Mathemagical mystery tour #1: conigli e api

"Aprile è il mese più crudele", scrive il poeta Thomas Stearns Eliot nella sua "Terra desolata".
Sarà. Per noi blogger è però, soprattutto, il Mese della Consapevolezza Matematica, o come dicono gli americani, il Mathematics Awareness Month. La lodevole iniziativa è stata ideata, nel lontano 1986, da enti come l'American Mathematical Society, l'American Statistical Association, la Mathematical Association of America, e la Society for Industrial and Applied Mathematics, allo scopo di aiutare la diffusione della matematica.
Ogni anno, per questa ricorrenza, viene scelto un tema, un po' come succede ogni mese per il Carnevale della Matematica. E quest'anno il tema è "Mathematics, Magic, and Mystery", che è anche il titolo di  un libro scritto nel 1956 dal grande Martin Gardner.

Per l'occasione, l'italico Carnevale della Matematica, ospitato questo mese dal bravo Popinga, rende omaggio all'iniziativa d'oltreoceano. Lo stesso facilitatore, per introdurre l'appuntamento del 14, scrive parole molto condivisibili:

"La magia della matematica, che gli americani intendono come base di un'infinita serie di giochi, indovinelli e trucchi mnemonici, a mio parere risiede nella natura stessa della disciplina, per sua natura posta à la limite du mond visible et du mond invisible (Alan Stivell). Si tratta della magia della scoperta, del mistero connesso al superamento continuo dei limiti del pensiero umano."

Io, in modo più pop, nel pensare all‘accostamento tra matematica, magia e mistero, non ho potuto fare a meno di rievocare una canzone dei Beatles che dà anche il titolo a un celebre film:

I Beatles e i beatlesiani mi perdoneranno se, miscelando in qualche modo i Fab Four, Walt Disney e Gardner, ho pensato di storpiare il titolo del brano in "Mathemagical mystery tour". A che pro, vi chiederete. Per inaugurare una serie di brevi post dedicati a temi matematici che, in qualche modo, suscitano un senso di magia e mistero.
La matematica è piena di magia e di mistero. Ogni argomento che racchiuda in sè un problema aperto o una verità non facilmente afferrabile dalla ragione è mistero. Qualsiasi luogo in cui si respiri un senso di sorpresa, o si scorgano collegamenti inattesi, o risoluzioni impensate, è magia. E poi il mistero genera sempre magia, e viceversa.

Tanto per iniziare da qualche parte, quali sono i simboli della magia? La bacchetta magica, certo. Ma anche il coniglio che esce dal cilindro. E nella storia della matematica i conigli sono importanti, se è vero che la successione di Fibonacci venne ideata pensando alla crescita di una popolazione di questi simpatici animali.
La faccenda è ormai ben nota.
Supponiamo di avere, al mese 1, una coppia di conigli cuccioli.
Un mese dopo avranno raggiunto la maturità e saranno in grado di generare figli.
Al mese 3 nascerà una nuova coppia di cuccioli, che ipotizziamo siano di nuovo un maschio e una femmina.
Trenta giorni dopo la prima coppia produrrà una nuova coppia di coniglietti, mentre i loro figli saranno diventati adulti.
Al quinto mese, le due coppie di conigli adulti genereranno altrettante coppie di figli, e l'altra coppia diventerà adulta.
Andando avanti così, a prima vista si potrebbe credere che l'andamento del numero delle coppie di conigli presenti nei mesi successivi (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc.) sia tanto complicato da non potere essere rappresentato da una semplice formula matematica.

Tratto da timwolversonphotos.wordpress.com

Invece la regola è semplicissima: ogni numero della sequenza è la somma dei due precedenti.
Fibonacci, al secolo Leonardo Pisano, raccontò la storia dei conigli nel 1202, nel suo celebre libro "Liber abbaci".

La sequenza di Fibonacci, lo sappiamo ormai bene, vanta una miriade di connessioni con altri argomenti matematici: dalla sezione aurea alle frazioni continue, dai numeri primi alla zeta di Riemann, dal triangolo di Tartaglia ai gruppi di Lie, dai frattali alla sequenza di Farey. E la si ritrova in un sacco di altre discipline: in fisica, in astronomia, in chimica, in botanica, in anatomia, in economia, in musica, nell'arte in genere.

L'esempio dei conigli raccontato da Fibonacci è oggi considerato forzato e poco realistico. I numeri della famosa successione si prestano certamente meglio a modellare la dinamica di altri tipi di popolazione.
Sempre rimanendo in ambito zoologico, vediamo come è fatta una colonia di api da miele. Be‘, uno degli individui è la regina. Le altre femmine sono api operaie che non producono uova. I maschi, che non lavorano e sono detti fuchi, nascono da uova non fecondate di ape regina, per cui hanno una madre ma nessun padre. Ogni femmina, invece, ha un padre e una madre.
Se consideriamo l'albero genealogico di un fuco, ci accorgiamo che ha:

• 1 genitore (una madre e nessun padre)
• 2 nonni (la madre è femmina e quindi ha 2 genitori)
• 3 bisnonni (il nonno ha 1 genitore, femmina; la nonna ne ha 2, maschio e femmina)
• 5 trisavoli (le 2 bisnonne hanno 2 genitori ciascuna; il bisnonno ne ha 1)
• 8 quadrisavoli (le 3 trisavole hanno 2 genitori ciascuna; i 2 trisavoli ne hanno 1 ciascuno)

E così via. Di nuovo i numeri della fatidica sequenza.
Dal cilindro di Fibonacci non sai mai cosa può uscire. I conigli te li aspetti anche, ma questa volta è venuto fuori addirittura un nugolo di api. E con loro, un pizzico di magia e mistero.
Buon mese della matematica a tutti!