martedì 18 gennaio 2011

Come giocare su una scacchiera con i pezzi del Tetris

Una ventina d'anni fa Mr. Palomar passava molto tempo davanti al pc giocando a Tetris, il gioco delle forme colorate che cadono in una sorta di pozzo e che devono essere spostate e ruotate in modo da completare il numero maggiore possibile di righe orizzontali ininterrotte: quando una siffatta riga viene creata, come per incanto sparisce, dando respiro al giocatore.
Mr. Palomar ricorda bene i sette tipi di pezzi del Tetris:


Il gioco del Tetris venne ideato nel 1985 da un geniale programmatore russo, Aleksej Leonidovič Pažitnov, che allora lavorava in un centro di ricerca dell'Accademia delle Scienze Sovietica. Quando il gioco cominciò a spopolare in tutto il mondo, verso la fine degli anni Ottanta, al buon Pažitnov, in quanto dipendente statale, non vennero riconosciuti i diritti d'autore: cosicché nel 1991 fece le valigie ed emigrò negli Stati Uniti, dove poté meglio raccogliere i frutti del proprio ingegno.
Passato il periodo di "innamoramento" per l'allucinogeno videogame, Mr. Palomar esaurì ben presto l'interesse verso il Tetris, dedicandosi ad altro e dimenticando quella passione giovanile.
Spesso, però, le cose del passato tendono imprevedibilmente a tornare. Poco tempo fa Mr. Palomar fu invitato a casa di un suo amico, Mr. Wilson, esperto di matematica e di giochi matematici. Mentre i due parlavano del più e del meno, Mr. Palomar notò alcuni pezzi di cartone colorato su un tavolo e domandò all'amico di cosa si trattasse.
- I tetramini! Non ti ricordi più il Tetris?
- Ah, è vero!
A Mr. Palomar sembrò che un remoto ricordo fosse riemerso da uno sperduto anfratto della sua memoria.
- Ricordi perché si chiamano così, vero? Ogni pezzo colorato che nel Tetris deve essere sistemato sul fondo del pozzo è formato da quattro quadratini, e quindi...
- Sì, lo ricordo, non c'è bisogno che me lo spieghi.
- Aspetta, porto la scacchiera!
- La scacchiera? Stavamo parlando del Tetris, mica degli scacchi!
- Aspetta. Aspetta e vedrai - rispose Mr. Wilson, infilandosi frettolosamente nel suo studio.
Tornò con una pesante scacchiera di legno sotto braccio. La posò sul tavolo. Mr. Palomar prese in mano uno dei tetramini di cartone e si accorse che i quattro quadrati che lo costituivano coincidevano perfettamente con la dimensione dei quadrati della scacchiera. In altre parole, ogni forma colorata di Mr. Wilson poteva essere posata sulla scacchiera in modo da coprire le caselle con precisione.
- Un momento! - disse improvvisamente Mr. Palomar - Qui ci sono solo cinque tetramini di cartone, mentre nel Tetris i pezzi erano di sette tipi. Ne hai persi due?
- No - rispose Mr. Wilson - Guarda qui! - e capovolse due delle cinque sagome: quella rossa e quella blu. Il tetramino rosso era colorato di verde sull'altro lato, mentre quello blu aveva l'altra faccia arancione.
- Ahhh, forse ho capito! - esclamò Mr. Palomar - Nel Tetris due tetramini sono considerati di tipo diverso se differiscono per una riflessione o per una rotazione nello spazio tridimensionale. Quindi il tetramino blu, simile ad una J, è diverso dal tetramino arancione, simile ad una L, e così quello rosso, dalla forma di una Z va distinto da quello verde, fatto a S.
- Esatto. I matematici, invece, preferiscono considerare uguali due tetramini che differiscono per una riflessione o per una rotazione, ed io ho seguito questa convenzione nel ritagliare queste sagome. Però, in onore del glorioso Tetris, ho mantenuto, sulle due facce dei tetramini "bivalenti", le due diverse colorazioni. Guarda queste altre forme adesso.
Mr. Wilson aprì una busta, dalla quale fuoriuscirono altre 12 sagome di cartone colorato.


- Queste però non sono tetramini, o sbaglio?
- Non sbagli. Conta i quadrati in ogni forma.
- Uno, due, tre, quattro... cinque. Sono... pentamini?
- Indovinato. Tetramini e pentamini non sono che casi particolari di polimini, cioè figure piane composte da un numero finito di quadrati connessi tra di loro lungo i lati. In inglese si chiamano polyominoes.
- Quindi se usiamo soltanto tre quadratini per ogni forma, abbiamo dei... trimini?
- Certo. E con due quadratini abbiamo...
- Aspetta! Lasciami indovinare: domini?
- Già. Non ti dice niente questa parola? Non ti ricorda un famoso gioco?
- Il domino! Certo! In effetti i pezzi del domino non sono altro che coppie di quadrati connessi.
- Proprio così. E con numeri di quadrati superiori a cinque, abbiamo invece gli esamini (che non sono esami facili!), gli ettamini, e così via.
Mr. Palomar rimase qualche secondo in silenzio, osservando le sagome colorate sul tavolo. Poi disse:
- Stavo pensando ai domini, polimini con due quadrati: esiste un solo modo di connettere due quadrati tra di loro per i lati, cioè esiste un solo tipo di domino. Giusto?
- Giusto. Così come esistono due tipi di trimino.
- E i pentamini? Quanti sono?
- Sono 12, seguendo la convenzione in auge presso i matematici. Gli esamini invece sono 35, gli ettamini 108, gli ottamini 369, e così via. Fu un certo Solomon W. Golomb, studente di Harvard negli anni Cinquanta, che, annoiato dalle lezioni, cominciò a disegnare polimini sul suo quaderno a quadretti, per poi classificarli e analizzarli.


Mr. Wilson tacque per qualche secondo, poi aggiunse, quasi tra sè e sè:
- Forse mentre faceva questo non immaginava che stava fondando uno dei capitoli più affascinanti della matematica ricreativa. Qualche anno dopo, però, Golomb divenne professore alla University of Southern California e approfondì molti settori dell'ingegneria, della teoria dei numeri e della teoria delle comunicazioni elettriche. Dopo la sua invenzione dei polimini, molti matematici e divulgatori, primo fra tutti il grande Martin Gardner, hanno esplorato a fondo quel mondo di quadratini, anche molto prima che il Tetris lo portasse alla ribalta del grande pubblico.
- Ma la scacchiera? Cosa vuoi farci?
- Cosa vuoi fare con una scacchiera? Giocare, no?
- Con i tetramini e i pentamini?
- Certo. Ci sono un sacco di giochi che si possono fare su una scacchiera usando polimini come questi. Ad esempio, prova a coprire la scacchiera usando i 12 pentamini.
Mr. Palomar rifletté:
- Dodici pentamini coprono 12x5=60 caselle, mentre la scacchiera comprende 8x8=64 caselle. Cosa ne facciamo delle 4 caselle rimanenti?
- Molto perspicace, complimenti! Le lasciamo vuote, semplicemente.
Per qualche secondo Mr. Palomar guardò l'amico con sguardo ebete, poi provò a sistemare sulle caselle della scacchiera le sagome di cartone, cercando di ricoprire esattamente tutta la scacchiera.
Dopo qualche minuto di tentativi infruttuosi, esclamò:
- Mica facile, però!
- No, non lo è. Su internet ci sono molti programmini che mostrano come si può ottenere un simile ricoprimento. Ad esempio una soluzione è questa.
Mr. Wilson spostò alcuni pezzi sulla scacchiera e ottenne la seguente configurazione:


- Eh, troppo comodo! La fai facile tu che conosci già la soluzione.
- Hai ragione. Ma pensa, anche imponendo il vincolo di collocare le quattro caselle eccedenti al centro della scacchiera, esistono ben 65 soluzioni diverse.
- Va bene, proverò ad esercitarmi a casa.
- Adesso ti faccio vedere un gioco che ho inventato io, con i cinque tipi di tetramini. Si gioca in due, io contro di te. Soltanto che devo tirare fuori altri pezzi di cartone che ho preparato. Infatti serve avere un certo numero di pezzi per ciascun tipo di tetramini: ad esempio un po' di pezzi del tipo lungo (quello celeste), un po' del tipo quadrato (quello giallo), e così via. Il gioco prende ispirazione dalle carte geografiche politiche.
- Le carte geografiche?
- Sì, in queste carte due stati confinanti non possono essere colorati con lo stesso colore. Analogamente, il gioco consiste nel posare a turno sulla scacchiera un pezzo, con la regola che non si può mettere un pezzo vicino ad altro dallo stesso colore.
- Interessante, proviamo.
I due giocarono per un po'. Il gioco era abbastanza divertente, ma a un certo punto Mr. Palomar, desideroso di provare nuovi rompicapi, domandò:
- Conosci altri giochi?
- Certo. Ce n'è uno ancora più semplice, ma molto divertente. Anche questo si può giocare in due, con i tetramini oppure con i pentamini. Io scelgo un pezzo e lo metto dove voglio sulla scacchiera. Poi tocca a te, e fai altrettanto. Perde chi che non riesce più a collocare un pezzo senza che vada a sovrapporsi agli altri.
- Caspita! Questo mi sembra un bel gioco!
- L'ha inventato il buon Golomb in persona.
- Proprio un tipo interessante, questo Golomb. Mi piacerebbe conoscerlo.
- Potremmo andare a trovarlo in California.
- Perché no?
I due cominciarono a giocare, e non smisero se non dopo parecchie ore.

Nessun commento:

Posta un commento