Macchine che imparano #1: autori e autrici

Qualche anno fa frequentai un corso di scrittura creativa. Ad ogni appuntamento il docente, che tra l'altro era uno scrittore e poeta piuttosto noto, ci assegnava, come compito per la lezione successiva, la stesura di un racconto su un tema fissato.
Una volta uno di noi gli domandò se fosse in grado di capire, leggendo un racconto anonimo, di determinare il genere dell'autore (cioè se fosse uomo o donna). Il docente rispose che sì, con un po' di esercizio e di intuito si riesce abbastanza facilmente. Non fummo abbastanza cattivi da metterlo alla prova con alcuni nostri racconti privati dell'indicazione dell'autore.
 Ora, un compito di questo tipo sembra richiedere una tale dose di intuizione e di sensibilità, doti squisitamente umane, che difficilmente potremmo pensare di affidarlo a una macchina.
Eppure qualcuno ci ha pensato, e in rete si trova persino una pagina in cui potete verificare l'abilità del computer in questo difficile esercizio.

L'identificazione del genere dell'autore di un testo è infatti uno degli innumerevoli campi in cui sono state applicate le tecniche di apprendimento automatico (in inglese "machine learning").

A partire da questo post comincerò a esplorare questo vastissimo ambito dell'intelligenza artificiale di cui oggi si sente parlare sempre di più e sul quale università e aziende stanno investendo in misura sempre maggiore.

L'idea alla base dell'apprendimento automatico è molto semplice: affinché un computer riesca a risolvere un tipo di problema particolarmente difficile, come quello descritto sopra, la strategia migliore è la stessa che gli insegnanti utilizzano spesso con i propri studenti: mostrare alcuni esercizi svolti, e poi verificare se gli alunni sono in grado di risolvere da soli altri problemi dello stesso tipo.

Nel panorama odierno dell'intelligenza artificiale il machine learning è la tendenza di gran lunga dominante. Sono da un bel po' considerati old-style gli approcci utilizzati da metodologie come i sistemi di produzione o i sistemi esperti: programmi la cui ambizione era possedere fin dall'inizio l'intera base di conoscenza relativa a un dato argomento, ed essere così capaci di risolvere ogni problema di un certo tipo in maniera diretta, sulla base di deduzioni logiche.
La debolezza dei sistemi esperti era la loro incapacità di imparare dall'esperienza.
Negli anni Settanta e Ottanta, per esempio, si realizzarono sistemi esperti il cui compito era effettuare diagnosi di malattie in funzione dei sintomi segnalati dai pazienti. Anche ammettendo di poter introdurre in un simile sistema tutte le conoscenze dei migliori luminari del pianeta, il programma, una volta confezionato, poteva iniziare a formulare diagnosi, magari anche azzeccate, ma era destinato a restare un medico artificiale sempre uguale a se stesso: in altre parole, non era in grado di imparare dalla propria esperienza, cioè dai propri successi e dai propri errori.

Tratto da http://eecs.wsu.edu/~cook/ml

Una persona, prima di iniziare a lavorare, deve andare a scuola per un po' di anni: analogamente, un algorimo di apprendimento automatico, prima di cominciare a emettere le sue risposte, deve essere addestrato, cioè deve analizzare un grande numero di problemi dello stesso tipo, ciascuno completo di soluzione preconfezionata. Il programma, sulla base di questi esempi, impara, cioè costruisce e via via perfeziona un proprio "modello" interno del problema, che viene poi adoperato quando sarà il momento di lavorare davvero senza conoscere in anticipo la risposta.

Questo approccio si è rivelato ottimale per un insieme innumerevole di problemi, soprattutto quelli molto complessi per i quali non esiste una formula esatta per determinare a colpo sicuro le risposte e le predizioni desiderate.
In altre parole, a causa della complessità di questi problemi, non possiamo più ambire alla perfezione assoluta, ma dobbiamo anzi accettare una percentuale di errore (comunque limitata).
Le tecniche di un tempo, fondate su schemi rigidi di deduzione, cercherebbero di risolvere questi problemi in modo esatto, ma impiegherebbero tempi biblici prima di produrre qualcosa, il che francamente non è quello che desideriamo.

Uno dei modi per superare questa empasse è il machine learning. Un altro filone algoritmico di cui ho già parlato in passato (ad esempio qui e qui), è costituito dai metodi euristici: anche questi, seppure attraverso un percorso un po' diverso, soddisfano il bisogno di meccanismi meno rigidi, che accettano l'approssimazione e che si avvicinano alla soluzione del problema attraverso una ricerca graduale.
I due mondi, apprendimento automatico e tecniche euristiche, non sono tra di loro separati in modo netto, ma si intersecano reciprocamente in molti casi.

La necessità di ricorrere a metodologie "soft", non rigide ma basate su paradigmi "moderni" (euristici, evolutivi, di apprendimento, e così via) è resa ancora più stringente dal fatto che i dati da elaborare arrivano spesso in quantità molto grandi, a grande velocità, e con formati molto eterogenei (i famosi "big data").
Da queste confuse e furiose basi di conoscenza si vorrebbe poter estrarre informazioni pregiate, che purtroppo se ne stanno solitamente ben nascoste come minuscoli aghi d'oro nello sterminato pagliaio informativo. Le numerose tecniche basate sull'idea dell'apprendimento automatico escono spesso vincitrici in questo genere di sfida, a condizione che i dati vengano inizialmente "puliti" e resi omogenei, che venga scelto l'algoritmo più appropriato per il problema da risolvere, e che il programma sia ben addestrato nella fase iniziale.

L'esempio con cui ho aperto questo post è emblematico. Per poter sviluppare un programma capace di riconoscere se un racconto è stato scritto da uno scrittore o da una scrittrice, possiamo certamente pensare ad un approccio di tipo "machine learning". Certo, occorre prendere oculatamente alcune decisioni importanti, per esempio scegliere  un algoritmo di apprendimento che si presti a questo ingrato compito. Nella prossima puntata di questa serie entreremo nel merito matematico di una di queste tecniche di apprendimento, e vedremo di applicarla al problema dell'identificazione del genere dell'autore. 

Mr. Palomar in tour (nel Trevigiano)

Se qualcuno avesse voglia di sentirmi parlare dei miei due e-book, "La matematica dei Pink Floyd" e "La matematica nel pallone", terrò tre presentazioni in provincia di Treviso, nei prossimi tre venerdì:

• venerdì 25 marzo, ore 21, presso il Mirik Cafè di Carbonera, presenterò "La matematica dei Pink Floyd", con le improvvisazioni musicali di Stefano Zamuner (vedi locandina qui a fianco);

•  venerdì 1° aprile, ore 20.45, presso l'Auditorium di Villa Olivi a Breda di Piave, presenterò "La matematica nel pallone";

• venerdì 8 aprile, ore 21, presso il Mirik Cafè di Carbonera, presenterò "La matematica nel pallone".

Per chi non fosse pratico di questi luoghi del Trevigiano, qui è spiegato come raggiungere l'incantevole e accogliente Mirik Cafè, e qui è spiegato come arrivare a l'Auditorium di Villa Olivi, accanto al quale trova posto la specialissima Biblioteca Comunale.

Le mie presentazioni non sono classici incontri con l'autore, ma piccoli "science show" in cui il libro diventa il pretesto per parlare di matematica in modo multimediale, multidisciplinare e "pop".
In altre parole, venite che ci si diverte.

Carnevale della Matematica #95 su DropSea

Mi autoassolvo sempre dicendo “Meglio tardi che mai”, ma questa volta il ritardo è davvero imperdonabile, lo so. Be’, lo dico lo stesso: lunedì scorso è uscito il Carnevale della Matematica n. 95, ricco di contributi e di spunti.

Così come il Carnevale di febbraio è tradizionalmente assegnato ai Rudi Mathematici, quello di marzo è ormai una prerogativa di Gianluigi Filippelli e del suo blog DropSea.
Introdotto dal verso gaussian-popinghiano "Tra i cespugli nella luce" e dalla cellula melodica preparata da Flavio Ubaldini, il Carnevale marzolino ha rilanciato con sapiente leggiadria i contributi dei blogger.
Il tema di marzo, si sa, non è un tema qualunque: dato che il Carnevale esce il giorno 14, non si potrebbe parlare che del pi greco. Anzi, tutti i Carnevali escono il 14 proprio per questo motivo, ragion per cui l'edizione di marzo è in qualche modo la madre di tutte le edizioni carnevalizie.
Complimenti a tutti i partecipanti (tra i quali questo stesso blog che ha contribuito parlando di scacchi, astronomia e... Kama Sutra), e appuntamento all'edizione di aprile
Lunga vita al Carnevale e naturalmente a π!

Scacchi e astronomia

Secondo un’antica leggenda, l’inventore degli scacchi si presentò un giorno al palazzo reale, e chiese di poter presentare il gioco al sovrano. Il re lo ricevette e rimase tanto affascinato che si dichiarò pronto a offrire qualsiasi ricompensa al suo ospite. Questi disse però che si sarebbe accontentato di un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, di due chicchi per la seconda, di quattro per la terza, e così via. Il sovrano si meravigliò di tanta modestia, e gli ricordò che poteva avere molto di più: una provincia del regno, un castello, una rendita a vita per lui e isuoi discendenti. Ma l’inventore non si mosse dal suo proposito. Il re diede ordine al tesoriere di provvedere, ma l’indomani ricevette la spiacevole notizia: non sarebbe bastato il raccolto annuale di tutto il regno, e nemmeno i raccolti di dieci anni di tutto il mondo. In effetti il geniale inventore aveva richiesto più di diciotto miliardi di miliardi di chicchi di grano: un numero decisamente astronomico.

Le connessioni tra scacchi e astronomia non si fermano certo qui. Nel trattato duecentesco noto come “Libro de los juegos” venivano descritti gli "scacchi astronomici", da giocare su una scacchiera composta di sette cerchi concentrici, uno per ogni pianeta del modello geocentrico. La struttura dell’universo tolemaico, d’altra parte, sembra essere stata determinante anche nell’origine (indiana e successivamente araba) degli scacchi classici: la scacchiera 8×8, infatti, si ricondurrebbe alle otto sfere concentriche presenti in quel sistema cosmologico.

In tempi recenti, molti astronomi, per esempio Arthur Eddington, Eugene Antoniadi e Fred Hoyle, sono stati anche ottimi giocatori di scacchi. Ma alfieri e cavalli si muovono anche nello spazio: nel giugno 1970, i cosmonauti Vitaly Sevastyanov e Andrian Nikolayev giocarono una partita contro la sala controllo mentre erano a bordo della Soyuz 9. Sette anni dopo, Sevastyanov divenne presidente della federazione di scacchi dell’URSS. Nel 1999 Sergei Andeyev si portò sulla stazione spaziale
Mir un notebook con un programma di scacchi, per non rinunciare al suo passatempo preferito durante la lunga permanenza nello spazio. L’astronauta americano Gregory Chamitoff giocò a scacchi contro la stazione di controllo mentre si trovava sullo Space Shuttle e quando era a bordo della ISS: una delle sue partite Spazio-Terra, nel maggio 2011, venne ufficialmente sponsorizzata dalla NASA e resa pubblica attraverso i social network.

Anche la fantascienza ha messo in scena partite di scacchi, giocate su astronavi o su pianeti immaginari. Memorabile, a questo proposito, la sonora sconfitta che nel film “2001: Odissea nello spazio” il supercomputer HAL 9000 infligge all’astronauta Frank Poole. Nell’universo di Dune esiste una complicata variante del gioco degli scacchi, denominata “Cheops”. Oltre a pezzi familiari come il re, la regina, la torre e il cavallo, ve ne sono alcuni di peculiari come il primo ministro e i ministri, il duca e la duchessa, il barone e la baronessa, l’assassino, il falco, il soldato, il pastore, la spia.
Ma soprattutto il gioco si svolge su una scacchiera dalla forma piramidale (ecco spiegato il nome). Obiettivo dei giocatori è portare la propria regina sul vertice, al nono piano della piramide, e mettere sotto scacco il re avversario.


Immaginate ora una mini-scacchiera 3×3, con due cavalli bianchi agli angoli superiori e due cavalli neri agli angoli inferiori. Esiste, secondo voi, una sequenza di mosse che porti da questa configurazione di partenza a quella indicata a destra nella figura, con i cavalli di sinistra scambiati tra di loro?

Naturalmente, i cavalli possono muoversi secondo le regole classiche degli scacchi, e una casella non può essere occupata da due pezzi. Buon divertimento!

La matematica del Kama Sutra

Normalmente il Kāma Sūtra, libro indiano scritto dal filosofo Vātsyāyana in sanscrito intorno al secondo secolo dopo Cristo, viene associato all'amore e in particolare alle tecniche per raggiungere il piacere sessuale.
Non tutti sanno, però, che una parte di questo testo, precisamente il capitolo 3, è dedicata alle 64 arti che una donna doveva conoscere per poter trovare marito: e tra queste sono citate il canto e l'uso di strumenti musicali, la legatura di libri, la falegnameria, la conoscenza di miniere e cave, ma anche i giochi matematici, gli scacchi e "l'arte di interpretare scritture cifrate e di scrivere parole in
modi particolari".

In altre parole, l'uso della crittografia per cifrare i messaggi segreti che devono essere scambiati tra due amanti.
L'arte di celare i messaggi è antichissima. Il cifrario di atbash, in cui la prima lettera dell'alfabeto viene sostituita con l'ultima e viceversa, la seconda con la penultima e viceversa, e così via, viene utilizzato perfino nella Bibbia, nel Libro di Geremia.
Anche Giulio Cesare occupa un posto rilevante nella storia della crittografia: il suo cifrario è un po' più sofisticato dell'atbash, perchè ogni lettera non viene sostituita da quella che si trova in posizione speculare nell'alfabeto, ma da una lettera che nell'alfabeto si trova N posizioni dopo. Il bello è che il numero N, noto a chi invia e a chi riceve il messaggio, può essere un numero qualsiasi, il che rende la decodifica del messaggio più ardua rispetto al caso dell'atbash.
Per esempio, la parola CESARE viene cifrata in FHVDUH se scegliamo N=3. Se avessimo scelto per N un valore molto grande, avremmo potuto, per alcune lettere, superare la fine dell'alfabeto: in questi casi avremmo dovuto ricominciare dall'inizio, come se la lettera A fosse immediatamente successiva alla lettera Z.

Ma anche il cifrario di Cesare è facilmente attaccabile da un malintenzionato che volesse spiare i messaggi dei due poveri amanti desiderosi di privacy: basterebbe provare tutti i numeri compresi tra 1 e il numero di lettere dell'alfabeto meno 1, e prima o poi il messaggio verrebbe decodificato.

Ecco che il Kāma Sūtra propone una tecnica ancora migliore (come racconta l'ottimo Marcus Du Sautoy nel suo celebre "L'equazione da un milione di dollari"): il trucco è non utilizzare lo stesso numero N per tutte le lettere dell'alfabeto, ma prevedere una sostituzione diversificata per ogni lettera.
Per esempio, se ogni lettera A diventa una lettera E (posta 4 lettere dopo), possiamo tranquillamente sostituire ogni lettera B con una I (situata 7 lettere dopo), e così via. In altre parole, creiamo una tabella di sostituzione del tutto arbitraria, in cui ogni lettera viene fatta corrispondere con un'altra.
Quante possibili tabelle di cifratura possiamo creare? Dal punto di vista della spia, che non conosce la chiave di cifratura, alla lettera A potrebbe corrispondere una qualsiasi delle lettere dell'alfabeto: se ci basiamo sull'alfabeto inglese, abbiamo quindi 26 possibilità. La lettera B potrebbe essere sostituita da tutte le lettere, tranne quella già impiegata per cifrare la A, quindi in tutto abbiamo 25 possibilità. E così via. Le possibili tabelle di cifratura sono allora 26 × 25 × 24 × ... × 2 × 1. Questo prodotto che coinvolge tutti i numeri interi compresi tra 1 e 26 viene chiamato fattoriale di 26, e si indica con 26! (che non viene pronunciato come una esclamazione, ma semplicemente "26 fattoriale" oppure semplicemente "fattoriale di 26").
Si tratta di un numero molto grande, pari a circa 403 milioni di miliardi di miliardi.

Di quali armi può disporre il malvagio impiccione desideroso di conoscere i messaggi scambiati tra i due amanti? Certamente non potrà esaminare tutti queste possibili chiavi di cifratura: perfino a un supercomputer non basterebbe l'età dell'universo per analizzare tutte queste tabelle e trovare quella utilizzata dagli amanti.
Come fare, allora? Conoscendo quali sono le lettere più frequenti in un tipico messaggio redatto in una certa lingua. Per esempio, lettere come la A e la E sono molto comuni in italiano, mentre la Z e la Q sono molto più rare. Analizzando il messaggio cifrato, a condizione che sia abbastanza lungo, si possono trovare quali sono le lettere che compaiono con maggior frequenza, e quali invece le lettere presenti in poche occorrenze: con ogni probabilità le prime sono la versione cifrata di lettere comuni (come la A o la E), mentre le seconde sono la trasformazione di lettere rare (come la Z o la Q).
Grazie a ragionamenti di questo tipo, la spia potrà, prima o poi, decodificare il messaggio. Evidentemente, però, non si tratta di un lavoro banale come quello necessario a chi desiderasse svelare un messaggio codificato attraverso il cifrario di atbash o quello di Cesare.
Ovviamente la crittografia ha fatto passi da gigante dopo il Kāma Sūtra: cifrari come questo fanno sorridere al giorno d'oggi, in quanto immediatamente violabili dal più scadente tra i software di crittoanalisi.
In ogni caso, se consideriamo che stiamo parlando di un testo di quasi duemila anni fa, non possiamo fare troppo gli schizzinosi. E inoltre adesso non dite più che la matematica non c'entra niente col sesso.

I premi Turing: Alan Newell e Herbert Simon

Che l'intelligenza artificiale sia un campo di ricerca estremamente complesso, posto all'intersezione tra discipline tra loro molto diverse come informatica, matematica, ingegneria, psicologia e filosofia, è cosa ben nota. Non deve stupire, quindi, che tra i maggiori studiosi di questa materia vi siano stati non soltanto matematici e informatici puri, ma anche scienziati eclettici il cui background includeva ambiti apparentemente eterodossi come la psicologia.
Alan Newell e Herbert Simon sono stati un ottimo esempio di questa categoria. Nel 1975, per la prima volta dalla nascita del premio Turing, il prestigioso riconoscimento venne assegnato a due ricercatori anziché uno solo, e la scelta ricadde su questi due americani.
Newell si laureò in matematica a Stanford nel 1949, e lavorò alla RAND Corporation per progetti legati all'aeronautica militare. Pochi anni dopo cominciò ad appassionarsi ad una disciplina che stava muovendo i suoi primissimi passi: l'intelligenza artificiale. Un campo così nuovo che non aveva ancora un nome, visto che la fortunata espressione venne coniata solo al celebre seminario del Darmouth College del 1956. In quegli anni scrisse "The Chess Machine: An Example of Dealing with a Complex Task by Adaptation", uno dei primi libri della storia dell'intelligenza artificiale.
Qui entra in scena Herbert Simon, di 11 anni più vecchio di Newell. Simon si era laureato nel 1936 in scienze politiche, aveva conseguito il dottorato nella stessa materia nel 1943, e aveva iniziato una brillante carriera universitaria in diverse università, occupandosi di scienze politiche ed economia.
I suoi interessi di ricerca, tuttavia, spaziavano anche in molti altri ambiti, dalla psicologia all'informatica, dalla sociologia alla filosofia. Dopo aver letto il libro di Newell, Simon ricontattò il giovane scienziato che aveva conosciuto qualche anno prima a Pittsburgh, e i due cominciarono a collaborare conseguendo alcuni dei risultati più importanti della storia della nascente intelligenza artificiale.
Il "Logic Theorist", da loro realizzato nel 1956 con l'aiuto del programmatore J. C. Shaw, fu il primo programma "intelligente" mai scritto: si dimostrò in grado di dimostrare alcuni dei teoremi enunciati nei Principia Mathematica di Russell e Whitehead, in alcuni casi attraverso dimostrazioni originali.
Altri settori di ricerca studiati da Newell furono l'elaborazione di liste e lo sviluppo di euristiche.
Al seminario del Darmouth College, oltre a Marvin Minsky (da pochi giorni scomparso) e a John McCarthy, già premi Turing rispettivamente nel 1969 e nel 1971, c'erano anche loro, Newell e Simon.
Negli anni successivi la magnifica coppia implementò, sempre in collaborazione con Shaw, un altro programma di intelligenza artificiale, denominato "General Problem Solver": era capace di risolvere problemi di geometria e di giocare a scacchi.
Sia il "Logic Theorist" che il "General Problem Solver" erano scritti in un particolare linguaggio di programmazione ideato dagli stessi Newell e Simon: l'Information Processing Language (IPL).
Nonostante fossimo agli albori della programmazione, questo linguaggio consentiva già alcuni costrutti e meccanismi avanzati, come la gestione di liste, l'allocazione dinamica della memoria, i tipi di dati, le funzioni passate come argomenti, la ricorsione, e molti altri.
Newell continuò, negli anni successivi, a fornire importanti contributi nel campo dell'intelligenza artificiale, ma si occupò anche di psicologia e di modelli cognitivi.
Il suo amico Simon fece anche di più: scrisse di psicologia, di sociologia, di economia, di pedagogia, di scienza del management. Il tema unificante che lo affascinava era il processo cognitivo della decisione.
Il percorso straordinario di questo scienziato così poliedrico culminò nel 1978 con il premio Nobel per l'Economia, ricevuto per aver descritto il concetto di decisione organizzativa in un contesto di incertezza.
Che io sappia, si tratta ad oggi dell'unica persona ad aver vinto il premio Turing e anche il premio Nobel.

Intervista su Redooc Blog

Quelli di Redooc, premiata e celebre piattaforma web per l'insegnamento della matematica, mi hanno intervistato.
Abbiamo parlato dei miei librini e di altre cose, tra cui alberelli di mimose, città invisibili ed Elio e le Storie Tese: se qualcuno fosse interessato, può trovare l'intervista sul blog di Redooc.
Buona lettura!

Gli enigmi di Coelum: "Fibonacci tra le galassie"

Leonardo Pisano, detto Fibonacci

Continua (lentamente, ma continua) la serie dei miei enigmi matematici usciti nei mesi passati sulla rivista Coelum Astronomia.
La puntata di oggi prende le mosse dalla città di Pisa. Nella storia della scienza, e in particolare della matematica, vi sono due giganti pisani. Uno è famosissimo: Galileo Galilei, da tutti conosciuto come il padre della scienza moderna. L’altro, invece, non è così noto: eppure la sua importanza nelle vicende della matematica è enorme.
Pisano lo era di fatto, ma anche di nome: si chiamava infatti Leonardo Pisano, ma dato che suo padre era Guglielmo dei Bonacci, venne soprannominato Fibonacci, cioè “figlio del Bonacci”.
Il padre Guglielmo era un ricco mercante: aveva fatto fortuna tessendo relazioni commerciali con la città algerina di Bugia.
Il giovane Fibonacci trascorse anche lui alcuni anni in Africa, dove venne a contatto con molte tecniche matematiche note nel mondo arabo e ancora sconosciute in Occidente. Fibonacci, che per anni continuò a viaggiare aiutando il padre nelle sue attività commerciali, cominciò ad approfondire in modo originale queste conoscenze matematiche, e ben presto la sua occupazione di mercante passò in secondo piano, soppiantata dal forte interesse per la matematica.
L’imperatore Federico II, famoso per la sua sensibilità culturale e per suo amore per la scienza, venne a conoscenza dei promettenti studi matematici di Fibonacci e gli offrì un vitalizio, che gli permise di dedicarsi completamente ai suoi studi.

La pagina del Liber Abbaci in cui Fibonacci
introduce i "suoi" numeri

Nel 1202 Fibonacci pubblicò la sua opera più importante, il Liber Abbaci, nella quale, oltre a numerosi altri fondamentali concetti di aritmetica e algebra, introdusse per la prima volta in Europa il sistema di numerazione decimale, basato sull’uso delle cosiddette cifre “arabe”, tuttora in uso, compreso lo zero. A quel tempo in Europa si usavano i numeri romani e lo zero era del tutto sconosciuto: non stupisce il fatto che la diffusione del nuovo sistema proposto da Fibonacci incontrò all’inizio molti ostacoli (molti ritenevano che lo zero provocasse confusione e venisse impiegato anche per mandare messaggi segreti).

Nel Liber Abbaci Fibonacci introdusse anche la successione di numeri che prende il suo nome, e che era per la verità già nota agli arabi.
Fibonacci fu un geniale matematico teorico, uno dei più grandi di sempre, ma non rinnegò mai il suo “background” di mercante pragmatico e concreto. Il suo interesse per la successione che porta il suo nome era legato ad un’utilità pratica: in particolare Fibonacci si era accorto che la crescita di una popolazione di conigli poteva essere rappresentato con buona precisione dai numeri della successione.

Immaginiamo di avere, al primo mese, due giovani conigli. Nel secondo mese saranno diventati adulti, e come tali potranno avere figli. Nel terzo mese nascerà una seconda coppia di conigli, ad esempio maschio e femmina. Nel quarto mese la prima coppia genererà altri due conigli, mentre la seconda coppia avrà raggiunto la maturità. Ancora un mese, e le due coppie adulte genereranno altrettante coppie di figli, e l’altra coppia diventerà adulta.
Come rappresentare matematicamente questa crescita della popolazione nei mesi successivi? Semplice: attraverso la sequenza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…., nella quale ogni numero è la somma dei due precedenti.

I conigli d Fibonacci

Questi numeri godono di una enorme quantità di proprietà aritmetiche. Tanto per dirne una, prendete tre numeri di Fibonacci consecutivi, e moltiplicate il primo per il terzo e il secondo per se stesso: otterrete sempre due numeri interi tra di loro consecutivi. Provate ad esempio con i numeri di Fibonacci 5, 8 e 13: ebbene, 5 x 13 fa 65, mentre 8 x 8 fa 64, e ovviamente 65 e 64 sono numeri consecutivi.
Un’altra bizzarra proprietà: se sommiamo tra loro 10 termini consecutivi della successione di Fibonacci, otteniamo sempre un multiplo di 11.
E ancora: ogni numero di Fibonacci è uguale alla somma dei numeri di Fibonacci che lo precedono eccetto l’ultimo, aumentata di 1.
E abbiamo appena scalfito la superficie.
I numeri di Fibonacci si ritrovano inoltre in moltissimi fenomeni naturali. E’ sorprendente, ad esempio, riscontrare che molti fiori hanno un numero di petali che appartiene alla successione di Fibonacci: ad esempio i gigli hanno tre petali, i ranuncoli hanno cinque petali, le margherite solitamente 34 o 55 oppure 89.
Le infiorescenze presenti al centro del girasole descrivono spirali concentriche, alcune delle quali sono disposte in senso orario e altre in senso antiorario: se si conta il numero di spirali orarie e di spirali antiorarie, si ottengono due numeri di Fibonacci consecutivi, ad esempio 21 e 34, oppure 34 e 55.
Fibonacci si ritrova nel mondo delle piante in molti altri casi: dalla disposizione dei rami di alcuni alberi, alla forma delle foglie, ai pistilli sulle corolle dei fiori, alla conformazione degli ananas e delle pigne di alcune conifere.
Ma una delle peculiarità più notevoli dei numeri di Fibonacci è legata ad un concetto familiare anche ai matematici antichi: la cosiddetta sezione aurea, da sempre associata ad un ideale di perfezione e di armonia.
Prendiamo un pezzo di spago di una certa lunghezza, e decidiamolo di tagliarlo in due pezzi, uno più lungo e uno più corto. Vogliamo però che la lunghezza totale dello spago originario stia a quella del pezzo lungo come la lunghezza del pezzo lungo sta a quella del pezzo corto. C’è un modo per ottenere questo? Sì, e se riusciamo ad effettuare questo taglio, possiamo dire che le lunghezze dei pezzi che otteniamo stanno tra loro in un rapporto di sezione aurea.
Per la precisione, il rapporto tra le due lunghezze sarà uguale a circa 1,618: fin dall’antichità questo numero (φ) è stato chiamato con nomi altisonanti, come sezione divina, proporzione aurea, numero di Fidia, e così via.
Ma che c’entrano i numeri di Fibonacci? Il primo ad accorgersi di uno speciale legame tra questi due concetti matematici fu Keplero, nel 1611. Se si prende un qualsiasi numero della successione di Fibonacci, e lo si divide per il numero che lo precede, si ottiene un numero che è abbastanza vicino al rapporto aureo; facendo questo esperimento con numeri che si trovano molto avanti nella successione, quindi numeri molto grandi, il rapporto si avvicina sempre di più a quel fatidico 1,618.

La spirale aurea

I numeri di Fibonacci e la sezione aurea si ritrovano spesso anche nella musica.
Molti compositori soprattutto nel Novecento, hanno costruito le loro composizioni applicando questi concetti matematici alle durate temporali dei brani, o al numero di misure, di battute o di note musicali: ad esempio Bela Bartok li ha utilizzati per la sua celebre Musica per archi, percussioni e celesta, Claude Debussy per la composizione Riflessi nell’acqua, e ancora Igor Stravinsky, Karl Heinz Stockhausen, Luigi Nono e György Ligeti.
Nel mondo del rock, possiamo citare i Genesis (in Firth of fifth), i Deep Purple (in Child of time), i Dream Theater (in Octavarium), i Tool (in Lateralus).

L'enigma proposto nel numero 178 di Coelum era, in sintesi, il seguente:

Un messaggio di capitale importanza deve essere inviato dalla Via Lattea al numero più alto possibile di altre galassie, utilizzando un peculiare sistema di teletrasporto. Per trasferirsi da una galassia all’altra un uomo impiega un’ora, e quando un messaggero ha raggiunto una galassia la notizia trasportata si diffonde immediatamente tra i suoi abitanti. Ogni persona può trasportarsi soltanto due volte, e da ogni galassia può partire una sola persona, senza contare chi vi si è teletrasportato dall’esterno.
Nell’arco di 12 ore, quante galassie è possibile informare?

La risposta è perfettamente e chiarissimamente illustrata nella figura seguente, inviata da un brillante lettore:

Nella prima ora una galassia sarà raggiunta dal primo viaggiatore. Nella seconda ora lo stesso viaggiatore raggiungerà una nuova galassia, mentre un nuovo messaggero partirà alla volta di una terza galassia. Nel corso della terza ora altre tre galassie potranno essere avvisate della terribile minaccia, e così via.
In generale, si vede facilmente che il numero di galassie raggiunte nella N-esima ora corrisponde all’N-esimo numero della sequenza di Fibonacci.
Per calcolare il numero complessivo di galassia informate nel corso di dodici ore, si devono quindi sommare i primi 12 numeri di Fibonacci, eventualmente aggiungendo 1 per tenere conto della galassia d’origine, cioè la nostra Via Lattea.
Appuntamento al prossimo enigma!

Carnevale della Matematica #92

Canta, canta delizioso.
(dalla Poesia gaussiana)

Benvenuti al Carnevale della Matematica n. 92, il quarto ospitato da Mr. Palomar.
Strano tipo, direte voi, questo Mr. Palomar: sparisce per molte settimane, poi se ne esce a dire che finalmente il silenzio è finito e i post torneranno più frequenti che pria, e invece scompare ancora più a lungo, per riemergere solo oggi, in occasione della solenne celebrazione carnevalesca.
Avete ragione: gli impegni e le vicissitudini di vario tipo mi hanno sopraffatto in questi ultimi mesi, e sono riuscito a scrivere pochissimo. Spero di tornare gradualmente alla normalità e soprattutto di mantenere le promesse. Qualcuno si sarà chiesto, ultimamente, se questo blog è ancora un blog reale o se è diventato qualcosa di immaginario. Ecco allora che il tema da me proposto per questa edizione, "Matematica reale e matematica immaginaria" cade proprio a fagiuolo.
Per esempio, Mr. Palomar contribuisce al Carnevale con un post del tutto immaginario: tanto immaginario che non esiste nemmeno.
Naturalmente il tema poteva essere declinato in molti modi: dal significato propriamente matematico di "reale" e "immaginario", a interpretazioni più libere e fantasiose.
E in effetti i partecipanti, che ringrazio fin d'ora, hanno sfoderato tutta la fantasia e brillantezza possibili per offrire contributi di alta qualità: alcuni deliziosamente in tema, altri meravigliosamente fuori tema.

Ah! Se vogliamo iniziare dignitosamente il Carnevale, non posso dimenticare due riti che ormai sono diventati tradizione: il motto gaussiano, derivante dalla poesia dell'unicità della fattorizzazione concepita dal Sommo Popinga, e la cellula melodica, genialmente ideata e gentilmente fornita da Flavio Ubaldini, anche noto come Dioniso Dionisi.

Il motto del Carnevale n. 92 è riportato all'inizio di questo post, mentre la cellula melodica è la seguente:



E finalmente cominciamo con i contributi.

Davide Passaro, dal sempre stimolante blog Math is in the air, dedicato al divulgazione della matematica applicata, ci segnala diversi articoli.
Il primo è un'intervista in due parti ad  A. Vulpiani, professore di fisica teorica dell'università "La Sapienza" di Roma, sul suo libro "Caso, probabilità, complessità" e su molte altre questioni come il rapporto fra politica e ricerca, la scuola, l'università. Trovate nei link seguenti la prima parte e la seconda parte.
Il secondo articolo segnalato da Davide si intitola Dalle distanze non Euclidee alle geometrie non euclidee, ed è un articolo di Pasquale Napolitano in cui, partendo da Totò e Peppino e le loro domande "per andare dove devo andare", si arriva alle geodetiche e alle geometrie non euclidee.
(Otto) gambe in spalla - Modelli matematici discreti è la prima parte di un articolo di F. Calimera incentrato sull'introduzione a livello didattico di possibili modelli matematici discreti.
Matematica e biologia insieme: una introduzione è invece un post di Fabio Peluso che analizza alcuni possibili  esempi di connessioni fra la matematica e la biologia.
L'abbondante carrellata si chiude con la terza parte di 'Formule Incredibilmente Belle Osano Numerare Anche i Conigli! Che Ilarità!', serie di articoli dedicati a Fibonacci scritti da Francesco Bonesi, dove si parla dell'equazione Aurea, di "Paperino nel mondo della matemagica" e della canzone "Lateralus" dei Tool.

Annalisa Santi, dal bel blog Matetango, segnala due deliziosi post contenenti considerazioni e paralleli tra fumetti e matematica reale e/o immaginaria.
Nel primo, Fumetti.....Matematica reale e immaginaria!, Annalisa si regala una carrellata di cartoons a tema matematico, e nel secondo, Numeri Immaginari.....Matematica reale o immaginaria?, ci propone un viaggio alla scoperta dei numeri immaginari accompagnata dai fumetti Calvin & Hobbes da lei rielaborati.

Il poliedrico blog Zibaldone Scientifico, nella persona di Mauro Merlotti, propone un post intitolato Media armonica", che cerca di spiegare come sia facile lasciarsi ingannare dall’intuito e viceversa non sia semplice districarsi tra le varie medie. Ogni media, osserva Merlotti, ha un suo perché, ed è solo questione di capire quale usare.
Lo Zibaldone è persino riuscito a offrire un post in tema: si tratta di un articolo uscito in passato sul blog, dal titolo Argomenti Complessi.

Il già menzionato Dioniso Dionisi, oltre ad avere confezionato la cellula melodica, impacchetta due post per il presente Carnevale.
Nel primo, ll paradosso del mentitore è davvero un paradosso?, si affronta lo spinoso enigma posto nell'antichità da Epimenide, che per l'occasione viene spostato da Creta al Bel Paese: "se dico che tutti gli italiani sono bugiardi e io sono un italiano, genero un paradosso?"
Il secondo, Un parere estetico-matematico sulla dodecafonia, è un divertente e brevissimo post sulla (diciamo così) difficoltà (già analizzata scientificamente dal fisico Andrea Frova) di amare certi generi di musica.

Ed eccoci arrivati alla consueta ricchissima offerta dei Rudi Mathematici. Piotr, Rudy e Alice, indiscussi maestri della matematica ricreativa italiana, mi scrivono annunciandomi che (testuali parole) il mio Carnevale "non sarà infettato da nessun compleanno di RM". La valente redazione pubblica infatti un compleanno al mese (solare), mentre (cito i Rudi di nuovo) "il Carnevale copre i post che vanno dal 15 del mese N-1 al 14 del mese N: ebbene, quello di Novembre è uscito prima del 14/11, e quello di dicembre uscirà dopo il 14/12". Bè, ce ne fossero di agenti infettatori come i compleanni dei Rudi Mathematici!

Ed ecco i contributi provenienti dal blog Rudi Matematici su Le Scienze.
Rudy, alacre GC, sta da tempo rivisitando gli enigmi di Canterbury, e questa volta tocca all’Enigma del Chierico di Oxford: curiosa assonanza, dato che il cognome reale del Grande Capo è Clerico.
Sempre dalla penna di Rudy arriva un post che insegna a risolvere i sudoku: Numeri celibi. Che c'entra il celibato con il sudoku? C'entra, c'entra... leggete e capirete.
I Rudi poi ci sfidano a pronunciare correttamente al primo tentativo il titolo del loro post Kolowis Awithlaknannai, dove si parla di un gioco inventato dagli indiani Zuni, giocato su una scacchiera con quindici incroci e quarantasei pedine.
Ecco il consueto post di soluzione al problema pubblicato su “Le Scienze”: si parlava di un soggiorno messo a soqquadro per far spazio ad un percorso di post-it, sopra i quali c'erano disegnate delle frecce che indicavano la strada verso le ciotole delle crocchette della gatta...
Infine, i Rudi mi fanno presente di essere riusciti a produrre il numero 203 della loro prestigiosa e-zine in tempo per poterlo comunicare durante questo Carnevale: onorato, cari amici!
E poi attenzione: sta per uscire con furore anche il leggendario Calendario 2016 di Rudi Mathematici. Restate in ascolto.

Il fondatore del Carnevale, Maurizio Codogno, propone come al solito una serie lunghissima di contributi. Due provengono dal Post: La musica più brutta del mondo, pillola nella quale si parla di musica ma anche di matematica, e Teoremi e probabilità, post in cui .mau. spiega come un teorema possa essere dimostrato anche con metodi probabilistici.
Dalle Notiziole Codogno si rivela meglio di Babbo Natale in quanto a generosità. Ecco i tradizionali quizzini della domenica: Controcorrente, Gemelli, La successione misteriosa, Parchimetro, Prodotti speciali. Non mancano due recensioni di libri, che questo mese non sono del tutto positive: Il museo dei numeri e Giocando alla matematica. Chiudono due post di "povera matematica": Secoli di calcoli e ragionamenti molto complessi (e poi ci stupiamo che le banche falliscano...) e 51% (un errore di approssimazione?).
Sugli Archivi .mau. propone quella che lui stesso definisce una"lerciata": Il professor Menoch e l'ipotesi di Riemann.
E infine, segnala che è uscito un suo nuovo libro, nell'ambito della collana "Altramatematica" di 40K: si intitola Alfabeto matematico ed è un e-book che non tratta di concetti matematici ma di etimologie di parole di interesse matematico.

Leonardo Petrillo mi racconta che, ispirato dal tema di questo Carnevale, ha voluto intraprendere nel suo sempre appassionante blog Scienza e Musica, un Viaggio nell'immaginario mondo dei numeri complessi, che si conclude con un bel passo tratto dal recente "Storia dei simboli matematici" di Joseph Mazur.

E quindi, Cramer? è il brillante contributo di Roberto Zanasi e del suo blog Gli studenti di oggi: riprendendo un post ospitato dal precedente Carnevale, lo Zar fornisce una spiegazione visiva del funzionamento della regola di Cramer (si segnala che questo post è introduttivo e che la spiegazione completa uscirà nel prossimo post, per il prossimo Carnevale).

Gianluigi Filippelli partecipa al Carnevale con tre interessanti pezzi usciti sul notevole blog DropSea.

Il moto perpetuo, per la serie dei Rompicapi di Alice, è un bel post con tanta fisica, ma anche un po' di matematica: tra i personaggi coinvolti, il matematico e astronomo indiano Bhaskara II e la sua ruota perpetua, e George Biddell Airy, che esamina matematicamente il problema.
Per le recensioni, Filippelli propone Il segreto di Majorana: fumetto impressionista: è la recensione del libro di Francesca Riccioni e Silvia Rocchi sul fisico teorico Ettore Majorana, scomparso senza lasciare traccia.

Infine, Tuono Pettinato racconta Albert Einstein racconta come, per i cento anni della relatività generale, Le Scienze abbia pubblicato un bel fumetto veloce e leggero di Tuono Pettinato dedicato ad Einstein e alla sua scoperta.

Il Coniglio Mannaro di Spartaco Mencaroni regala al Carnevale Tabelle immaginarie. Cito testualmente dal messaggio inviatomi dall'autore: "uno sproloquio in libertà sulla matematica, le liste e le tabelle che usiamo tutti i giorni. Di immaginario, via via che scrive, ce ne mette parecchio, visto che si spinge a immaginare tabelle solide e N dimensionali, con cassetti infiniti e "spazi negativi".

E infine ecco la generosissima serie di contributi provenienti da MaddMaths!
Chi è John M. Smith? Cos'ha di umido la matematica? Che c'entra con l'evoluzione? Perché la Natura seleziona forme matematiche per ottenere vantaggio evolutivo? Scopritelo leggendo la settima puntata della rubrica "La matematica umida dell'evoluzione" di Davide Palmigiani, pubblicata in occasione dell'Evolution Day: questa festa si celebra ogni 24 novembre e rievoca la pubblicazione dell'Origine delle specie di Charles Darwin, avvenuta il 24 novembre 1859.
In Il matematico László Babai propone un algoritmo efficiente per il confronto di reti, Vincenzo Bonifaci racconta di come recentemente il matematico e informatico americano di origine ungherese László "Laci" Babai abbia annunciato di aver trovato un algoritmo quasipolinomiale per il problema dell'isomorfismo di grafi.
Per la rubrica "Ripetizioni", Davide Palmigiani propone Puntata 5: "Libri" ("abbiamo cominciato a scuola con la teoria degli insiemi! Unioni, intersezioni, sottrazioni, prodotti cartesiani...appartiene, contenuto...uno strazio!") e Puntata 7: "Cioccolato" ("Magia! Cioccolato infinito! Abbiamo risolto il problema della fame nel Mondo! Ma smettila, non è che se togli un quadretto da una tavoletta di cioccolata ti rimane la stessa quantità magicamente!”).

Per l'Angolo arguto, Corrado Mascia e Davide Palmigiani hanno scritto Far saltare la mosca al naso (di Turing). Come recita l'abstract, "neppure dopo il morso di una velenosa mela al cianuro Alan Turing riesce a riposare tranquillo. Questa volta è il ronzio di una specie di mosca a disturbare il suo riposo. Colpa (o merito) di un gruppo di ricerca russo che sostiene, in questo articolo, di aver visto strutture di Turing nella cornea di una Drosophila, insetto noto anche come moscerino della frutta".

Infine, l'Alfabeto: in S come spettro Corrado Mascia ci assicura che non ci vuole coraggio per affrontare uno spettro, piuttosto il contrario.

Chiudo ringraziando di cuore tutti i partecipanti che hanno contribuito con generosità e con bravura. 

Appuntamento a gennaio 2016 per la prossima edizione, e lunga vita al Carnevale della Matematica!