrebbe decodificato.

Ecco che il Kāma Sūtra propone una tecnica ancora migliore (come racconta l'ottimo Marcus Du Sautoy nel suo celebre "L'equazione da un milione di dollari"): il trucco è non utilizzare lo stesso numero N per tutte le lettere dell'alfabeto, ma prevedere una sostituzione diversificata per ogni lettera.
Per esempio, se ogni lettera A diventa una lettera E (posta 4 lettere dopo), possiamo tranquillamente sostituire ogni lettera B con una I (situata 7 lettere dopo), e così via. In altre parole, creiamo una tabella di sostituzione del tutto arbitraria, in cui ogni lettera viene fatta corrispondere con un'altra.
Quante possibili tabelle di cifratura possiamo creare? Dal punto di vista della spia, che non conosce la chiave di cifratura, alla lettera A potrebbe corrispondere una qualsiasi delle lettere dell'alfabeto: se ci basiamo sull'alfabeto inglese, abbiamo quindi 26 possibilità. La lettera B potrebbe essere sostituita da tutte le lettere, tranne quella già impiegata per cifrare la A, quindi in tutto abbiamo 25 possibilità. E così via. Le possibili tabelle di cifratura sono allora 26 × 25 × 24 × ... × 2 × 1. Questo prodotto che coinvolge tutti i numeri interi compresi tra 1 e 26 viene chiamato fattoriale di 26, e si indica con 26! (che non viene pronunciato come una esclamazione, ma semplicemente "26 fattoriale" oppure semplicemente "fattoriale di 26").
Si tratta di un numero molto grande, pari a circa 403 milioni di miliardi di miliardi.

Di quali armi può disporre il malvagio impiccione desideroso di conoscere i messaggi scambiati tra i due amanti? Certamente non potrà esaminare tutti queste possibili chiavi di cifratura: perfino a un supercomputer non basterebbe l'età dell'universo per analizzare tutte queste tabelle e trovare quella utilizzata dagli amanti.
Come fare, allora? Conoscendo quali sono le lettere più frequenti in un tipico messaggio redatto in una certa lingua. Per esempio, lettere come la A e la E sono molto comuni in italiano, mentre la Z e la Q sono molto più rare. Analizzando il messaggio cifrato, a condizione che sia abbastanza lungo, si possono trovare quali sono le lettere che compaiono con maggior frequenza, e quali invece le lettere presenti in poche occorrenze: con ogni probabilità le prime sono la versione cifrata di lettere comuni (come la A o la E), mentre le seconde sono la trasformazione di lettere rare (come la Z o la Q).
Grazie a ragionamenti di questo tipo, la spia potrà, prima o poi, decodificare il messaggio. Evidentemente, però, non si tratta di un lavoro banale come quello necessario a chi desiderasse svelare un messaggio codificato attraverso il cifrario di atbash o quello di Cesare.
Ovviamente la crittografia ha fatto passi da gigante dopo il Kāma Sūtra: cifrari come questo fanno sorridere al giorno d'oggi, in quanto immediatamente violabili dal più scadente tra i software di crittoanalisi.
In ogni caso, se consideriamo che stiamo parlando di un testo di quasi duemila anni fa, non possiamo fare troppo gli schizzinosi. E inoltre adesso non dite più che la matematica non c'entra niente col sesso.

I premi Turing: Alan Newell e Herbert Simon

Che l'intelligenza artificiale sia un campo di ricerca estremamente complesso, posto all'intersezione tra discipline tra loro molto diverse come informatica, matematica, ingegneria, psicologia e filosofia, è cosa ben nota. Non deve stupire, quindi, che tra i maggiori studiosi di questa materia vi siano stati non soltanto matematici e informatici puri, ma anche scienziati eclettici il cui background includeva ambiti apparentemente eterodossi come la psicologia.
Alan Newell e Herbert Simon sono stati un ottimo esempio di questa categoria. Nel 1975, per la prima volta dalla nascita del premio Turing, il prestigioso riconoscimento venne assegnato a due ricercatori anziché uno solo, e la scelta ricadde su questi due americani.
Newell si laureò in matematica a Stanford nel 1949, e lavorò alla RAND Corporation per progetti legati all'aeronautica militare. Pochi anni dopo cominciò ad appassionarsi ad una disciplina che stava muovendo i suoi primissimi passi: l'intelligenza artificiale. Un campo così nuovo che non aveva ancora un nome, visto che la fortunata espressione venne coniata solo al celebre seminario del Darmouth College del 1956. In quegli anni scrisse "The Chess Machine: An Example of Dealing with a Complex Task by Adaptation", uno dei primi libri della storia dell'intelligenza artificiale.
Qui entra in scena Herbert Simon, di 11 anni più vecchio di Newell. Simon si era laureato nel 1936 in scienze politiche, aveva conseguito il dottorato nella stessa materia nel 1943, e aveva iniziato una brillante carriera universitaria in diverse università, occupandosi di scienze politiche ed economia.
I suoi interessi di ricerca, tuttavia, spaziavano anche in molti altri ambiti, dalla psicologia all'informatica, dalla sociologia alla filosofia. Dopo aver letto il libro di Newell, Simon ricontattò il giovane scienziato che aveva conosciuto qualche anno prima a Pittsburgh, e i due cominciarono a collaborare conseguendo alcuni dei risultati più importanti della storia della nascente intelligenza artificiale.
Il "Logic Theorist", da loro realizzato nel 1956 con l'aiuto del programmatore J. C. Shaw, fu il primo programma "intelligente" mai scritto: si dimostrò in grado di dimostrare alcuni dei teoremi enunciati nei Principia Mathematica di Russell e Whitehead, in alcuni casi attraverso dimostrazioni originali.
Altri settori di ricerca studiati da Newell furono l'elaborazione di liste e lo sviluppo di euristiche.
Al seminario del Darmouth College, oltre a Marvin Minsky (da pochi giorni scomparso) e a John McCarthy, già premi Turing rispettivamente nel 1969 e nel 1971, c'erano anche loro, Newell e Simon.
Negli anni successivi la magnifica coppia implementò, sempre in collaborazione con Shaw, un altro programma di intelligenza artificiale, denominato "General Problem Solver": era capace di risolvere problemi di geometria e di giocare a scacchi.
Sia il "Logic Theorist" che il "General Problem Solver" erano scritti in un particolare linguaggio di programmazione ideato dagli stessi Newell e Simon: l'Information Processing Language (IPL).
Nonostante fossimo agli albori della programmazione, questo linguaggio consentiva già alcuni costrutti e meccanismi avanzati, come la gestione di liste, l'allocazione dinamica della memoria, i tipi di dati, le funzioni passate come argomenti, la ricorsione, e molti altri.
Newell continuò, negli anni successivi, a fornire importanti contributi nel campo dell'intelligenza artificiale, ma si occupò anche di psicologia e di modelli cognitivi.
Il suo amico Simon fece anche di più: scrisse di psicologia, di sociologia, di economia, di pedagogia, di scienza del management. Il tema unificante che lo affascinava era il processo cognitivo della decisione.
Il percorso straordinario di questo scienziato così poliedrico culminò nel 1978 con il premio Nobel per l'Economia, ricevuto per aver descritto il concetto di decisione organizzativa in un contesto di incertezza.
Che io sappia, si tratta ad oggi dell'unica persona ad aver vinto il premio Turing e anche il premio Nobel.

Intervista su Redooc Blog

Quelli di Redooc, premiata e celebre piattaforma web per l'insegnamento della matematica, mi hanno intervistato.
Abbiamo parlato dei miei librini e di altre cose, tra cui alberelli di mimose, città invisibili ed Elio e le Storie Tese: se qualcuno fosse interessato, può trovare l'intervista sul blog di Redooc.
Buona lettura!

Gli enigmi di Coelum: "Fibonacci tra le galassie"

Leonardo Pisano, detto Fibonacci

Continua (lentamente, ma continua) la serie dei miei enigmi matematici usciti nei mesi passati sulla rivista Coelum Astronomia.
La puntata di oggi prende le mosse dalla città di Pisa. Nella storia della scienza, e in particolare della matematica, vi sono due giganti pisani. Uno è famosissimo: Galileo Galilei, da tutti conosciuto come il padre della scienza moderna. L’altro, invece, non è così noto: eppure la sua importanza nelle vicende della matematica è enorme.
Pisano lo era di fatto, ma anche di nome: si chiamava infatti Leonardo Pisano, ma dato che suo padre era Guglielmo dei Bonacci, venne soprannominato Fibonacci, cioè “figlio del Bonacci”.
Il padre Guglielmo era un ricco mercante: aveva fatto fortuna tessendo relazioni commerciali con la città algerina di Bugia.
Il giovane Fibonacci trascorse anche lui alcuni anni in Africa, dove venne a contatto con molte tecniche matematiche note nel mondo arabo e ancora sconosciute in Occidente. Fibonacci, che per anni continuò a viaggiare aiutando il padre nelle sue attività commerciali, cominciò ad approfondire in modo originale queste conoscenze matematiche, e ben presto la sua occupazione di mercante passò in secondo piano, soppiantata dal forte interesse per la matematica.
L’imperatore Federico II, famoso per la sua sensibilità culturale e per suo amore per la scienza, venne a conoscenza dei promettenti studi matematici di Fibonacci e gli offrì un vitalizio, che gli permise di dedicarsi completamente ai suoi studi.

La pagina del Liber Abbaci in cui Fibonacci
introduce i "suoi" numeri

Nel 1202 Fibonacci pubblicò la sua opera più importante, il Liber Abbaci, nella quale, oltre a numerosi altri fondamentali concetti di aritmetica e algebra, introdusse per la prima volta in Europa il sistema di numerazione decimale, basato sull’uso delle cosiddette cifre “arabe”, tuttora in uso, compreso lo zero. A quel tempo in Europa si usavano i numeri romani e lo zero era del tutto sconosciuto: non stupisce il fatto che la diffusione del nuovo sistema proposto da Fibonacci incontrò all’inizio molti ostacoli (molti ritenevano che lo zero provocasse confusione e venisse impiegato anche per mandare messaggi segreti).

Nel Liber Abbaci Fibonacci introdusse anche la successione di numeri che prende il suo nome, e che era per la verità già nota agli arabi.
Fibonacci fu un geniale matematico teorico, uno dei più grandi di sempre, ma non rinnegò mai il suo “background” di mercante pragmatico e concreto. Il suo interesse per la successione che porta il suo nome era legato ad un’utilità pratica: in particolare Fibonacci si era accorto che la crescita di una popolazione di conigli poteva essere rappresentato con buona precisione dai numeri della successione.

Immaginiamo di avere, al primo mese, due giovani conigli. Nel secondo mese saranno diventati adulti, e come tali potranno avere figli. Nel terzo mese nascerà una seconda coppia di conigli, ad esempio maschio e femmina. Nel quarto mese la prima coppia genererà altri due conigli, mentre la seconda coppia avrà raggiunto la maturità. Ancora un mese, e le due coppie adulte genereranno altrettante coppie di figli, e l’altra coppia diventerà adulta.
Come rappresentare matematicamente questa crescita della popolazione nei mesi successivi? Semplice: attraverso la sequenza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…., nella quale ogni numero è la somma dei due precedenti.

I conigli d Fibonacci

Questi numeri godono di una enorme quantità di proprietà aritmetiche. Tanto per dirne una, prendete tre numeri di Fibonacci consecutivi, e moltiplicate il primo per il terzo e il secondo per se stesso: otterrete sempre due numeri interi tra di loro consecutivi. Provate ad esempio con i numeri di Fibonacci 5, 8 e 13: ebbene, 5 x 13 fa 65, mentre 8 x 8 fa 64, e ovviamente 65 e 64 sono numeri consecutivi.
Un’altra bizzarra proprietà: se sommiamo tra loro 10 termini consecutivi della successione di Fibonacci, otteniamo sempre un multiplo di 11.
E ancora: ogni numero di Fibonacci è uguale alla somma dei numeri di Fibonacci che lo precedono eccetto l’ultimo, aumentata di 1.
E abbiamo appena scalfito la superficie.
I numeri di Fibonacci si ritrovano inoltre in moltissimi fenomeni naturali. E’ sorprendente, ad esempio, riscontrare che molti fiori hanno un numero di petali che appartiene alla successione di Fibonacci: ad esempio i gigli hanno tre petali, i ranuncoli hanno cinque petali, le margherite solitamente 34 o 55 oppure 89.
Le infiorescenze presenti al centro del girasole descrivono spirali concentriche, alcune delle quali sono disposte in senso orario e altre in senso antiorario: se si conta il numero di spirali orarie e di spirali antiorarie, si ottengono due numeri di Fibonacci consecutivi, ad esempio 21 e 34, oppure 34 e 55.
Fibonacci si ritrova nel mondo delle piante in molti altri casi: dalla disposizione dei rami di alcuni alberi, alla forma delle foglie, ai pistilli sulle corolle dei fiori, alla conformazione degli ananas e delle pigne di alcune conifere.
Ma una delle peculiarità più notevoli dei numeri di Fibonacci è legata ad un concetto familiare anche ai matematici antichi: la cosiddetta sezione aurea, da sempre associata ad un ideale di perfezione e di armonia.
Prendiamo un pezzo di spago di una certa lunghezza, e decidiamolo di tagliarlo in due pezzi, uno più lungo e uno più corto. Vogliamo però che la lunghezza totale dello spago originario stia a quella del pezzo lungo come la lunghezza del pezzo lungo sta a quella del pezzo corto. C’è un modo per ottenere questo? Sì, e se riusciamo ad effettuare questo taglio, possiamo dire che le lunghezze dei pezzi che otteniamo stanno tra loro in un rapporto di sezione aurea.
Per la precisione, il rapporto tra le due lunghezze sarà uguale a circa 1,618: fin dall’antichità questo numero (φ) è stato chiamato con nomi altisonanti, come sezione divina, proporzione aurea, numero di Fidia, e così via.
Ma che c’entrano i numeri di Fibonacci? Il primo ad accorgersi di uno speciale legame tra questi due concetti matematici fu Keplero, nel 1611. Se si prende un qualsiasi numero della successione di Fibonacci, e lo si divide per il numero che lo precede, si ottiene un numero che è abbastanza vicino al rapporto aureo; facendo questo esperimento con numeri che si trovano molto avanti nella successione, quindi numeri molto grandi, il rapporto si avvicina sempre di più a quel fatidico 1,618.

La spirale aurea

I numeri di Fibonacci e la sezione aurea si ritrovano spesso anche nella musica.
Molti compositori soprattutto nel Novecento, hanno costruito le loro composizioni applicando questi concetti matematici alle durate temporali dei brani, o al numero di misure, di battute o di note musicali: ad esempio Bela Bartok li ha utilizzati per la sua celebre Musica per archi, percussioni e celesta, Claude Debussy per la composizione Riflessi nell’acqua, e ancora Igor Stravinsky, Karl Heinz Stockhausen, Luigi Nono e György Ligeti.
Nel mondo del rock, possiamo citare i Genesis (in Firth of fifth), i Deep Purple (in Child of time), i Dream Theater (in Octavarium), i Tool (in Lateralus).

L'enigma proposto nel numero 178 di Coelum era, in sintesi, il seguente:

Un messaggio di capitale importanza deve essere inviato dalla Via Lattea al numero più alto possibile di altre galassie, utilizzando un peculiare sistema di teletrasporto. Per trasferirsi da una galassia all’altra un uomo impiega un’ora, e quando un messaggero ha raggiunto una galassia la notizia trasportata si diffonde immediatamente tra i suoi abitanti. Ogni persona può trasportarsi soltanto due volte, e da ogni galassia può partire una sola persona, senza contare chi vi si è teletrasportato dall’esterno.
Nell’arco di 12 ore, quante galassie è possibile informare?

La risposta è perfettamente e chiarissimamente illustrata nella figura seguente, inviata da un brillante lettore:

Nella prima ora una galassia sarà raggiunta dal primo viaggiatore. Nella seconda ora lo stesso viaggiatore raggiungerà una nuova galassia, mentre un nuovo messaggero partirà alla volta di una terza galassia. Nel corso della terza ora altre tre galassie potranno essere avvisate della terribile minaccia, e così via.
In generale, si vede facilmente che il numero di galassie raggiunte nella N-esima ora corrisponde all’N-esimo numero della sequenza di Fibonacci.
Per calcolare il numero complessivo di galassia informate nel corso di dodici ore, si devono quindi sommare i primi 12 numeri di Fibonacci, eventualmente aggiungendo 1 per tenere conto della galassia d’origine, cioè la nostra Via Lattea.
Appuntamento al prossimo enigma!