Meraviglie possibili e impossibili con il cubo Soma

Nei giorni scorsi ho passato qualche giorno a Torino, città che in questo periodo offre numerosi spunti culturali di altissimo livello, in gran parte legati alla celebrazione dei 150 anni dell'unità d'Italia: proposte che uniscono l'antico con il moderno, in una meravigliosa dimostrazione di eccellenza italiana.
Nel corso delle mie esplorazioni torinesi, ho visitato la magnifica reggia della Venaria Reale, nella quale trova posto una specie di tempio del gioco al quale è stato dato il nome di "Fantacasino". Qui ho trovato, con mia grande sorpresa, un paio di rompicapi matematici realizzati in legno e offerti al divertimento dei visitatori: le torri di Hanoi (delle quali ho parlato in un mio precedente post) e il celebre cubo Soma.
Il cubo Soma fu inventato da un genio dei rompicapi matematici: il danese Piet Hein.
La vita di Hein sembra uscita da un romanzo: nacque a Copenhagen nel 1905 da una famiglia che tra i suoi antenati vanta un altro Piet Hein, l'eroe nazionale olandese che si distinse all'inizio del Seicento come comandante navale nella guerra degli Ottant'Anni.
Nel 1940, quando la Danimarca fu invasa dai nazisti, il nostro Piet Hein si arruolò come partigiano, e combattè a capo di un gruppo antinazista fino alla fine della guerra.
Si sposò quattro volte, ed ebbe cinque figli.
Nel corso della sua lunga vita, Hein fu matematico, fisico, ingegnere, progettista e inventore, ma anche divulgatore scientifico, poeta e scrittore.
Durante la sua milizia nella resistenza danese, inventò un particolare tipo di poesia breve, chiamato "gruk" o "grook", e pubblicò i suoi primi componimenti antinazisti sul quotidiano danese "Politiken", con lo pseudonimo "Kumbel Kumbel".
Un esempio di gruk? Eccolo:

La via della saggezza

La via della saggezza?
E' evidente
e molto semplice:
sbaglia,
sbaglia
e sbaglia ancora,
ma sempre meno,
meno
e meno.

Come matematico, studiò a fondo una particolare curva, chiamata "superellisse": una sorta di via di mezzo tra un'ellisse e un rettangolo. La superellisse è divenuta un marchio di fabbrica dell'architettura scandinava moderna, ma è stata utilizzata anche in molti oggetti di design e nella progettazione dello stadio Olimpico di Città del Messico.

A noi Piet Hein interessa soprattutto come inventore di giochi e rompicapi matematici, tra i più belli che siano mai stati creati. Il gioco dell'Hex, profondamente studiato dalla "beautiful mind" di John Nash e descritto dal grande Martin Gardner, è suo. Sono suoi anche giochi noti come TacTix, Nimbi, Tangloids, Morra, Tower, Polytaire, Qrazy Qube, Pyramystery.

L'idea del cubo Soma, probabilmente il suo gioco più celebre, gli venne nel 1936, mentre seguiva una lezione di fisica quantistica di Werner Heisenberg. Il grande fisico stava descrivendo uno spazio suddiviso in celle cubiche, e il giovane Hein si trovò a riflettere su quali forme possano essere costruite combinando insieme cubetti uniti tra di loro per una faccia.
Hein concentrò il proprio interesse sulle forme "irregolari", cioè sulle combinazioni di cubetti che presentano delle concavità. Ad esempio, con un solo cubetto o con due cubetti, non è possibile creare forme irregolari; con tre cubetti è possibile creare una sola forma irregolare, illustrata nella figura seguente:



E con quattro cubetti? Hein osservò che potevano essere costruite sei figure irregolari:



Ora, il bello deve ancora venire. Hein provò a contare i cubetti utilizzati per costruire queste sette figure: 3 per l'unica figura da 3 cubetti, 4x6=24 per le 6 figure da 4 cubetti, in tutto 27 cubetti.
Ma... 27 è il cubo di 3! La domanda nacque spontanea nella mente di Hein: non è che combinando opportunamente queste sette figure si possa ottenere un bel cubo 3x3x3?

Hein si mise al lavoro e trovò subito la risposta: sì, è possibile!
La soluzione non è unica: nel 1961 i matematici J. H. Conway e M. J. T. Guy hanno dimostrato che escludendo simmetrie e rotazioni il problema ammette 240 diverse soluzioni.
Certo, trovare il modo giusto di combinare i sette pezzi del cubo Soma non è per tutti facile, e la sfida è un rompicapo appassionante.




Con i sette pezzi base, oltre al cubo 3x3x3 che rappresenta la prima sfida per chi voglia cimentarsi con il rompicapo, è possibile costruire innumerevoli altre forme curiose. Nella figura a lato è illustrata una ipotetica "stanza del matematico", nella quale il tavolo, le sedie e il divano sono tutte figure che si possono ottenere a partire dai sette pezzi base.

Naturalmente non tutte le figure costituite da 27 cubetti possono essere costruite con i sette pezzi base: un po' come accade con i bidimensionali polimini, anche le costruzioni Soma si prestano a interessanti dimostrazioni di impossibilità.



Martin Gardner, nel suo classico "Enigmi e giochi matematici", mostra come le due forme illustrate nella figura seguente non possano essere costruite con i pezzi del cubo Soma.

Della seconda forma, Gardner propone anche una interessante dimostrazione di impossibilità.

Il cubo Soma assomiglia un po' al tangram e un po' ai rompicapi con i polimini (dei quali ho già accennato in questo blog in questo e in questo articolo), ma ha in più il pregio di essere tridimensionale.
Perché Hein scelse questo nome? "Soma" è il nome dell'immaginaria droga descritta da Aldous Huxley nel suo romanzo "Brave New World" ("Il mondo nuovo").
Concludo con un passo da questo romanzo:

...non un momento di riposo... non un momento per sedersi e pensare - ché se per qualche sfortunato caso una tal fessura di tempo si apre nella solida sostanza delle loro distrazioni, c'è sempre il Soma, il delizioso Soma...