Quante scale musicali esistono? (parte prima)

Olivier Messiaen durante una lezione (1978)
Ricordate il mio post sulla matematica di Olivier Messiaen? Tra i numerosi punti di contatto con la matematica offerti dalla sua opera, citavo, in chiusura di post, i "modi a trasposizione limitata". Di che cosa si tratta? Per comprenderne il significato, occorre procedere un passo alla volta.
Ricorderete, dai miei antichi post sulla scala pitagorica, il concetto di "ottava": un intervallo tra due note in cui la nota più acuta ha una frequenza doppia rispetto alla nota più grave.
Dato che due note separate da un tale intervallo suonano come la stessa nota, anche se ad altezze diverse, si conviene di indicarle con lo stesso nome, per esempio "do": naturalmente si tratterà di due "do" diversi, uno all'ottava inferiore e l'altro all'ottava superiore.
Nel sistema musicale occidentale moderno, basato sul cosiddetto temperamento equabile, l'ottava viene suddivisa convenzionalmente in 12 intervalli uguali tra di loro, chiamati semitoni.


Ciascuna delle dodici "tacche" indicate nella figura corrispondono a note che possono essere utilizzate da un compositore, come colori sulla tavolozza del pittore. Se la nota di riferimento è un do, allora le note indicate dalle tacche sono, rispettivamente, il do diesis (per convenzione del sistema equabile coincidente al re bemolle), il re, il re diesis (uguale al mi bemolle), il mi, il fa, e così via.

Che cos'è una scala musicale? Semplicemente un insieme di note, scelte tra quelle offerte dal sistema equabile, cioè tra quelle corrispondenti alle dodici tacche, che un compositore decide di considerare come note "utilizzabili" in un certo brano musicale.
La selezione delle note appartenenti a una certa scala viene operata su un'ottava di riferimento (per esempio quella rappresentata nella figura precedente): implicitamente essa si riflette invariata su tutte le altre ottave.
Per esempio, se decidiamo di scrivere un pezzo in do maggiore, implicitamente scegliamo una tavolozza formata dalle sette note che compongono la scala di do maggiore. Sul diagramma precedente, le note utilizzabili (sette su dodici) sono quelle indicate in rosso:

Le note selezionate sono, in questo caso, il do, il re, il mi, il fa, il sol, il la, il si.
Nella figura è indicata (in blu) anche la nota posta all'ottava superiore: essa formalmente non fa parte dell'ottava di riferimento, ma, per quanto detto poco sopra, questa nota fa comunque parte delle note della scala, anche se ad un'ottava diversa.

Se invece preferiamo la scala minore (naturale), avremmo ancora sette note disponibili, ma sistemate in modo diverse sulle tacche dell'ottava:

In questo caso abbiamo selezionato il do, il re, il mi bemolle (cioè il re diesis), il fa, il sol, il la bemolle (cioè il sol diesis), il si bemolle (cioè il la diesis).

Siamo amanti della dodecafonia? Allora probabilmente adotterete la scala cromatica, cioè quella formata da tutte e dodici le note esistenti:


Queste sono soltanto tre delle numerose scale che possono essere costruite sulla base del sistema equabile. Ma quante sono, in tutto, le scale possibili?
Non è banale rispondere a questa domanda. Innanzitutto, dobbiamo renderci conto che esistono scale formate da un numero qualsiasi di note, ovviamente compreso tra 1 e 12. La scala maggiore e la scala minore naturale sono entrambe formate da sette note. La differenza tra le due sta nel diverso "pattern", cioè dalla diversa posizione che le sette note occupano sulla "retta" dell'ottava. La scala cromatica, invece, è formata da dodici note.

Come possiamo fare per costruire tutte le scale esistenti? Dato che le due note estreme dell'ottava di riferimento rappresentata sulla nostra retta graduata fanno convenzionalmente parte della scala (la prima a pieno titolo, la seconda all'ottava superiore), la costruzione di una scala consiste nella scelta di eventuali altre note comprese tra queste due note estreme.
Partiamo dalle scale formate da una sola nota (lo so, una scala formata da una sola nota è una scala ben strana; soprattutto immaginate quanto noiose possano essere le composizioni musicali fondate su tale scala! Eppure ci tocca considerare anche questo caso degenere, il quale, benché musicalmente poco interessante, è matematicamente degno al pari degli altri). Quante sono le scale di questo tipo? Una soltanto, visto che abbiamo già posizionato una nota all'inizio dell'ottava, e altre non ne possiamo mettere: non abbiamo alcuna possibilità di scelta.
Quante sono, invece, le scale formate da due note? Qui la faccenda si fa più complessa. Si tratta di decidere dove collocare una seconda nota, in modo da suddividere l'ottava in due intervalli. Le possibili scelte a nostra disposizione corrispondono, matematicamente parlando, alle partizioni di cardinalità 2 del numero intero 12, cioè ai modi possibili di scrivere 12 come somma di 2 interi positivi, senza tener conto dell'ordine degli addendi:

12 = 1 + 11
12 = 2 + 10
12 = 3 + 9
12 = 4 + 8
12 = 5 + 7
12 = 6 + 6

La prima partizione, 12 = 1 + 11, ci suggerisce di partizionare l'ottava in due intervalli, rispettivamente formati da 1 semitono e da 11 semitoni, ottendo la seguente scala:


Esistono quindi soltanto 6 scale formate da due note? Non esattamente. Ricordiamoci che le partizioni elencate non tengono conto dell'ordine degli addendi. In altre parole, la partizione 12 = 1 + 11 va intesa anche come 12 = 11 + 1. Una scala altrettanto importante si ottiene quindi collocando l'intervallo di 11 semitoni prima dell'intervallo di 1 semitono:

Analogamente, la partizione 12 = 2 + 10 produce due scale diverse, derivanti dalle partizioni dell'ottava in due intervalli di 2 e di 10 semitoni: nella prima scala troviamo per primo l'intervallo di 2 semitoni, nella seconda scala quello di 10 semitoni.
E così accade anche per le successive tre partizioni (12 = 3 + 9, 12 = 4 + 8, 12 = 5 + 7). L'ultima partizione, 12 = 6 + 6, invece, produce una sola scala, perchè i due intervalli nei quali viene suddivisa l'ottava sono uguali tra di loro, essendo entrambi formati da 6 semitoni.
In tutto, quindi, contiamo 11 scale formate da due note.

Passando alle scale formate da tre note, dobbiamo conteggiare le partizioni di cardinalità 3 di 12, cioè i modi possibili di scrivere 12 come somma di 3 interi positivi, sempre ignorando l'ordine degli addendi. Abbiamo in tutto 12 partizioni:
12 = 1 + 1 + 10
12 = 1 + 2 + 9
12 = 1 + 3 + 8
12 = 1 + 4 + 7
12 = 1 + 5 + 6
12 = 2 + 2 + 8
12 = 2 + 3 + 7
12 = 2 + 4 + 6
12 = 2 + 5 + 5
12 = 3 + 3 + 6
12 = 3 + 4 + 5
12 = 4 + 4 + 4

Anche in questo caso, per ciascuna partizione dobbiamo considerare le possibili permutazioni. Ad esempio, la partizione 12 = 1 + 1 + 10 dà origine a 3 permutazioni (12 = 1 + 1 + 10, 12 = 1 + 10 + 1 e 12 = 10 + 1 + 1).

In generale, dobbiamo tener conto che si tratta di permutazioni con ripetizione: nello scrivere la somma che restituisce 12 come risultato, infatti, possiamo avere degli addendi che si ripetono (come l'1 nella partizione precedente). La formula che dobbiamo utilizzare in generale, quindi, è il fattoriale della cardinalità della partizione (nel caso che stiamo analizzando, 3!) diviso per il prodotto dei fattoriali delle numerosità delle singole ripetizioni di addendi. Nell'esempio 12 = 1 + 1 + 10, il numero di permutazioni è allora dato da 3! / 2!, cioè appunto 3.
Per la cronaca, le scale di tre note risultano alla fine essere in tutto 55. In modo analogo, con un po' di pazienza si può calcolare quante sono le scale di N note, con N compreso tra 1 e 12:


Notate in particolare la piacevole ed evidente simmetria nei numeri presenti nella seconda colonna.
In tutto, quindi, le scale possibili risultano essere 2048 (gli appassionati di musica e dell'omonimo videogioco forse ne saranno felici).
Attenzione, però: ognuna di questa scala può essere trasposta da un'ottava di riferimento a un'altra, cambiando in questo passaggio le proprie caratteristiche (e anche il proprio nome). Ma questi aspetti meritano un approfondimento, che fornirò nella seconda e ultima parte di questo post.
E i modi a trasposizione limitata di Messiaen, che cosa c'entrano? Un po' di pazienza, cari lettori: anche questo diventerà chiaro nella prossima puntata.

Commenti

  1. <>. Chiedo venia ma non mi è chiaro questo punto: 11x3=33+1=34; come si ottiene il numero 55?
    Grazie per ogni risposta.

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    1. Mi dispiace moltissimo, ma fino ad ora non avevo notato questo commento. Chiedo dunque umilmente scusa per l'enorme ritardo con cui rispondo.
      Nel post viene spiegato il modo con cui si ottengono i numeri nella tabella: nel caso delle scale di 3 note, si devono prendere in considerazione tutte le possibili partizioni di cardinalità 3 di 12, che ho elencato nel post e risultano essere in tutto 12 (da 12 = 1 + 1 + 10 fino a 12 = 4 + 4 + 4).
      Se in una partizione ci sono tre numeri diversi, si devono considerare 3! = 6 permutazioni: e questo accade in 7 delle partizioni elencate.
      Quattro delle partizioni, invece, hanno un numero ripetuto 2 volte (12 = 1 + 1 + 10, 12 = 2 + 2 + 8, 12 = 2 + 5 + 5, 12 = 3 + 3 + 6), e in questo caso di devono considerare soltanto 3 permutazioni.
      Una delle partizioni, infine, ha un solo numero ripetuto 3 volte (12 = 4 + 4 + 4): in questo caso vi è una sola permutazione.
      Calcolando 7 x 6 + 4 x 3 + 1 si ottiene 55.
      Spero che la spiegazione sia chiara.
      Chiedo ancora scusa per il ritardo.

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