domenica 30 ottobre 2011

John McCarthy e l'attrazione fatale del 91

Dopo Steve Jobs e Dennis Ritchie, il fatidico mese di ottobre 2011 ci ha portato via un altro grande informatico: l'americano John McCarthy, uno dei padri dell'intelligenza artificiale, inventore del linguaggio di programmazione LISP, nonché premio Turing nel 1971.
Con McCarthy scompare uno dei giganti della ricerca teorica informatica, uno di quelli che hanno fatto davvero la storia della computazione.
Oltre alle sue ricerche pionieristiche sull'intelligenza artificiale (fu lui, nel lontano 1955, il primo ad adoperare la fortunatissima espressione "intelligenza artificiale"), a McCarthy dobbiamo l'invenzione di alcuni concetti oggi fondamentali dell'ambito della programmazione e delle tecnologie informatiche in genere: ad esempio il meccanismo del "garbage collection", ben noto a chiunque abbia scritto programmi per computer, e l'idea di rendere disponibile come servizio la potenza dei calcolatori, un po' come avviene per l'elettricità o l'acqua. Quest'ultimo concetto, proposto da McCarthy già all'inizio degli anni Sessanta, è stato recentemente rivalutato, e si è imposto con successo sotto forma di tecnologie con nomi diversi ("Software as a service", "Cloud computing", ecc.).

Vorrei qui ricordare McCarthy accennando ad una sua curiosa creazione matematica: la cosiddetta "funzione 91" di McCarthy.
La funzione 91 è definita come segue:







Come si può notare, la funzione è ricorsiva: per i valori minori o uguali a 100 la funzione è definita in termini di se stessa (addirittura con una doppia ricorsione).
La particolare definizione ricorsiva ha delle conseguenze molto interessanti. Provate a calcolare il valore della funzione per un qualsiasi n 101: ebbene, otterrete sempre e comunque 91!
Proviamo con n=100:






Con n=87:






















Se proviamo a disegnare il grafico della funzione 91 di McCarthy, otteniamo qualcosa del genere:


E' evidente, nel primo tratto della funzione, corrispondente ai valori di n 101, che la funzione rimane fissa sul valore 91.
Lo strano comportamento della funzione, che "precipita" sempre sul numero 91 per tutti gli n 101, è dimostrabile in modo abbastanza semplice, utilizzando il metodo di induzione. Non riporto qui i passi della dimostrazione, che possono essere trovati ad esempio sulla voce di Wikipedia dedicata alla funzione 91.

sabato 22 ottobre 2011

E' nato il Carnevale dei Libri di Scienza!

E' nato! La prima edizione del Carnevale dei Libri di Scienza è online sul sito di ScienzaExpress.

L'idea di Daniele Gouthier di dare vita a questo nuovo Carnevale scientifico è, a mio parere, davvero brillante, e meritevole di tutto il sostegno possibile. La promozione dei libri di scienza, e soprattutto dei buoni libri di scienza, è assolutamente fondamentale se vogliamo che il sapere scientifico si diffonda nel modo migliore presso la popolazione.

Scienza Express sarà il punto di riferimento di questo nuovo Carnevale, il quale, tuttavia, secondo la formula classica del Carnevale, verrà ospitato di volta in volta da un blog diverso.

Naturalmente sono benvenuti sia i contributi (cioè i post che parleranno di libri) sia le candidature per ospitare le prossime edizioni. Come scrive Daniele Gouthier:

Un "Carnevale dei libri di scienza" ospita post che parlano di novità e altri sui grandi classici. Naturalmente, sono ben graditi contributi che toccano libri sconosciuti purché abbiano significato qualcosa per chi ne scrive. Vale tutto. Dagli Elementi di Euclide a Bertrand Russell all'ultimo libro uscito ieri.

Questa prima edizione del Carnevale propone alcune recensioni molto interessanti. Lo stimolante tema proposto da Daniele, era "Storie di animali".
Mr. Palomar ha contribuito con il post sul romanzo "Il teorema del pappagallo" di Denis Guedj.

E sempre Mr. Palomar ospiterà la prossima edizione del Carnevale!
Il tema che ho voluto proporre è "Il gioco", che potete declinare come meglio desiderate, o, se volete, potete anche ignorare. Con le parole di Daniele:

Vale tutto: libri giocosi e libri giocherelloni, libri di giochi e libi in cui si gioca, libri gioco e libri che ruotano attorno ai giochi.

Potete pensare anche al gioco inteso come enigma, oppure come sport, oppure... insomma, vedete voi. Il Carnevale uscirà il 21 novembre su questo blog.
Per favore inviate i vostri contributi all'indirizzo paoloaless@gmail.com. Avrete la certezza della pubblicazione se le segnalazioni giungeranno entro il mezzogiorno di venerdì 18 novembre.
Buon Carnevale a tutti!

lunedì 17 ottobre 2011

In memoria di Dennis Ritchie

Il mese di ottobre 2011 ha visto la scomparsa di due grandi geni dell'informatica. Del primo, Steve Jobs, hanno parlato diffusamente tutti i mezzi di comunicazione, e si sono versati fiumi di inchiostro (soprattutto digitale, ovviamente).
Del secondo, Dennis Ritchie, hanno invece parlato pochissimi. Pochissime persone, d'altra parte, saprebbero dire chi sia stato Dennis Richie, e che cosa abbia fatto di tanto memorabile.
Eppure, l'importanza delle sue ricerche e dei suoi risultati lo pongono tra i massimi geni della storia dell'informatica.
Bastano due parole molto brevi, per stabilire la statura di Ritchie nel pantheon degli informatici di ogni tempo. La prima è UNIX. La seconda è C.
Assieme ad un altro grande informatico come Ken Thompson, presso i Bell Laboratories che videro la nascita del transistor e del laser, Ritchie fu infatti uno dei principali artefici del sistema operativo UNIX. Per decenni UNIX ha rappresentato una risorsa fondamentale per aziende, università e appassionati. UNIX, nel corso della sua lunga storia, ha avuto due figli illustri: uno è Linux, il sistema open source e gratuito più diffuso al mondo, lanciato nei primi anni Novanta dallo studente finlandese Linus Torvalds, l'altro è Mac Os X, sistema adottato nei sistemi Apple Macintosh dal 2001 in poi.
Negli stessi anni in cui vedeva la luce UNIX, e cioè in quegli anni di grande creatività e vivacità culturale che segnarono il passaggio tra anni Sessanta e anni Settanta, Dennis Ritchie plasmò anche il linguaggio di programmazione C: un altro pilastro fondamentale dell'informatica dal cui grembo sono derivate decine di altre piattaforme, come C++, Java, Perl, PHP, Python e molti altri.
Per il suo contributo essenziale al mondo della computazione, Dennis Ritchie ottene nel 1983, insieme a Thompson, il prestigioso premio Turing.
Onore dunque non soltanto al pur geniale Jobs, ma anche al grande Ritchie.

domenica 16 ottobre 2011

Il teorema del pappagallo, ovvero la matematica in forma di giallo

Prendete un pappagallo. Non un pappagallo qualsiasi, s’intende, ma un pennuto parlante, un po’ pedante, irresistibilmente simpatico, di nome Nofutur, che “non ripete, ma racconta”. Aggiungete un anziano filosofo, il signor Pierre Ruche, generoso e combattivo, che gestisce una libreria del quartiere parigino di Montmartre. Non dimenticate Perrette, donna dall’enigmatico passato, i suoi figli, i gemelli Jonathan e Lea, concepiti in un tombino delle fogne dove lei era caduta per sbaglio, e soprattutto Max, ragazzino sordo ma dalla particolare sensibilità. Condite con Albert, taxista che ha conosciuto il mondo intero senza mai uscire da Parigi, e Habibi, proprietario di una drogheria araba. Completate il quadretto con una trama avvicente, da vero e proprio thriller, in cui gli insoliti testimoni si chiamano… Talete, Pitagora, Euclide, Archimede, Tartaglia, Goldbach, Eulero, Fermat!
Si potrebbe definire questo libro un giallo matematico. O si tratta forse un romanzo sulla matematica? Oppure un testo di storia della matematica camuffato da romanzo? O forse… Qualunque cosa sia, questo libro testimonia la grande passione dell’autore per numeri e teoremi: in questo libro, che da best-seller è divenuto ormai un classico, Denis Guedj, già noto per il romanzo storico-scientifico “Il meridiano”, vince la sua scommessa di trasformare l’arida e astratta matematica in qualcosa di vivo, animando numeri ed equazioni grazie alla concretezza delle vite dei suoi protagonisti.
A proposito di storie, non è la trama del romanzo in sé che conta. A dire il vero, si tratta di un plot forse un po’ debole: a tratti si ha la sensazione che gli stravaganti personaggi gravitanti attorno alla libreria parigina non rappresentino il vero centro dell’interesse di Guedj, ma che costituiscano soltanto una cornice, per quanto simpatica, escogitata per sostenere le storie dei veri protagonisti, i matematici dei secoli passati. Già, perché chi domina davvero la scena è la matematica stessa.

La trama merita comunque un accenno. Un giorno, l’anziano Ruche riceve una insolita lettera da un amico matematico che non vede da cinquant’anni, Elgar Grosrouvre. Nella lettera Grosrouvre annuncia che la sua immensa biblioteca di libri di matematica sta per essere trasportata a Parigi, presso la libreria di Ruche. Ma l’arrivo dei preziosissimi libri portano con sé la notizia della misteriosa morte di Grosrouvre in Amazzonia, sulla quale Ruche comincia ad indagare, aiutato dalla sua variegata “tribù” e dal variopinto pappagallo. Il filosofo Ruche, per decifrare l’enigma, si mette a studiare aritmetica, algebra, trigonometria e logica, materie che ha odiato fin dai tempi dell’università: a ottantaquattro anni (non è mai troppo tardi) scopre così la bellezza della matematica. Tra le pagine delle opere recapitate a Ruche, si nasconde la soluzione del giallo della morte di Grosrouvre: è stato forse ucciso a causa di alcune sue dimostrazioni che non ha voluto rivelare? O si è trattato di un incidente? Ruche e i suoi amici si ritrovano così scaraventati nell’affascinante mondo della matematica, viaggiano nei libri dall’Egitto ad Atene, da Crotone a Baghdad, facendo la conoscenza di illustri studiosi di ogni epoca: dai matematici dell’antica Grecia a quelli del mondo arabo, fino ad arrivare ai grandi matematici europei dei secoli più recenti. La svolta avviene quando prima Nofutur e poi anche Max vengono rapiti: per liberarli Ruche si ritrova in Sicilia, dove compare lo strano personaggio di Tavio, alias Don Ottavio. Il giallo comincia a dipanarsi, e per giungere alla soluzione finale la scena si sposterà addirittura a Manaus, in Amazzonia: e Nofutur, ovviamente, si rivelerà figura chiave.

Il merito più grande di Guedj è quello di aver saputo fare della matematica una storia appassionante e divertente, facendone risaltare la vera essenza: non formule complicate e astrusi teoremi, ma qualcosa di vivo, trascinante e affascinante.
Il pretesto narrativo in forma di giallo conduce per mano il lettore verso la riscoperta della storia della matematica, fatta di uomini in carne ed ossa alle prese con enigmi ben più intricati di quello della morte di Grosrouvre. Ogni lettore in più che il romanzo di Guedj ha affascinato e convinto della bellezza della matematica è una piccola grande vittoria della buona divulgazione. Anche un pappagallo può servire in questa impresa.

venerdì 14 ottobre 2011

Carnevale della matematica #42: goto .mau.

"Quarantadue!" urlò Loonquawl. "Questo è tutto ciò che sai dire dopo un lavoro di sette milioni e mezzo di anni?"
"Ho controllato molto approfonditamente," disse il computer, "e questa è sicuramente la risposta. Ad essere sinceri, penso che il problema sia che voi non abbiate mai saputo veramente qual è la domanda."

Può darsi che il supercomputer Pensiero Profondo, tra i protagonisti della celeberrima "Guida Galattica per gli autostoppisti", avesse inteso rispondere alla epocale domanda "Quale fu il Carnevale della Matematica ospitato dal Post di .mau. nell'ottobre del 2011?"
Non siamo certi di questo, ma di sicuro questa edizione del Carnevale si presenta molto ricca di interessanti spunti.
Anche questo mese si è aggiunta ai blogger già noti una new entry: Leonardo Petrillo col suo bel blog "Scienza e musica".
Il tema, davvero accattivante, proposto dal buon .mau. era "Numeri e letteratura".
Mr. Palomar ha contribuito con soli due contributi, entrambi pertinenti con l'argomento: "La matematica invisibile di Calvino" e "Ineffabile, inafferrabile π"

Buona lettura e buon Carnevale a tutti!

domenica 2 ottobre 2011

Ineffabile, inafferrabile π

Che cos'hanno in comune la cantautrice inglese Kate Bush, salita alla ribalta internazionale nel 1978 con la hit "Wuthering Heights", e il grande scrittore tedesco Thomas Mann, premio Nobel per la letteratura nel 1929?
Apparentemente nulla. Eppure questi due artisti, pur nella profondissima diversità dei loro linguaggi espressivi, hanno dipinto due personaggi molto simili tra di loro, accomunati dalla loro passione per un numero: il misterioso e inafferrabile π.

Nella canzone "Pi", tratta dall'album "Aerial" del 2005, Kate Bush descrive la figura di un matematico ossessionato da quell'affascinante numero:

Sweet and gentle sensitive man
With an obsessive nature and deep fascination
For numbers
And a complete infatuation with the calculation
Of Pi

Oh he love, he love, he love
He does love his numbers
And they run, they run, they run him
In a great big circle
In a circle of infinity

3.1415926535 897932
3846 264 338 3279

Oh he love, he love, he love
He does love his numbers
And they run, they run, they run him
In a great big circle
In a circle of infinity
But he must, he must, he must
Put a number to it


Tradotto in italiano:

Uomo dolce, gentile e sensibile
Dalla natura ossessiva e profondamente affascinato
Dai numeri
E completamente infatuato del calcolo
Di π

Oh, lui ama, lui ama, lui ama
Lui ama davvero i suoi numeri
E lo portano, lo portano, lo portano
In un grande grande cerchio
In un cerchio di infinito.

3.1415926535 897932
3846 264 338 3279

Oh, lui ama, lui ama, lui ama
Lui ama davvero i suoi numeri
E lo portano, lo portano, lo portano
In un grande grande cerchio
In un cerchio di infinito.
Ma lui deve, lui deve, lui deve
Metterci sopra un numero.




E Thoman Mann? Uno dei personaggi minori del celebre romanzo "La montagna incantata", una delle opere fondamentali di Mann, è il procuratore Paravant, malato di tubercolosi e ricoverato nel sanatorio sulle Alpi svizzere in cui è ambientata la storia. Paravant non sembra molto diverso dal matematico "dolce, gentile e sensibile" e "completamente infatuato del calcolo di π", cantato da Kate Bush:

I suoi discorsi si aggiravano sempre e con tremenda monotonia intorno al rapporto pi greco, a questa disperata frazione che l’umile genio di un calcolatore mentale di nome Zacharias Dase calcolò fino a duecento decimali, ma per puro lusso, perché le possibilità di avvicinarsi all’irraggiungibile esattezza non si esaurirebbero neanche con duemila cifre, e anzi rimarrebbero tali e quali. Tutti scansavano il tormentato pensatore poiché chi gli capitava tra le grinfie era costretto a sorbirsi torrenti di parole infocate, miranti a destare la sua umana sensibilità per la vergogna che lo spirito umano sia contaminato dalla funesta irrazionalità di quel mistico rapporto. L’inutilità di moltiplicare in eterno il diametro per pi greco al fine di trovare la circonferenza, il quadrato del raggio per pi greco al fine di trovare la superficie del cerchio, procurava a Paravant attacchi del dubbio se dopo i giorni di Archimede l’umanità non si sia creata eccessive difficoltà e la soluzione del problema non sia invece puerile e semplicissima. Come? non si dovrebbe poter rettificare la circonferenza né pertanto piegare a cerchio qualunque retta? Certe volte il procuratore si credeva prossimo a una rivelazione. Spesso lo si vedeva, la sera tardi, nella sala da pranzo ormai deserta e scarsamente illuminata, ancora seduto alla sua tavola, sul cui piano sgombro disponeva accuratamente un pezzo di spago in forma di cerchio e poi, con gesto improvviso, lo stendeva formando una retta, e infine, con la testa fra le mani, si concentrava in amare riflessioni. Il consigliere gli dava talvolta una mano in quel malinconico trastullo e, in genere, incoraggiava il suo grillo. Anche a Castorp ricorse una volta il paziente col suo cruccio adorato, una e piú volte, perché aveva incontrato molta e amichevole comprensione nonché profonda simpatia per l’enigma del circolo. Illustrò al giovane la disperata situazione del pi greco presentandogli un disegno a tratti finissimi dove, con enorme fatica, era stato tracciato un cerchio tra due poligoni, l’uno inscritto e l’altro circoscritto, con innumerevoli piccolissimi lati, fino all ultima approssimazione umanamente possibile. Il resto invece, la curvatura che, su un piano etereo dello spirito, rifiuta di essere razionalizzata mediante la calcolabile circoscrizione, quella, disse il procuratore con la mandibola tremante, quella è il pi greco! Castorp, per quanto ben disposto, si rivelò meno sensibile al pi greco di quanto non fosse il suo interlocutore. Lo chiamò una burletta, consigliò il signor Paravant di non accalorarsi troppo nel giocare ad acchiapparlo e parlò dei punti senza dimensione, dei quali si compone il circolo dal non esistente principio alla fine non esistente, nonché della petulante malinconia insita nell’eternità in sé ricorrente senza direzione e durata: parlò con cosí pacati accenti religiosi da esercitare sul procuratore un transitorio influsso calmante.
(da "La montagna incantata" di Thomas Mann, traduzione di E. Pocar, Corbaccio, pagg. 593-594)

Il brano di Mann fa riferimento allo stretto legame esistente tra la determinazione esatta del valore di pi greco e l'antico problema della quadratura del cerchio: costruire, con riga e compasso, un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio. Dato che un cerchio ha un'area di πr2, il quadrato di pari superficie dovrebbe avere un lato di r moltiplicato per la radice quadrata di π. Il problema quindi si riduce alla determinazione di questa radice quadrata con il solo ausilio di riga e compasso.

Perfino Dante parla del problema della quadratura del cerchio, e lo fa nel momento finale e culmimante della sua Divina Commedia: verso la fine dell'ultimo Canto del Paradiso, quando il sommo poeta affronta una delle questioni teologiche più complesse, e cioè il mistero dell'incarnazione e della coesistenza tra natura divina e umana di Cristo.
Per far comprendere la difficoltà del problema, Dante lo paragona all'antico enigma della quadratura del cerchio, che a quell'epoca era ancora ben lontano da una risoluzione.

Qual'è 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova;
ma non eran da ciò le proprie penne:
se non che la mia mente fu percossa
da un fulgore in che sua voglia venne.

(Paradiso, XXXIII, 133-141)

Quasi sei secoli dopo Dante, precisamente nel 1882, il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann scrisse la parola "fine" nella storia del quadratura del cerchio. Dimostrò infatti che π è un numero "trascendente", o, equivalentemente, non "algebrico", cioè non può essere determinato come soluzione di un'equazione del tipo P(x) = 0, dove P(x) è un polinomio di grado n con coefficienti interi.
Insomma, π è un numero strano, che salta fuori dappertutto (non solo in geometria, ma in tutti i rami della matematica), ma al tempo stesso non si lascia costruire ed afferrare in nessun modo.
Un altro celebre numero trascendente è la costante di Nepero e, base dei logaritmi naturali.
Poiché con riga e compasso è possibile costruire soltanto numeri "algebrici", la dimostrazione di Lindemann della trascendenza di π decretò anche l'impossibilità del problema della quadratura del cerchio.

Il cerchio, insomma, non si può "quadrare", e il procuratore Paravant, quindi, si affannava inutilmente su un problema impossibile. La scoperta di Lindemann, tuttavia, non ha interrotto i tentativi di determinare il valore di π con crescente precisioneche anzi continuano ancora oggi con grande fervore. L'unico limite, del quale i matematici sono ben consapevoli, è che non si potrà mai arrivare a determinare un valore esatto, e nemmeno una formula algebrica che fissi una volta per tutte quel numero sfuggente.

La grande poetessa polacca Wislawa Szymborska, premio Nobel per la letteratura nel 1996, ha dedicato una poesia all'inafferrabilità di π.

E' degno di ammirazione il pi greco
tre virgola uno quattro uno.
Anche tutte le sue cifre successive sono iniziali,
cinque nove due, poiché non finisce mai.
Non si lascia abbracciare sei cinque tre cinque dallo sguardo,
otto nove dal calcolo,
sette nove dall’immaginazione,
e nemmeno tre due tre otto dallo scherzo, ossia dal paragone
quattro sei con qualsiasi cosa
due sei quattro tre al mondo.
Il serpente più lungo della terra dopo vari metri s’interrompe.
Lo stesso, anche se dopo un po', fanno i serpenti delle fiabe.
Il corteo di cifre che compongono il pi greco
non si ferma sul bordo della pagina,
è capace di srotolarsi sul tavolo, nell’aria,
attraverso il muro, la foglia, il nido, nuvole, diritto fino al cielo,
per quanto è gonfio e senza fondo il cielo.
Quanto è corta la treccia della cometa, proprio un codino!
Com'è tenue il raggio della stella che s’incurva in ogni spazio!

E invece qui due tre quindici trecento diciannove
il mio numero di telefono il tuo numero di collo di camicia
l’anno mille novecento settanta tre sesto piano
il numero degli inquilini sessantacinque centesimi
la misura dei fianchi due dita una sciarada e una cifra,
in cui vola e canta, usignolo mio
e si prega di mantenere la calma,
e anche la terra e il cielo passeranno,
ma non il pi greco, oh no, niente da fare,
esso sta lì, col suo cinque ancora passabile,
un otto niente male,
un sette non ultimo,
incitando, eh sì, incitando l'indolente eternità
a durare.


da "Grandi numeri" (1976) di Wislawa Szymborska
(traduzione di Alessandra Czeczott)



Insomma, il "corteo di cifre" di π è "capace di srotolarsi... diritto fino al cielo"; questa ineffabile infinità, oltre a ossessionare matematici di ogni epoca, è stata sfruttata a proprio vantaggio nientemeno che dal capitano Kirk in un episodio della serie classica di Star Trek.



Nella puntata "Wolf in the Fold", infatti, una misteriosa entità aliena prende il controllo del computer principale dell'astronave Enterprise, e minaccia di uccidere tutti i componenti dell'equipaggio. Kirk ordina allora al computer di calcolare π fino all'ultima cifra: di fronte all'impossibilità del compito, l'entità, per evitare di impazzire, non può fare altro che abbandonare il computer, restituendo la tranquillità a Kirk e compagni.
Che dire? Lunga vita e prosperità... a π!