Gli enigmi di Coelum: alberi nel cielo

Come qualcuno ricorda, da ormai quasi due anni curo sulla prestigiosa rivista Coelum Astronomia una rubrica di matematica ricreativa, significativamente intitolata Moebius.

Questa mia attività è per me qualcosa di entusiasmante: immeritatamente posso dire di fare qualcosa di vagamente simile a quello che hanno fatto o fanno alcuni giganti della divulgazione matematica, come Martin Gardner, Douglas Hofstadter, e, per citare alcuni maestri di casa nostra, i Rudi Mathematici.

Insomma, lo ammetto: per me Moebius è un gran divertimento. Gli ingredienti principali di ogni articolo sono tre: un po' di matematica raccontata con semplicità, una sfida lanciata al lettore e un pizzico di astronomia per condire il tutto.

Se volete divertirvi anche voi con la matematica giocosa di Moebius, e mettervi alla prova ogni mese con un avvincente enigma, non dovete fare altro che abbonarvi a Coelum: vi basterà poi risolvere per primi il problema del mese per vincere sei mesi gratuiti!

Per gentile concessione della redazione, ho la facoltà di riproporre su questo blog, con qualche mese di ritardo, gli approfondimenti, a suo tempo usciti sul sito di Coelum, riguardanti i temi trattati negli articoli pubblicati sulla rivista cartacea: sono argomenti che in alcuni casi ho già in parte trattato su Mr. Palomar. Ma vedrete, non mancheranno le novità interessanti.

Comincerò con le note relative all'articolo uscito a settembre 2013, nel quale avevo suggerito una possibile parentela tra le costellazioni e le reti in matematica: in entrambi i casi ci troviamo di fronte a un insieme di nodi (le stelle) congiunte da archi (le linee che danno una "forma" alle costellazioni, così come vengono convenzionalmente raffigurate negli atlanti stellari).

I matematici hanno cominciato a parlare di reti, o di grafi, come talvolta si preferisce dire, in tempi relativamente recenti. Ad introdurre per primo questo concetto fu, intorno al 1736, lo svizzero Leonhard Euler (spesso italianizzato in Eulero), uno dei più grandi geni matematici di ogni epoca.

A offrire a Eulero l’assist per fondare la teoria dei grafi fu un curioso enigma che si ispirava alla particolare conformazione della città prussiana di Königsberg.

Questa città, che oggi si chiama Kaliningrad e si trova in territorio russo, è famosa per avere dato i natali al filosofo Immanuel Kant e al matematico David Hilbert. Il fiume che attraversa l’area cittadina, il Pregel, forma due vaste isole, che nel Settecento erano collegate tra di loro e con le due aree principali della città tramite sette ponti. Il problema consisteva nel tracciare un percorso che attraversasse ognuno dei sette ponti una e una sola volta, tornando infine al punto di partenza.
Oggi i matematici chiamano “euleriano” un percorso di questo tipo. Cosa fece Eulero per meritare un simile onore? Semplicemente dimostrò che a Königsberg non esiste un circuito euleriano.

Come vi riuscì? La mossa vincente fu formulare il problema in termini di “rete”. Eulero rappresentò infatti ciascuna delle aree urbane come un “nodo” e ciascuno dei ponti come un “arco”. Analizzando la rete che si era originata, si accorse che da ogni nodo usciva un numero dispari di archi; nel contempo riuscì a dimostrare che in una rete esiste un percorso euleriano se e soltanto se non vi sono nodi toccati da un numero dispari di archi. Ecco allora che la passeggiata euleriana sui ponti di Königsberg è impossibile.

Il bello è che Eulero fu il primo in assoluto a risolvere un problema ricorrendo a strumenti di questo tipo: mentre disegnava il grafo della città di Königsberg, di fatto Eulero stava fondando un nuovo importante ramo della matematica.
I colleghi di Eulero lo snobbarono per questa sua trovata: secondo loro soltanto argomenti come l’analisi infinitesimale, la teoria dei numeri e la geometria erano degni delle attenzioni di un matematico, e tutto il resto era solo perdita di tempo.
Ma proprio il tempo diede ragione a Eulero. Oggi la teoria dei grafi è considerata un’area fondamentale della matematica, insostituibile in molti rami della fisica, dell’ingegneria, dell’informatica.
Senza rendercene conto, tutti i giorni abbiamo a che fare con le reti: cosa sono, secondo voi, gli alberi genealogici, gli organigrammi aziendali, i diagrammi di flusso, gli schemi elettrici? E che dire del reticolo di strade della nostra città, della rete dei telefoni cellulari, di internet, del web, dei social network?
Perché, allora, non trattare anche le costellazioni come reti? Un tempo gli atlanti si limitavano a mostrare le posizioni delle stelle presenti in ogni costellazione, decorando il tutto con eleganti disegni ispirati a personaggi mitologici; ma in tempi più recenti sono comparse le familiari linee che congiungono le stelle tra di loro. Questi intrecci sono reti a tutti gli effetti, e per di più planari, in quanto le linee non si intersecano mai, se non nelle stelle stesse.

Già nel 1930 furono stabiliti i confini convenzionali delle costellazioni, ma il modo in cui le stelle di ogni costellazioni vengono collegate tra di loro non fu mai oggetto di standardizzazione. A seconda che il disegno di una costellazione contenga o meno circuiti chiusi, ci possiamo trovare di fronte a una rete qualsiasi o ad una rete speciale, chiamata “albero”.

Sono chiamati alberi, quindi, i grafi in cui, presi a caso due nodi, esiste esattamente un percorso che li congiunga. Ovviamente, il carattere “arboreo” o meno di una costellazione è legato alla libera scelta di come unire le stelle l’una all’altra. Cassiopea, ad esempio, viene tipicamente disegnata come una grande W, ma nessuno ci impedisce, per una volta, di trasgredire e tratteggiarla in modo diverso.
Il problema di settembre 2013 richiedeva appunto di ridisegnare Cassiopea in modo che le stelle Segin, Ruchbah e Tsih siano collegate ciascuna a una sola stella, mentre Caph è collegata a tre stelle. Veniva anche richiesto di dimostrare l’unicità della soluzione trovata.

Siete in grado di risolvere l'enigma? Se volete provarci da soli, aspettate a leggere il seguito di questo post! (ovviamente, per chi indovinerà la risposta non ci sarà nessun premio, se non la soddisfazione di essere riusciti nell'intento)

Un possibile approccio per risolvere il rompicapo è il seguente.

 

Dato che le stelle prese in considerazione sono cinque (Segin, Ruchbah, Tsih, Shedir e Caph), si tratta di disegnare un albero formato da cinque nodi. Ora, dal punto di vista della topologia della rete, un simile albero può essere di tre tipi soltanto (vedi figura).

Che esistano soltanto queste tre topologie lo si può vedere molto facilmente. Provate a costruire un albero di cinque nodi passo dopo passo, cioè partendo da un nodo soltanto e aggiungendo via via gli altri: vi accorgerete che le opzioni possibili vi porteranno comunque verso queste tre conformazioni, e nessun’altra è raggiungibile.
Dato che nella nuova Cassiopea che vogliamo costruire c’è una stella (Caph) collegata a tre stelle, possiamo senz’altro escludere il primo tipo di albero (in cui nessun nodo ha tre adiacenti) e anche il secondo (nel quale il nodo centrale ha quattro adiacenti, e gli altri quattro ne hanno soltanto uno, appunto quello centrale).
Siamo quindi nel terzo prototipo di grafo, nel quale vi è un nodo C (nel nostro caso Caph) legata a tre suoi vicini (B, D, E). Dato che Segin, Ruchbah e Tsih devono avere una sola vicina, il nodo B è sicuramente Shedir, adiacente a Caph e collegato a due nodi.
Per trovare la soluzione, non ci resta che abbinare i nodi A, D ed E alle stelle Segin, Ruchbah e Tsih. Due di questi (D ed E) devono legarsi a Caph, e un altro (A) a Shedir. Da una rapida analisi della disposizione delle stelle di Cassiopea, appare evidente che soltanto scegliendo Ruchbah come nodo A (e quindi abbinando Segin e Tsih ai nodi D ed E) si evitano sovrapposizioni di linee, preservando la planarità del grafo.
Quindi l’unica soluzione compatibile con gli indizi dati è quella illustrata nella figura seguente (dove gli archi dell’albero individuato sono mostrati in rosso, sovrapposti alla tradizionale W di Cassiopea):

Carnevale della Matematica #82 su Rudi Matematici, ovvero "Mr. Palomar è diverso"

Per la prima volta in più di 4 anni, Mr. Palomar non ha partecipato questo mese al Carnevale della Matematica. Perché? Si è forse stufato di far parte di questo nobile cenacolo? No, assolutamente no, decisamente no! Semplicemente, come i miei sparuti lettori avranno già notato, impegni e concomitanze varie hanno fatto sì che le ultime settimane siano state poco generose in termini di post, cosicché nessun contributo poteva essere offerto all'evento carnevalizio di febbraio. Ma sicuramente, già dal prossimo mese, Mr. Palomar tornerà.
La mia diserzione di questo mese, devo dire, mi ha addolorato in modo particolare, per almeno tre buoni motivi:
1) perché il Carnevale della Matematica è sempre il Carnevale della Matematica (altro che il Festival di Sanremo);
2) perché quello di febbraio è il Carnevale più autenticamente carnevalesco dell'anno;
3) perché quello di febbraio è tradizionalmente il Carnevale della Matematica ospitato dagli ineffabili Rudi Mathematici, e potete tutti capire che un Carnevale ospitato dai Rudi è sempre, inevitabilmente, qualcosa di superlativo.
Insomma, quando ho scritto agli amici Rudi comunicando la mia assenza, l'ho fatto con un certo dispiacere.
Quando poi il Carnevale è uscito, sabato scorso, ho cominciato a leggerlo, trovandovi mille conferme alle alte aspettative che i valenti Rudi ogni volta generano. Il tema, di per sè geniale, era la diversità, ovvero: "famolo strano". Il nome in codice gaussiano lo lascio raccontare ai Rudi stessi:

Negli anni (perché sì, è indubbio: 82 diviso 12 fa un numero plurale di anni) si sono consolidate delle tradizioni. Una, ad esempio, è quella che ha aperto questo post, proprio sotto il titolo: trattasi di un verso poetico, per la precisione dell'ottantaduesimo verso della Poesia Gaussiana (o dell'unicità della fattorizzazione) del sommo Popinga. Ha il sublime e duplice fascino d'essere infinita e al tempo stesso prevedibile (almeno nella struttura), come solo le consapevolezze scientifiche e le debolezze umane sanno essere. E con questo, all'Ignaro Pellegrino dovremmo aver sciolto il primo dubbio, dacché "canta innamorato" potrebbe perfino apparir incongruo, in un posto (e in un post) dove ci si aspetta matematica. O forse no... in fondo, ce lo ricordiamo benissimo, che oggi è la festa degli innamorati; e poi, come se non bastasse, siamo pure in piena settimana canterina. E se pensate che si stia scherzando, o beh... alla fin fine è anche la settimana cruciale del Carnevale (quello tout-court).

Oltre ai numerosi contributi, magnificamente presentati dai padroni di casa, il Carnevale propone anche un divertente "quiz fotografico": i Rudi hanno infatti raccolto una serie di immagini di famosi scienziati ritratti in atteggiamenti insoliti (per esempio in moto o nel bel mezzo di una corsa, o intenti a giocare con strani trastulli, o a suonare il violino o i bonghi, e così via). Quale miglior modo di celebrare la diversità, ovvero, in questo caso, il genio?

Ma, continuando a leggere il Carnevale dei Rudi, a un certo punto mi sono accorto che, nonostante la mia dichiarata assenza, veniva comunque menzionato il mio nome. Com'è possibile? Bè, il mitico trio ha individuato, proprio nella mia (inevitabile) decisione di non figurare tra i contributori, un segno di diversità, al punto da decidere di proclamarmi "vincitore del Carnevale":

Tempo di far calare il sipario, mentre ancora volano coriandoli per l'aere. Non prima di aver stabilito il vincitore del Carnevale, però ("Vincitore? Che vincitore? Non c'è mai stato un vincitore, in tutta la storia dei carnevali matematici..."). Ebbene, il vincitore è - lo stabiliamo or ora - colui che si è mostrato più aderente al tema: e in questa edizione il vincitore è, senza ombra di dubbio, Paolo Alessandrini, fedele e abituale Carnevalista, che ci ha scritto scusandosi di non poter dare, stavolta, contributo veruno. C'è qualcuno che può obiettare, in questo Carnevale della Diversità? Più diverso di così...

Confesso che non avevo minimamente pensato alla mia defezione come un segnale di diversità. Ma, a ben vedere, i Rudi hanno perfettamente ragione. Sono stato diverso da tutti gli altri partecipanti, ma soprattutto diverso da me stesso, avendo sempre partecipato dal lontano gennaio del 2011.
Leggendo quanto ho riportato sopra, lo ammetto, ho riso di gusto per diversi minuti. Grazie di cuore, Rudi! Grazie a voi posso ancora dire di essere stato presente a tutte le edizioni del Carnevale!
Il prossimo mese il Carnevale sarà celebrato nel giorno del Pi-Day, cioè il 14 marzo: come è consuetudine a ospitarlo sarà il blog DropSea, di Gianluigi Filippelli.
Evviva il Carnevale, evviva i Rudi!

Un anno di matematica e Pink Floyd

Ieri il mio librino La matematica dei Pink Floyd ha compiuto un anno, dato che è uscito ufficialmente il 24 gennaio 2014.
Sono stati dodici mesi entusiasmanti: ho avuto l'onore di presentare l'e-book al Salone Internazionale del Libro di Torino ma anche in altre occasioni non meno divertenti, presso biblioteche e scuole e all'interno di trasmissioni radiofoniche.
Il destino ha anche voluto far sì che l'anno del mio librino coincidesse con l'anno del ritorno dei Pink Floyd, con il nuovo album The endless river.
Anche il 2015 mi vedrà impegnato a parlare del mio e-book.
Il prossimo martedì 24 febbraio sarò alla Biblioteca Comunale di Maserada sul Piave, in provincia di Treviso, dove sarà riproposta una serata simile a quella di Breda di Piave dello scorso novembre: non un classico incontro con l'autore, ma una carrellata di suggestioni musicali e matematiche, un assaggio dei temi trattati nel libro, e poi immagini, video, letture.

Interverranno Stefano Zamuner, che con la sua chitarra regalerà alcune preziose atmosfere floydiane, e Christian Stradiotto, che leggerà alcuni passi del libro.
La serata, ovviamente a ingresso libero, avrà inizio alle ore 20.30. 

Ringrazio la Biblioteca e l'Amministrazione di Maserada per la stimolante opportunità che mi hanno offerto. E mi raccomando (almeno chi si trova dalle parti di Treviso): non mancate all'appuntamento!

Carnevale della Matematica #81 su Scienza e Musica

Come spesso accade, giungo in ritardo a recensire il Carnevale della Matematica. Che poi, a ben vedere, il Carnevale è già di per sè un insieme (e che bell'insieme!) di recensioni di post, e almeno uno dei post recensiti è sempre di Mr. Palomar: se allora quest'ultimo a sua volta recensisce il Carnevale in un post che potrebbe anche finire sul successivo Carnevale, ecco chiudersi un anello che quasi quasi il buon Hofstadter definirebbe "strano".
Ma non divaghiamo: il Carnevale di inizio 2005 è stato ospitato da Leonardo Petrillo nel suo blog Scienza e musica, con l'interessante tema "Storia, Personaggi e Applicazioni dell'Analisi Matematica".
Se non l'avete ancora letto, fate attenzione: è un Carnevale ricchissimo, ma che dico ricchissimo, monumentale, ma che dico monumentale, enorme. Il bravo Petrillo ci regala una magnifica e memorabile introduzione storica sull'analisi matematica, che non parte, come solitamente si fa, da Newton e Leibniz, ma da molto prima, come spiega lo stesso Leonardo:

Sì, è vero, vengono considerati giustamente "padri" di tale disciplina le grandi menti di Isaac Newton e Gottfried Wilhelm von Leibniz (tra l'altro in accesa disputa fra loro), eminenti personalità scientifiche del XVII secolo, tuttavia la nostra introduzione partirà, come giusto che sia, da tempi molto più remoti.
Anzi, ci focalizzeremo proprio sulle origini antiche di questa branca della matematica, in quanto in tal contesto non sarebbe possibile affrontare tutti i numerosissimi e straordinari sviluppi che ci furono dopo i lavori di Newton e Leibniz (ci dovremmo dilungare davvero troppo e inoltre si rischierebbe di non poter fare a meno di un certo livello di tecnicismo, inadeguato per un'introduzione di un carnevale).

Il Carnevale, poi, propone la sua generosa carrellata di contributi, alcuni a tema e altri no: e in questa seconda categoria rientra anche il post offerto da Mr. Palomar, sul premio Turing Donald Knuth.
Dimenticavo una cosa molto importante, anzi due: il nome gaussian-popinghiano in codice di questa edizione è "il merlo, il merlo: il merlo? il merlo!", e la sua cellula melodica è... bè, andate a vedere da voi, no?
E non dimenticate che la prossima edizione del Carnevale sarà ospitata, come tradizionalmente accade a febbraio, da quei simpaticoni dei Rudi Mathematici, con il tema (davvero azzeccatissimo) della diversità. Buon Carnevale a tutti!

I premi Turing: Donald Knuth

Ricordo che ai tempi dell'università mi imbattevo di continuo in articoli o libri di informatica che, nella bibliografia, immancabilmente citavano uno dei testi sacri di questa disciplina: The Art of Computer Programming (in italiano L'arte della programmazione), dell'informatico americano Donald Knuth.
Probabilmente contagiato da questa usanza, anch'io alla fine decisi di inserire il sacro titolo nella bibliografia della mia tesi, come potete vedere nella figura qui a fianco.
Donald Knuth ha festeggiato proprio l'altro ieri, 10 gennaio, il suo settantasettesimo compleanno. Quando a Padova trovavo il suo libro citato ovunque, l'insigne ricercatore era appena più che cinquantenne: e io che me lo figuravo come un accademico decrepito, se non addirittura già defunto!
The Art of Computer Programming (spesso citata come TAOCP) è una monografia in più volumi, riguardante la teoria degli algoritmi e la loro analisi. Nei piani iniziali di Knuth, cioè attorno al 1962, doveva diventare un libro singolo in dodici capitoli. Negli anni successivi, però, il progetto si ampliò moltissimo, al punto che l'autore decise di strutturare la monografia in ben sette volumi. I primi tre uscirono rispettivamente nel 1968, nel 1969 e nel 1973. Si dovette attendere il 2005 per vedere una prima edizione del quarto volume (che venne completato nel 2011). L'opera è quindi tuttora largamente incompleta, e nuovi volumi sono attesi per i prossimi anni.

Seguendo le orme del padre, organista dilettante, anche il giovane Donald studiò musica, e da ragazzo suonava l'organo in chiesa alla domenica. Una sua passione giovanile era inventare cruciverba, che poi pubblicava nel giornalino della scuola. A quattordici anni vinse un concorso sponsorizzato da una ditta di dolciumi. La sfida era formare il maggior numero possibile di parole con le lettere di "Ziegler's Giant Bar": Donald ne trovò ben 4500, mentre i giudici stessi ne avevano soltanto 2500 nella loro lista di riferimento.
Oltre che dalla musica e dall'enigmistica, Donald era fortemente attratto dalla fisica e dalla matematica, e per molto tempo fu incerto su quale sarebbe stata la sua strada. Un bel giorno decise che sarebbe diventato un fisico, ma nemmeno questa si rivelò essere la scelta definitiva: alla fine cambiò facoltà e si iscrisse a matematica (la musica è tuttavia rimasta un suo grande amore: oggi trascorre molto tempo suonando un organo a canne che è stato installato nella propria abitazione).

Knuth ottenne il dottorato in matematica nel 1963, al California Institute of Technology, dove subito dopo fu assunto come professore associato. In quegli anni ricevette la proposta di scrivere un libro sui compilatori, e fu questo l'assist che lo portò a redigere il suo celebre e monumentale trattato.
Lavorò poi per la NSA (National Security Agency), e nel 1968 divenne professore alla Stanford University.
Gli anni successivi lo videro destinatario di una lunga serie di importanti premi: oltre al premio Turing, vinto nel 1974, Knuth fu insignito del Grace Murray Hopper Award, della National Medal of Science, del John von Neumann Medal e del prestigioso Premio Kyōto.
Nel 1992 Knuth si ritirò dall'insegnamento: di tanto in tanto tiene ancora lezioni informali, che lui ama chiamare "computer musings" (meditazioni informatiche"). Citando la sua celebre opera, la Stanford University lo ha insignito del titolo di "Professor Emeritus of The Art of Computer Programming".

Il contributo principale di Knuth, riversato in TAOCP e motivo dell'assegnazione del premio Turing, riguarda soprattutto la teoria degli algoritmi e la loro analisi. Cosa significa analizzare un algoritmo? Essenzialmente determinare la quantità di risorse (tempo e spazio di memoria) necessarie per eseguire l'algoritmo stesso su un computer. Naturalmente, la quantità di risorse necessarie dipende dalla mole di dati che vengono dati in ingresso all'algoritmo: tuttavia, è di solito possibile stabilire una funzione che lega queste due grandezze, cosicché si scopre che esistono algoritmi la cui funzione cresce molto rapidamente e algoritmi per i quali la funzione si mantiene invece su livelli bassi anche per grandi quantità di dati in ingresso. Si dice che gli algoritmi del primo tipo hanno un'alta complessità, mentre quelli del secondo tipo, caratterizzati da una complessità più bassa, si rivelano quelli preferibili per la risoluzione di problemi.
Nel suo trattato Knuth considera in dettaglio molti problemi computazionale, fornendo indicazioni sugli algoritmi utilizzabili per risolverli e sistematizzando le tecniche matematiche rigorose per l'analisi della complessità.

Oltre che per queste fondamentali ricerche, Knuth è noto anche per avere creato il sistema tipografico TeX, adatto alla composizione di testi matematici e scientifici. Da questo sistema, Leslie Lamport,  vincitore del premio Turing nel 2013, derivò il popolare linguaggio di markup LaTeX.
Restando sempre nell'ambito tipografico, Knuth inventò anche METAFONT, un linguaggio di programmazione usato per definire font vettoriali.
Un altro merito di Knuth è legato alla cosiddetta "literate programming", un approccio alla programmazione in cui il programma viene descritto utilizzando una lingua naturale come l'italiano, inframezzando qua e là porzioni di codice: il contrario di quello che fanno solitamente i programmatori, che producono lunghi file di codice con qualche commento in linguaggio naturale ogni tanto.
Knuth, inoltre, è sempre stato un fiero oppositore del concetto di brevetto nel capo del software.

Ma al si là dei suoi risultati nell'ambito della ricerca informatica, Donald Knuth è celebre per la sua poliedricità, per il suo umorismo e per certe scelte per così dire bizzarre.
Per cominciare, non usa più la posta elettronica dal 1990: lui stesso afferma di averla utilizzata solo per 15 anni, a partire dal 1975. In questa pagina spiega le ragioni della sua scelta.

Per ogni errore scovato nei suoi libri, Knuth riconosce un premio di 256 penny, cioè, come dice lui, un "dollaro esadecimale".
I numeri di versione del sistema TeX tendono asintoticamente al valore di π. Dopo la versione 3, sono stati assegnati via via i valori 3.1, 3.14, 3.141 e così via.
Per il sistema METAFONT il meccanismo è lo stesso, ma la versione limite è il numero e. Knuth ha affermato che gli eventuali bug ancora presenti al momento della sua morte saranno promossi a funzionalità, e le versioni saranno fissate ai valori π ed e.
Infine, Knuth è anche uno studioso della Bibbia, e autore di un bizzarro libro in cui analizza il testo sacro prendendo in esame soltanto il sedicesimo versetto del terzo capitolo di ciascun libro. Se volete ascoltare Knuth parlare della Bibbia, recatevi il prossimo 8 marzo nella prima chiesa luterana di Palo Alto: sentirete il padre dell'arte della programmazione raccontare il suo progetto di scrivere una complessa opera per organo basata sull'Apocalisse di San Giovanni.

I primi quattro anni di Mr. Palomar

Gli antichi Greci (soprattutto nel periodo ellenistico) utilizzavano, come scala cronologica per gli avvenimenti storici, l'Olimpiade: il periodo di quattro anni che intercorreva tra due celebrazioni dei Giochi Olimpici.
Ecco: stasera, se così posso dire, termina la prima Olimpiade di Mr. Palomar.
Quattro anni fa, infatti, cioè la mattina del primo gennaio del 2011, mi saltava in mente di iniziare a tenere un blog, e da allora, per vostra sfortuna, non mi sono ancora deciso a smettere.
Devo dire che questo blog, iniziato un po' per scherzo, ha acquisito un significato per me sempre più grande. Sì, Mr. Palomar mi ha dato molto: in primo luogo mi ha permesso di entrare a far parte di una cerchia di blogger che mi onorano della loro amicizia, e in secondo luogo mi ha regalato moltissime soddisfazioni che quattro anni fa non mi sarei lontanamente nemmeno sognato.
Non intendo fare di questo post di fine anno una specie di autocelebrazione, ma mi piace ricordare che senza Mr. Palomar, per esempio, oggi non potrei dire di aver parlato di matematica e Debussy a Radio 3 Scienza o del Mozart combinatorio su Radio 24, non avrei una rubrica di matematica ricreativa sulla rivista Coelum Astronomia, e non avrei mai scritto un e-book dal titolo "La matematica dei Pink Floyd".
Se queste e molte altre cose molto stimolanti sono accadute, lo devo principalmente ai lettori di questo blog, che stranamente continuano a seguirmi. Un blog come questo ha un motivo di esistere soprattutto in quanto costituisce occasione di condivisione con la comunità dei propri lettori.
Grazie di cuore, quindi, a tutti voi che amate leggere queste pagine, per la vostra attenzione e per la vostra fedeltà.
E visto che oggi è l'ultimo dell'anno, auguro a tutti un 2015 ricco di serenità, creatività ed entusiasmo.
Il 2014, per me (non esito a dirlo), è stato l'anno più favoloso della mia vita. Si è aperto in maniera esaltante con l'uscita del mio libro, e si è concluso con un meraviglioso avvenimento che per importanza supera il precedente di svariati ordini di grandezza: la nascita di mio figlio Alberto.
A lui, in particolare, e a mia moglie Donata, va il mio ringraziamento più grande, per il regalo straordinario che mi hanno fatto, e il mio augurio più speciale per un 2015 felice e sereno.

Carnevale della Matematica #80 su Pitagora e dintorni

Non avete ancora letto il Carnevale della Matematica n. 80? No? E cosa aspettate?
Già, perché questo Carnevale dicembrino, che fa da preludio alle imminenti festività di fine anno, è davvero ricco di sorprese.
Flavio Ubaldini, anche noto come Dioniso Dionisi, lo ha confezionato con perizia sul suo blog Pitagora e dintorni, mettendo insieme contributi di altissimo interesse.
Il tema, "Matematica e irrazionalità", si ricollega all'e-book appena uscito per la collana Altramatematica di 40K, del quale lo stesso Flavio è autore. Lasciamo allo stesso Dioniso il compito di introdurlo:

È una sorta di seconda parte del mio primo ebook. Si intitola "La Musica dell'irrazionale" ed è una storia di scoperte, trame e intrighi tra gli allievi della scuola di Pitagora.

Sicuramente una recensione di questo consigliatissimo libro uscirà prossimamente su questo blog.
Ma torniamo al Carnevale. Non contento di avere raccolto una sostanziosa carrellata di segnalazioni, il buon Flavio si è inventato una vera genialata, che entra dritta filata nella gloriosa storia del Carnevale e che lascio descrivere direttamente a lui (o meglio, ai suoi due ormai classici personaggi dialoganti):

- E poi, ispirandomi a Popinga, ho anche creato le melodie in codice per i carnevali della matematica.
- Melodie in codice? Musica e numeri? La cosa si fa interessante. Forse potrei anche perdonarla.
- Ah, bene! Ecco l'idea.

Ovviamente l'idea la trovate spiegata nel Carnevale stesso. Vi anticipo soltanto che, grazie alla trovata di Dioniso, ogni Carnevale avrà la sua firma musicale: non solo potremo leggerlo, ma lo potremo anche... cantare, o suonare.
Buona lettura, quindi, e buon ascolto! Vi ricordo che il prossimo Carnevale della Matematica, il numero 81, sarà ospitato da Leonardo Petrillo nel suo blog Scienza e Musica, con il tema "Storia, Personaggi e Applicazioni dell'Analisi Matematica".

Algoritmi golosi

Hieronymus Bosch, Sette peccati capitali, Gola

Nel sesto canto dell'Inferno, Dante incontra i golosi, flagellati da una piova etterna, maladetta, fredda e greve. 
La pioggia cade incessante, con intensità sempre uguale, mista a neve e grandine, e il fango che si forma al suolo è maleodorante.

Forse anche un ipotetico inferno degli informatici avrebbe un girone dei golosi: ma in questo caso a essere puniti non sarebbero gli ingordi di cibi e bevande, ma i progettisti di algoritmi che non si sono saputi trattenere dall'utilizzo di metodologie "golose", o "greedy".

Un algoritmo goloso è un metodo per risolvere un problema attraverso una serie di passi, ciascuno dei quali mira a espandere la soluzione parziale fino a quel momento costruita, con lo scopo di arrivare infine a una soluzione completa: a ogni passo, l'algoritmo goloso compie la propria scelta in modo "ingordo", perseguendo cioè il massimo guadagno possibile, senza ovviamente violare le regole del problema.

Vediamo un esempio. Supponiamo di avere una macchina distributrice di bevande in grado di dare il resto. Ogni volta che la macchinetta deve dare il resto, deve prendere decisioni inerenti a quali monete utilizzare per arrivare alla somma da restituire. L'obiettivo è quello di utilizzare ogni volta il numero più basso possibile di monete. Immaginiamo, per semplicità, che la macchina disponga sempre di quantità infinite di monete da 1 euro, 10 cent e 1 cent.
Un algoritmo goloso, in questo caso, potrebbe funzionare a ogni passo come segue:
1. calcola quanto manca al raggiungimento della somma da restituire;
2. seleziona, tra le monete con valore minore della somma che manca, quella con valore più alto;
3. emetti una moneta del tipo selezionato.
Se, per esempio, deve essere erogato un resto di 1,12 euro, la macchina sceglierà, al primo passo, di consegnare una moneta da 1 euro. Al secondo passo, dato che mancano 12 cent, la macchina selezionerà una moneta da 10 cent. Gli ultimi due passi comporteranno entrambi l'emissione di una moneta da 1 cent.
Tutto bene, direte voi. Anche noi, dovendo pagare 1,12 euro e disponendo di questi tagli, avremmo scelto questa combinazione. Sì, però abbiamo visto un caso fortunato, in cui l'algoritmo goloso perviene a una soluzione completa soddisfacente.
Cosa accadrebbe se invece di monete da 1 euro, 10 cent e 1 cent, la macchina disponesse di monete da 1 cent, 15 cent e 25 cent, e dovesse consegnare un resto di 30 cent? Per colpa del suo modo di pensare ingordo, sceglierebbe di erogare dapprima una moneta da 25 euro, e poi sarebbe costretta a snocciolare una dopo l'altra cinque monete da 1 cent. Si tratta della soluzione migliore? No, perché fa uso di ben sei monete, quando due monete da 15 cent avrebbero risolto il problema molto più brillantemente.
E non ditemi che le monete da 15 e da 25 cent non esistono: non è questo il punto.
Gli algoritmi golosi, in generale, non garantiscono il successo nel trovare la soluzione ottima di un problema. Anzi, possiamo dire che il  più delle volte falliscono miseramente.

Un altro esempio? Immaginate che quattro uomini, Aldo, Bernardo, Carlo e Damiano, equipaggiati con una torcia, debbano attraversare di notte un ponte pericolante. Non più di due persone alla volta possono passare sul ponte, e ogni uomo o coppia che si avventura deve avere con sè la torcia. La torcia, inoltre, deve essere portata avanti e indietro, e non può essere lanciata da un capo all'altro del ponte. Aldo impiega 1 minuto ad attraversare il ponte, Bernardo ci mette 2 minuti, Carlo 5 minuti, e Damiano 10 minuti. Una coppia impiegherà il tempo imposto dall'attraversatore più lento.
Qual è, per i quattro uomini, il modo più veloce di attraversare il ponte?

Se gli uomini decidono di risolvere il problema adottando un approccio greedy, saranno inviate al di là del ponte le due persone più veloci, cioè Aldo e Bernardo, che impiegheranno 2 minuti. Il più veloce dei due, cioè Aldo, tornerà con la torcia in un minuto. Di nuovo partiranno i due uomini più veloci disponibili, cioè Aldo e Carlo, che arriveranno al di là del ponte in 5 minuti. Tornerà di nuovo Aldo con la torcia, impiegando 1 minuto. Infine sarà la volta di Aldo e Damiano, che giungeranno a destinazione in 10 minuti. Il tempo complessivo sarà quindi di 19 minuti.
Secondo voi è il modo più veloce di attraversare il ponte, cioè è la soluzione ottimale del problema? Provate a investigare: scoprirete che non lo è: esiste una soluzione migliore, e quindi la "golosità algoritmica" ha messo a grave rischio i quattro uomini (ricordate che il ponte era pericolante, e ogni minuto risparmiato era prezioso).

Non si devono confondere gli algoritmi greedy con gli algoritmi di discesa: è vero che anche in questo secondo caso si tratta di procedure che, a ogni passo, scelgono la via che appare più conveniente, senza guardare alla globalità del problema, ma i due scenari sono molto diversi.
Il "passo" di un algoritmo greedy serve a espandere la soluzione fino a quel momento costruita: aggiunge, per così dire, un mattone al muro in costruzione, ma il muro completo, che può essere definito una soluzione, sarà pronto soltanto alla fine dell'algoritmo.
Nel problema del resto, ogni passo corrisponde a una delle monete erogate. Nel problema del ponte, ogni passo è un attraversamento.
Gli algoritmi di discesa, invece, costruiscono a ogni passo una soluzione completa, e cercano di migliorarla costruendone un'altra che differisce dalla precedente per qualche particolare. In questa transizione effettuano una scelta che, in un certo senso, è miope, cioè cerca di massimizzare un qualche "profitto". Anche in questo tipo di metodologia la scarsa lungimiranza può portare su strade poco promettenti, è vero: ma in generale si tratta di un approccio molto importante nella risoluzione dei problemi di ottimizzazione, che con alcune correzioni e accorgimenti particolari può condurre a risultati interessanti. Nel vecchio post Mosse tabu avevo accennato a una di queste importanti correzioni.

Carnevale della Matematica #79 sul Coniglio Mannaro

Annuncio in ritardo il Carnevale della Matematica n. 79, ospitato dal sontuoso e sempre stimolante blog Il Coniglio Mannaro di Spartaco Mencaroni: sono già passati due giorni, è vero, ma sono fiducioso che il Coniglio mi perdonerà.
Dopo sei mesi torna alla ribalta un numero primo, il 79 appunto, e per l'occasione il Sommo Popinga ha indicato un nuovo verso della sua Poesia Gaussiana: senza posa.
Il tema scelto da Spartaco per l'occasione era di quelli davvero affascinanti: matematica e libertà.
Come afferma lo stesso Mencaroni, il verso gaussiano ben si adatta all'argomento carnevalizio:

Una scelta di termini decisamente appropriata, se pensiamo agli sforzi che l'uomo ha fatto, e che continua a compiere, per la ricerca o la riconquista della propria libertà.

Quanto all'ancora più suggestivo legame tra libertà e matematica, bè, qui Spartaco si produce in un excursus storico molto interessante, del quale riporto solo l'inizio:

La storia parte da lontano ed ha molto a che fare con il rapporto fra umanesimo e scienza. In genere si tende a far coincidere l'avvio di questo dialogo con il Rinascimento, considerato un'epoca in cui il risveglio e il fermento della società occidentale costituiscono il periodo prodromico della nascita del pensiero moderno. L'uomo medioevale si desta da una sorta di (presunto) sonno della ragione, popolato di pensiero magico, credenze superstiziose, bestiari e orripilari; riscopre la cultura tardo antica, liberandola dalle pastoie delle interpretazioni dottrinali scolastiche ed iniziando così la sua marcia trionfale verso il pensiero laico e razionale.

Come sempre, il post carnevalesco mette in evidenza numerosissimi contributi, provenienti da diversi colleghi blogger.
Basterebbero loro, oltre alla bravura di Spartaco nel presentarli, a rendere il Carnevale meritevole di essere letto. Ma un evento speciale, avvenuto da pochi giorni, rende ancora più singolare il Carnevale novembrino: lo stesso Mencaroni, annuncia l'uscita del nuovo librino di Altramatematica, scritto da lui medesimo assieme a Roberto Zanasi.
Il titolo del libro è Matematica e gioco d'azzardo, che dice già molto sull'argomento (attualissimo) che viene trattato: prima o poi su questo blog uscirà una recensione dell'e-book.

Ringrazio Spartaco per avere segnalato le tre parti (1, 2, 3) del mio multi-post sui libri infiniti, oltre all'articolo su Charles Bachman.
Congratulazioni a lui e a tutti gli autori dei post segnalati!
Il prossimo Carnevale, quello che fa da preludio alle feste natalizie, sarà organizzato dal blog Pitagora e dintorni dell'amico Flavio Ubaldini.
Buona lettura a tutti!

Il weekend di Altramatematica

Si annuncia un lungo e straordinario fine settimana per la collana Altramatematica di 40K.
Giovedì, infatti, parte Bookcity Milano, iniziativa che comprende moltissimi eventi di interesse librario, tra i quali segnalo la presentazione dell'ottimo Matematica in pausa caffè di Maurizio Codogno.

Cosa c'entra Altramatematica? Bè, in occasione dell'iniziativa milanese, la casa editrice 40K ha deciso di vendere tutti gli e-book della collana a soli 99 centesimi! La promozione durerà da domani mercoledì 12 fino a domenica 16 compresa.
Si tratta di un'occasione davvero da non perdere. Tenete presente che tutti i titoli della collana saranno scontati, anche il teatrale Partition, che solitamente è venduto a 2,99 euro.

Come ha suggerito l'amico Flavio Ubaldini, acquistando tutti i librini risparmierete ben 12 euro. Mica male, no?

Ma il weekend di Altramatematica non si ferma alla promozione (che pure non è poco). Come già annunciato, venerdì 14 novembre, alle ore 21, presso l'Auditorium di Villa Olivi a Breda di Piave, presenterò il mio e-book La matematica dei Pink Floyd, in una serata (a ingresso libero) che offrirà molte sorprese.

E non è finita qui: domani uscirà un nuovo librino della collana: il dodicesimo, e l'unico che resterà a prezzo pieno. Di che cosa si tratta? Solo poche ore di pazienza, lo saprete domani!

Catapultatevi sugli store online, allora: l'occasione è ghiotta!

I premi Turing: Charles Bachman

Charles Bachman (da http://amturing.acm.org)

Che cos'è l'informatica?  Cercate il termine su un qualsiasi dizionario: con ogni probabilità, troverete definizioni del tipo "La scienza che si occupa dell’ordinamento, del trattamento e della trasmissione delle informazioni per mezzo dell’elaborazione elettronica" (questa è tratta dal Le Monnier).

In ogni caso, è pressoché certo che all'interno della definizione troviate la parola  "informazione" (lo stesso vocabolo "informatica" è la contrazione di "informazione automatica"). Se gli informatici hanno soprattutto a che fare con informazioni, è evidente che uno delle loro necessità principali sia quella di immagazzinare queste informazioni da qualche parte.

I database (o le “basi di dati”, se preferite la dizione italiana, ormai un po’ desueta), sono una delle più importanti risposte escogitate per soddisfare questo bisogno. Esistono molti tipi di database, ma la categoria di gran lunga più utilizzata è quella dei database relazionali. 

Uno dei primi ricercatori a occuparsi dell’argomento fu l’americano Charles Bachman, classe 1924, premio Turing 1973. 

Il padre di Charles era un allenatore di squadre universitarie di football, e negli anni dell’infanzia di Charles si spostò molto tra gli atenei americani, portando con sé la famiglia. Nel 1944 Charles si arruolò nell’esercito e combatté fino alla fine della guerra nel teatro del Pacifico. Nel 1950 si laureò in ingegneria meccanica presso l’Università della Pennsylvania. Negli anni successivi fu ingaggiato da una compagnia chimica per lavorare su alcuni problemi di ricerca operativa, e fu in questa occasione che ebbe le sue prime esperienze con i computer. 

Da allora in poi, il suo percorso di ricerca e sviluppo si svolse interamente presso aziende piuttosto che in ambito accademico. Nel 1960, presso la General Electric, cominciò la sua lunga e onorata carriera di ricercatore nell’ambito dei database progettando IDS ("Integrated Data Store"), uno dei primi e più famosi sistemi di gestione di dati della storia.

IDS implementava una serie di tecnologie innovative che rappresentarono per molti anni il punto di riferimento nell'ambito dei database. Ci volle molto tempo prima di vedere emergere altri sistemi che potessero competere con quello progettato da Bachman.

Charles Bachman

Il contributo più noto di Bachman riguarda però i diagrammi che portano il suo nome: schemi utilizzati per descrivere la struttura di un database relazionale come una rete che collega tra di loro diverse “relazioni”. Una relazione è un insieme di “tuple” (d₁, d₂, ..., d_n), ciascuna delle quali è una sequenza di m attributi (dove m è un numero naturale). I valori ammessi per gli attributi di una tupla possono appartenere a insiemi diversi, ma la sequenza di domini ammessi è la stessa per tutte le tuple di una stessa relazione.

Il modo più intuitivo per raffigurarci mentalmente una relazione è vederla come una tabella: le sue tuple sono le righe, mentre gli attributi (ciascuno con il suo dominio) che compongono le tuple corrispondono alle colonne. Una relazione serve astrattamente per rappresentare un’entità, e più concretamente per contenere dei dati. Per esempio, una relazione “Impiegati” potrebbe servire per descrivere gli impiegati di un’azienda, ciascuno corrispondente a una tupla, e ciascuna tupla potrebbe essere formata da una sequenza di attributi (nome, cognome, numero di matricola, mansione, stipendio, e così via). 

In un database, e qui tocchiamo il punto critico, vi sono sempre dei legami tra una relazione e l’altra. Supponiamo che oltre alla relazione “Impiegati” il database contenga una relazione “Dipartimenti”: è naturale pensare che tra le due relazioni sussista un legame, allo scopo di stabilire a quale dipartimento appartiene ciascun impiegato, cioè a quale tupla della relazione “Dipartimenti” sia associata ogni tupla della relazione “Impiegati”.

Le figure qui a fianco sono tratte da uno degli articoli fondamentali di Bachman, intitolato Data structure diagrams, e pubblicato nel 1969.

Le due relazioni (o entità) “Dipartimenti” e “Impiegati” sono mostrate come rettangoli che vengono poi collegati tra di loro. La freccia serve a indicare graficamente tale collegamento, e rappresenta l'idea che ogni impiegato è assegnato a uno dei dipartimenti.

In generale, i collegamenti tra entità possono essere caratterizzati da diversi tipi di cardinalità: il tipo più comune è quello 1 a n (un dipartimento contiene n impiegati), ma esistono anche collegamenti 1 a 1, e n a n.

Charles Bachman fu così, verso la fine degli anni Sessanta, uno dei pionieri dei diagrammi che descrivono la struttura di un database relazionale. 

A partire dal 1976, soprattutto in seguito ai lavori dell'informatico Peter Chen, i modelli di questo tipo vengono chiamati “diagrammi entità-relazioni”, o diagrammi E-R. Ma attenzione: qui la parola “relazione” indica i legami tra le relazioni (come quello tra impiegati e dipartimenti), e non le relazioni stesse, che invece sono denominate “entità”. Questa confusione terminologica è stata fonte di mille fraintendimenti. Si noti però che in inglese i termini sono ben distinti: “relation” è l’insieme di tuple che corrisponde a un entità e viene implementato da una tabella, e “relationship” è l’associazione che lega due relazioni, o due entità o tabelle.

Il premio Turing fu assegnato a Charles Bachman nel 1973 per i suoi “eccezionali contributi alla tecnologia dei database”. Le sue ricerche pionieristiche riguardanti la modellizzazione dei database sono state, in effetti, di enorme importanza per lo sviluppo dei potentissimi sistemi oggi disponibili.

Nella storia del prestigioso riconoscimento, Bachman fu il primo vincitore privo di un dottorato, il primo ingegnere (e non matematico), e il primo ricercatore industriale non accademico.

Pare che dopo essere stato insignito, Bachman si interessò molto alla vita di Alan Turing, e fece persino la conoscenza di Sara Turing, l'anziana madre del grande matematico.

Come costruire un libro infinito (terza parte)

Jean Paul Delahaye

Per chi si fosse perso le prime due puntate di questo blog multiplo sui libri infiniti, ecco la prima e la seconda. Nella seconda parte accennavo alle caratteristiche paradossali di alcuni dei libri descritti da Jean Paul Delahaye.

Per esempio, aprendo a caso il libro Q, legato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1, troviamo con certezza due pagine nere a sinistra e a destra: questo volume sembra possedere più pagine nere-abisso del libro R, associato all'insieme dei numeri reali inclusi nello stesso intervallo.

Possiamo costruire un altro libro alquanto bizzarro togliendo al libro Q la prima e l'ultima pagina: il libro Q' che otteniamo sembra non contenere alcuna pagina stampata, quando invece ne contiene infinite.
D'altro canto, un libro infinito non può essere privo di pagine leggibili: anzi, per definizione, ne deve contenere in quantità infinita. Le pagine stampate del libro Q', infatti, ci sono, e sono appunto infinite, ma non è possibile trovarle aprendo il libro: sono, paradossalmente, pagine segrete, del tutto impenetrabili ai nostri occhi.

Anche il libro R è, a modo suo, paradossale. Aprendolo a caso, come abbiamo già visto, troviamo una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Ogni pagina stampata, in effetti, è sempre preceduta e seguita da pagine nere: i testi del libro sono tutti isolati e sconnessi gli uni dagli altri.

Una versione tridimensionale dell'insieme di Cantor

Un altro libro infinito paradossale riflette la struttura del frattale noto come "insieme di Cantor". Partendo dall'intervallo [0, 1], lo si divide in tre parti uguali e si scarta quella centrale. Quindi, per ciascuno degli intervalli rimasti, si ripete il procedimento, e così via ad infinitum.
Questo processo di eliminazione continua produce, al limite, un insieme che si dimostra essere di misura nulla e tuttavia formato da un'infinità di numeri. Non solo: si tratta di un'infinità non numerabile.
Detto diversamente: le pagine del libro di Cantor, che chiamiamo C, sono infinite  quanto i numeri reali, e non soltanto come i numeri interi. Aprendo il libro a caso, si trovano sempre due pagine stampate, ma subito prima e subito dopo vi sono pagine nere. Il libro è molto strano: sembra essere composto da coppie di pagine leggibili, isolate e circondate da pagine nere-abisso. Come il libro R, con la differenza che ogni pagina isolata è stata, per così dire, sdoppiata. Ma anche questo è paradossale, perché in realtà C ha meno pagine di R.

Questa ubriacatura di libri paradossali fa venire alla mente il paradosso del bibliotecario. In una grande biblioteca venivano prodotti molti cataloghi del posseduto: uno elencava i libri in italiano, un altro quelli in inglese, un altro ancora i volumi di matematica, e così via. I cataloghi venivano classificati dal bibliotecario come libri ordinari, e come tali erano disposti sui normali scaffali della biblioteca e catalogati al pari degli altri volumi.
Un giorno il bibliotecario si accorse che alcuni dei cataloghi erano elencati in se stessi (per esempio l'elenco dei volumi in italiano e quello dei volumi stampati nell'anno in corso), e altri (per esempio quello dei libri in inglese e quello dei libri di matematica) non lo erano. Per approfondire la curiosa questione, il bibliotecario decise allora di stilare due ulteriori cataloghi: quello dei cataloghi  elencati in se stessi e quello dei cataloghi non elencati in se stessi. I problemi del bibliotecario iniziarono non appena si domandò se quest'ultimo volume dovesse o no includere se stesso.
Infatti, supponiamo che il catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi contenga anche se stesso: ma allora il catalogo stesso è elencato in se stesso, e come tale non dovrebbe comparire nella sua stessa lista. Viceversa, supponiamo che questo elenco non contenga se stesso: se ciò accade, si tratta di un catalogo che dovrebbe comparire nella lista dei cataloghi non elencati in se stessi, quindi l'elenco dovrebbe autoincludersi.
Non c'è via d'uscita: siamo di fronte a un paradosso, un po' come quello del famoso barbiere di Russell o quello del mentitore cretese.

A parte il carattere paradossale, cosa c'entra la storiella del bibliotecario con i libri infiniti? Nella versione classica, che è quella che ho raccontato, nulla. Ma esiste una versione alternativa della storia ambientata in una biblioteca che comprende tutti i libri possibili: anche quelli mai esistiti, impossibili, impensabili. In una simile vertiginosa e infinita biblioteca, anche il fatidico catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi, per quanto contraddittorio, deve essere presente.

Da http://www.vallesabbianews.it

Qui a essere infinito non è il singolo libro, ma la biblioteca, e parlando di biblioteche infinite non può non tornare in mente La biblioteca di Babele. Non a caso, in questo racconto Borges allude un paio di volte al paradosso del bibliotecario:

Come tutti gli uomini della Biblioteca, in gioventù io ho viaggiato; ho peregrinato in cerca di un libro, forse del catalogo dei cataloghi; ora che i miei occhi quasi non possono decifrare ciò che scrivo, mi preparo a morire a poche leghe dall'esagono in cui nacqui.

Non vi sono, nella vasta Biblioteca, due soli libri identici. (…) i suoi scaffali registrano tutte le possibili combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero, anche se vastissimo, non infinito), cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della Biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione della falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo autentico, (…)

D'accordo, nella Biblioteca di Babele si parla di una biblioteca infinita, ma, come già ricordato nella prima parte di questo post, è Borges stesso a osservare come una biblioteca infinita sia perfettamente equivalente a un unico libro infinito, formato da un numero infinito di fogli infinitamente sottili.
Anche un libro infinito, come quelli descritti da Delahaye, potrebbe ospitare in sè tutti i libri della Biblioteca di Babele, i suoi cataloghi, i cataloghi dei cataloghi, e così via.
La questione interessante, sostiene il matematico francese, consiste casomai nell'analizzare i diversi modi in cui un libro infinito può contenere informazione. Da questo punto di vista, Delahaye individua quattro diverse tipologie di libro infinito:
1. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero fisso di caratteri (o pixel di immagini);
2. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero finito ma variabile di caratteri (o pixel di immagini);
3. libri infiniti in cui ogni pagina contiene una infinità numerabile di caratteri (o pixel di immagini);
4. libri infiniti in cui ogni pagina è assimilabile a una porzione del piano cartesiano, sulla quale si possono disegnare testi e immagini in modo infinitamente fine.
Ciascuna di queste famiglie di libro infinito è caratterizzata da situazioni e conseguenze diverse, che Delahaye sviscera in dettaglio.
E qui mi fermo, stavolta definitivamente. Il lettore troverà senz'altro ulteriori spunti di approfondimento sul citato libro di Delahay, e ovviamente anche sui testi letterari da me citati in questi tre post.
Ve lo posso assicurare: sono tutti libri finiti, quindi li potete leggere dall'inizio alla fine tranquillamente, senza pericolo di perdervi nei vertiginosi meandri dell'infinito.