giovedì 23 maggio 2013

I quadrati magici (Parte 2)


Proseguendo la scorribanda nel mondo dei quadrati magici, ciò che subito balza all'occhio è la straordinaria quantità di analisi e ricerche che nel corso dei secoli sono state compiute su questi curiosi oggetti matematici. Più di mezzo secolo fa Martin Gardner faceva notare come nel 1838, quando la conoscenza di queste strutture era ancora meno profonda rispetto al 1960, veniva pubblicata un'opera sui quadrati magici articolata in tre ponderosi volumi.
Risulta perciò necessario selezionare gli argomenti, per non naufragare nell'oceano. Ecco allora che ci imbattiamo nella più antica documentazione di un quadrato magico 4x4, che si trova in una iscrizione del secolo XI o XII ritrovata a Nasik, in India.

Si tratta di un quadrato dotato di proprietà straordinarie, e per questo denominato "ultramagico".  Dicono che talvolta la magia, portata all'estremo e volta al lato oscuro, degenera in magia nera, stregoneria, o culto del demonio. Ecco che i matematici definiscono i quadrati ultramagici come quello di Nasik come "diabolici" .
Oltre ad avere le consuete caratteristiche dei quadrati magici, i quadrati diabolici esibiscono la costante di magia anche lungo le diagonali spezzate: ad esempio, costituiscono una diagonale spezzata le celle 13, 7, 4 e 10, oppure le celle 14, 8, 3 e 9.
Il risultato può essere ulteriormente generalizzato: nei quadrati diabolici ogni gruppo di quattro caselle adiacenti produce la costante di magia. In un quadrato diabolico 4x4 come quello in figura la costante di magia 34 salta fuori in 86 modi diversi!
E non solo: se componiamo un mosaico formato da molte copie contigue del quadrato, sarà diabolico ogni quadrato 4x4 che possiamo delimitare all'interno del mosaico.

Ma non abbiamo ancora finito di elencare le proprietà di questi quadrati magici. Cosa accade a un quadrato diabolico se spostiamo l'ultima riga in cima al quadrato? Semplice, rimane diabolico. E se spostiamo in basso la prima riga? Diabolicamente resta diabolico. Anche spostando una colonna da un'estremità all'altra non c'è nulla da fare, la diabolicità si conserva.
Anche le rotazioni e le riflessioni non intaccano le proprietà diaboliche di questo oggetto matematico. Gli studiosi hanno individuato altri tipi di operazioni che conservano la diabolicità, e hanno mostrato che queste trasformazioni costituiscono una struttura algebrica di gruppo.

Un'altra particolarità dei quadrati diabolici, descritta sempre da Martin Gardner, chiama in causa gli ipercubi, oggetti dei quali ho già parlato due anni fa, divagando a partire dal tema originario della matematica dell'I Ching (in quel post ricordavo tra l'altro lo sviluppo tridimensionale di un ipercubo dipinto da Salvador Dalí in "Corpus Hypercubus".
Cosa c'entrano i quadrati ultramagici con gli ipercubi? Se mettiamo in corrispondenza le 16 caselle di un quadrato diabolico con i 16 vertici di un ipercubo a quattro dimensioni, si ottiene una distribuzione di numeri tale per cui la somma dei quattro vertici di ogni faccia è pari a 34. Inoltre, la somma dei numeri sulle coppie che si trovano agli antipodi dell'ipercubo dà 17.
Sottoponendo l'ipercubo a riflessioni e rotazioni si ottengono 384 configurazioni, corrispondenti ai 384 quadrati diabolici 4x4.

Non bisogna confondere questo particolare legame tra quadrati diabolici e ipercubi con i "cubi magici", che altro non sono che gli equivalenti tridimensionali dei quadrati magici.
Un cubo magico è quindi una matrice tridimensionale n x n x n nella quale la somma dei numeri di ogni riga in ciascuna delle tre dimensioni e di ognuna delle quattro diagonali sia un numero costante, che anche in questo caso viene chiamato costante di magia. 
La costante di magia di un cubo magico tridimensionale è uguale a
Anche in tre dimensioni esiste la magia nera, e anche i cubi, come i quadrati, possono essere talmente magici da diventare diabolici: accade quando anche la somma dei numeri su ogni diagonale spezzata restituisce la costante di magia del cubo.

Più che ai cubi diabolici, i matematici hanno rivolto la loro attenzione ad un'altra categoria di cubi magici, detti "perfetti".  Possono vantare questo appellativo i cubi nei quali non soltanto le diagonali maggiori ma anche quelle interne sono magiche.
La ricerca sui cubi magici perfetti è relativamente recente: il primo, di ordine 7, fu scoperto nel 1866 dal missionario inglese Andrew Frost.

Nove anni dopo un quadrato magico perfetto di ordine 8 fu trovato da Gustavus Frankenstein, pittore e matematico tedesco dal cognome che era tutto un programma.  Un dipinto di questo artista-scienziato è riportato qui a lato.
Verso la fine dell'Ottocento sono stati scoperti cubi magici perfetti di ordine 9, 11 e 12, mentre solo nel 1988 è stato individuato un quadrato magico perfetto con n=10.

Ma esistono anche quadrati magici perfetti di ordine inferiore a 7? Ebbene, è stato provato che non ne esistono con n uguale a 2, 3 e 4, e fino a dieci anni fa si sospettava che non ne esistessero nemmeno di ordine 5 e 6.
Nel novembre 2003, il matematico tedesco Walter Trump e l'informatico francese Christian Boyer, facendo girare per settimane un sofisticato algoritmo in parallelo su cinque computer,  hanno finalmente trovato il più piccolo cubo magico perfetto, di ordine 5.  Due mesi prima, gli stessi due ricercatori avevano trovato anche il primo cubo magico perfetto di ordine 6.
Questa è una pagina che illustra in dettaglia l'impresa di Trump e Boyer; questa è invece una pagina su quadrati e cubi magici curata dallo stesso Walter Trump. Buon divertimento!

3 commenti:

  1. Per caso ho visitato questo sito, io non sono un matematico ma semplicemente un appassionato e riesco a sviluppare quadrati magici di qualsiasi base.
    Ultimamente mi sto dedicando a quelli che io chiamo perfetti o come sento anche dire da lei diabolici o ultramagici.
    Faccio presente uso il pc solo per trascriverli.
    Mi piacerebbe sapere fin dove sono arrivate le conoscenze matematiche.
    Distinti Saluti

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  2. Per caso ho visitato questo sito, io non sono un matematico ma semplicemente un appassionato e riesco a sviluppare quadrati magici di qualsiasi base.
    Ultimamente mi sto dedicando a quelli che io chiamo perfetti o come sento anche dire da lei diabolici o ultramagici.
    Faccio presente uso il pc solo per trascriverli.
    Mi piacerebbe sapere fin dove sono arrivate le conoscenze matematiche.
    Distinti Saluti

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  3. Caro frankray44, il tema dei quadrati magici appartiene, più che all'ambito della ricerca matematica attuale, alla sfera della matematica ricreativa e divulgativa.
    Non credo, quindi, che vi siano sviluppi recenti su tale argomento, se non in un ambito appunto ricreativo, in cui la parte del leone è svolta dagli appassionati come lei e me più che dai ricercatori veri e propri.
    Le segnalo questo link, che potrebbe essere di suo interesse: http://amslaurea.unibo.it/811/1/casalboni_ivan_tesi.pdf
    Grazie, buon divertimento

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