Tito Livio Burattini e il mistero della calcolatrice (parte prima)

Un ritratto moderno di Tito Livio Burattini
(immaginario, perché non disponiamo di ritratti originali)

Circa un anno e mezzo fa mi capitò un fatto molto curioso. Avevo iniziato a svolgere alcune ricerche su uno scienziato agordino del Seicento, Tito Livio Burattini, essendo stato colpito da un suo primato alquanto suggestivo: egli fu, infatti, il primo italiano a progettare e costruire una calcolatrice meccanica, pochi anni dopo le esperienze pionieristiche di Wilhelm Schickard e di Blaise Pascal.
Il mio obiettivo era raccontare la storia di Burattini al Dolomiti in Scienza, la rassegna organizzata ogni anno a Belluno dal Gruppo Divulgazione Scientifica Dolomiti "E. Fermi", del cui Consiglio Direttivo mi onoro di far parte da molti anni.
Intorno al Natale del 2016, quando la data del mio intervento era stata fissata da tempo, e la presentazione era  quasi pronta, mi resi improvvisamente conto di una coincidenza quasi incredibile, che stranamente non avevo mai notato prima: avrei tenuto la mia conferenza il 25 febbraio 2017, e Tito Livio Burattini era nato l'8 marzo 1617.
Se il mio seminario fosse stato spostato di soli undici giorni, avrei avuto l'onore di parlare del grande scienziato esattamente nel quarto centenario della sua nascita.
Aver inconsapevolmente azzeccato la ricorrenza si rivelò un evenienza fortunata, anche perché il Comune di Agordo (che ancora una volta ringrazio per la stima nei miei confronti e per l'ospitalità) mi contattò per organizzare, assieme ad altri studiosi, un convegno celebrativo di Burattini in occasione del suo quattrocentesimo compleanno, al quale si affiancò una mia lezione-laboratorio ai bambini della Scuola Primaria del delizioso paese dolomitico.

La lapide posta sulla casa natale di Burattini ad Agordo

Cosa fece di tanto importante questo scienziato per meritare queste e altre celebrazioni, a quattro secoli di distanza dalla sua nascita? Il suo nome dice ben poco, o forse nulla, alla maggioranza delle persone, esperti di scienza compresi. Eppure, come accennavo sopra, fu questo signore a realizzare la prima calcolatrice meccanica della storia. Inoltre Burattini fu uno dei pionieri del volo e al tempo stesso un grande innovatore nel campo dei sistemi di misura.

Quando Burattini venne al mondo, la sua era una delle famiglie più agiate della zona di Agordo. Ricchezza e prestigio erano derivati dal coinvolgimento nella produzione mineraria, molto importante in quell'area. I Burattini possedevano molti terreni nell'agordino e persino una casa a Venezia. Il testamento scritto nel 1601 dal nonno di Tito Livio aveva stabilito che il feudo di Susin si sarebbe trasmesso di padre in figlio a chi, all'interno della famiglia, si fosse chiamato Tito Livio. Per questo motivo tutti i maschi della stirpe, da quel momento in poi, furono battezzati Tito Livio.
Della giovinezza del nostro Tito Livio non sappiamo quasi nulla, se non che studiò lingue e letteratura classica, matematica, scienze, astronomia e architettura a Padova (probabilmente all'Università) e forse a Venezia.
Negli anni 1637-1641 soggiornò in Egitto, dove realizzò carte geografiche ed eseguì rilievi dei celebri monumenti antichi. Al termine della sua permanenza egiziana si trasferì in Polonia, dapprima nell'antica città di Cracovia, e poi a Varsavia, che era recentemente diventata la capitale della grande Confederazione polacco-lituana.

La confederazione polacco-lituana attorno al 1618

Non deve stupire la decisione di Burattini di trasferirsi in quel lontano lembo di Europa: in quell'epoca, e ancor di più nel corso del Cinquecento, molti europei, in particolare italiani, si erano spostati nella grande Confederazione, attirati dall'inconsueta apertura dello Stato verso gli stranieri, dalla sua tolleranza religiosa e dal grande prestigio che in quel Paese godevano artisti e scienziati, non importa se forestieri. In generale la Polonia aveva la fama di un posto ricco di opportunità per ogni intellettuale che avesse voluto tentare la fortuna all'estero. Per giunta, la Confederazione era stata, nel Cinquecento, un vero laboratorio innovativo dal punto di vista, diciamo così, di forma dello Stato: era infatti una monarchia ereditaria, in quanto il re di Polonia, che era automaticamente anche granduca di Lituania, non riceveva la carica per via ereditaria, ma veniva eletto, per giunta da una cerchia di nobili molto estesa (quasi un milione di persone).
Purtroppo, le conquiste culturali cinquecentesche non si consolidarono, e nel corso del secolo successivo, forse a causa dell'ottusità della classe aristocratica, lo Stato entro in una fase di decadenza. Quando Burattini vi arrivò, la crisi era già molto seria, aggravata dai problemi finanziari causati dalle guerre contro la Svezia, la Russia e la Turchia.
Eccettuati alcuni viaggi fuori confine, Burattini rimase in Polonia fino alla morte. Durante questo lungo periodo, l'agordino entrò nelle simpatie di alcuni alti esponenti della corte reale e si occupò di numerose discipline in parallelo, tra le quali possiamo citare le tre seguenti.

1. Fisica. Fu un appassionato studioso degli scritti di Galileo, e il suo interesse crebbe nel 1644, quando monsignor Stanislao Pudlowski, già allievo di Galileo divenuto buon amico di Burattini, nonché rettore dell'università Jagellonica di Cracovia, gli donò una copia del trattato intitolato La bilancetta. Qui il grande pisano descriveva il metodo della bilancia idrostatica per misurare differenze di volumi tra oggetti sfruttando il principio di Archimede.
Ispirato da questo libro, Burattini scrisse una delle sue opere più celebri, La bilancia sincera, in cui analizzò il metodo proposto da Galileo. Poco dopo la stesura del suo trattato, l'agordino viene derubato dai predoni durante un viaggio in Ungheria, ma lui riscrisse il libro, aggiungendo alcune critiche al lavoro dello scienziato toscano: consapevole di avere a che fare con un gigante della scienza (nonostante fossero passati solo tre anni dalla morte di Galileo), Burattini pregò il lettore di non ritenere la sua critica troppo inappropriata e arrogante. D'altra parte, non vi erano innovazioni sostanziali dal punto di vista dell’esperimento fisico, ma soprattutto perfezionamenti ingegneristici (Burattini aveva doti eccezionali di ideatore e costruttore di strumenti di precisione).

Immagine tratta dal progetto del Dragone volante

2. Ingegneria. Intorno al 1647 apprese che un inventore francese stava realizzando una macchina in grado di volare (probabilmente si trattava di una "fake news": anche a quei tempi esistevano). Per non essere da meno, si mise al lavoro e, forte della sua competenza in fisica, progettò una macchina  denominata Dragone volante, capace, così egli sostenne, di viaggiare da Varsavia a Costantinopoli in sole dodici ore. Presentò al re di Polonia Vladislao IV il progetto, suscitando immediato scalpore ed enorme popolarità, addirittura a livello internazionale. Il successo del Dragone fu all'origine della rapida ascesa politica di Burattini presso la corte reale: nel giro di poco tempo, diventò concessionario a vita di miniere, gli furono affidate importanti missioni diplomatiche, ottenne titoli nobiliari, diventò infine gestore della Zecca reale.
Curiosamente, tuttavia, non riuscì mai a costruire la macchina progettata per mancanza di finanziamenti. Al di là di questo, il progetto sarebbe comunque fallito perché le conoscenze scientifiche e tecnologiche dell’epoca non consentivano ancora la costruzione di una macchina volante. Nel suo trattato, però, Burattini mostrò delle intuizioni geniali, tra cui l’accenno all'utilizzo di gas più leggeri dell’aria, che, nel corso del secolo successivo, avrebbero consentito finalmente il volo umano (grazie ai palloni aerostatici).
Il Dragone è una delle opere più suggestive di Burattini, grazie alla quale l'agordino viene ricordato come uno dei pionieri del volo e un precursore della moderna aviazione. Secondo alcuni fornì alcuni spunti alla vivace fantasia dello scrittore francese Cyrano de Bergerac, contemporaneo di Burattini e anche lui ideatore, seppure solo in senso letterario, di stravaganti macchine volanti (il nome di Cyrano de Bergerac è stato reso celebre dalla commedia di Edmond Rostand del 1897).

La prima pagina del trattato
di Burattini del 1675

3. Sistemi di misura. Burattini ideò un sistema universale di misura, e lo descrisse nella sua opera La misura universale del 1675. In quell'epoca la mancanza di un sistema metrico universale, che facesse finalmente ordine nel caos di unità di lunghezza, peso e tempo in uso, era un problema molto sentito tra i fisici: molti di loro se ne erano già occupati o se ne stavano occupando. Burattini era piuttosto isolato dalla comunità scientifica, ma riuscì a definire un sistema universale basato su unità di misura immutabili nel tempo e "naturali", ovvero non legate a campioni artificiali, e perciò riproducibili.
La sua idea fu quella di impiegare il secondo come unità di tempo, e di adottare un pendolo "che batte il secondo" (ovvero che compie un'oscillazione completa in 2 secondi) come strumento per definire l'unità di lunghezza. Una possibile alternativa sarebbe stata basare il sistema sulle dimensioni della Terra, ma Burattini non si fidava delle misurazioni terrestri disponibili allora, per cui optò per il pendolo.
Per costruire un siffatto pendolo serve che il filo abbia una lunghezza specifica, che Burattini chiamò "Metro Cattolico" ("cattolico" nel senso di universale). Il Metro Cattolico di Burattini corrisponde a 993 millimetri moderni. A partire dall'unità di lunghezza, Burattini derivò poi quelle di volume e di peso.
In realtà, Burattini commise alcuni errori: la legge del pendolo semplice, sulla quale si basò per collegare l'unità di tempo all'unità di lunghezza, non vale sempre come lui erroneamente pensava, ma solo per piccoli angoli (questo era già noto, ma Burattini non lo sapeva); inoltre la legge stessa contiene un parametro, l'accelerazione di gravità, che varia a seconda del luogo della Terra in cui ci si trova (e anche questo Burattini non lo sapeva).
La proposta di Burattini di adottare il pendolo che batte il secondo non era affatto nuova: ci aveva pensato ad esempio Christiaan Huygens pochi anni prima. Il lavoro di Burattini, tuttavia, resta geniale e innovativo, tanto più se si considera appunto la lontananza di Burattini dai centri di ricerca importanti dell'epoca, perché egli fu il primo:
a) a proporre il termine «metro»
b) a creare un sistema coerente di multipli e sottomultipli
c) a dedicare un libro intero al problema della misura.
Nonostante la sua genialità, il Metro Cattolico di Burattini non ebbe fortuna, cioè purtroppo non venne adottato da nessuno. Si dovette aspettare il 1791, quando, in piena Rivoluzione Francese, venne definito e adottato per la prima volta un "metro" (riprendendo la parola ideata da Burattini): la sua definizione però si basava sulle dimensioni della Terra e non sul pendolo. Successivamente la definizione di metro venne più volte rivista (nel 1899, nel 1967 e nel 1983), perché si capì che le misurazioni terrestre utilizzate erano troppo incerte. Oggi, nonostante sia usato un metro diverso da quello di Burattini, abbiamo comunque un'unità con lo stesso nome di quella ideata dall'agordino, basata sull'unità di tempo come aveva intuito lui, e quasi uguale al Metro Cattolico (soltanto 7 mm di differenza)!

Burattini non fu solo fisico e ingegnere, ma anche architetto regio, matematico (in particolare studioso di geometria), ottico, astronomo, e molte altre cose.
Comunque, come probabilmente si è già intuito, non vorrei parlare di lui come fisico o architetto, ma come costruttore di calcolatrici e pioniere del calcolo meccanico. Come accennavo, il contributo di Tito Livio Burattini in questo settore è stato fondamentale nella storia di questi meccanismi, al punto che il nome dello scienziato agordino merita di essere scritto, a pieno titolo, accanto a quelli di Wilhelm Schickard, Blaise Pascal, Gottfried Wilhelm Von Leibniz nella storia delle prime calcolatrici meccaniche.
Eppure pochissime persone, anche tra chi si occupa di informatica, hanno mai sentito nominare il nome di Burattini, e un numero ancora più esiguo conosce il suo ruolo determinante tra i pionieri del calcolo meccanico.
A tale scopo, mi piace ricordare un piccolo aneddoto che ho raccontato anche al convegno di Agordo di cui parlavo all'inizio del post. Era il mio primo anno di ingegneria informatica a Padova, e la prima lezione del corso di Fondamenti di Informatica I. Il professore iniziò a delineare una breve storia dell’informatica, partendo appunto dai primi tentativi seicenteschi di costruire calcolatrici meccaniche capaci di eseguire semplici operazioni aritmetiche. Ebbene, il docente citò la celebre Pascalina, l’altrettanto famosa macchina di Leibniz, ma tacque completamente del congegno di Schickard, e ovviamente della macchina costruita dal nostro Burattini. Io stesso, per molti anni ancora, non seppi dell’esistenza del grande agordino. Solo a parziale scusante di questa ignoranza, potrei forse accampare il fatto che non sono bellunese di origine, ma veronese.
Solo una dozzina di anni fa, dopo aver conosciuto mia moglie, bellunese, entrai a contatto con le glorie del territorio dolomitico, e scoprii, con sorpresa ed entusiasmo, la figura maestosa e sottovalutata di Tito Livio Burattini.

La storia della calcolatrice di Burattini è molto affascinante ed è resa ancora più intrigante dalla presenza di un mistero, ancora non completamente risolto. Ve ne parlerò in dettaglio nella seconda parte di questo post.

L'immagine matematica del giovedì (#5)

Carnevale della matematica
(trovato in un'aula di una scuola primaria 
durante un laboratorio)

La citazione matematica del sabato (#4)

Non solo la matematica è reale, ma è anche l'unica realtà.

Martin Gardner

L'immagine matematica del giovedì (#4)

Identità

La citazione matematica del sabato (#3)

In matematica l'arte di porre un problema deve essere considerata di maggior valore rispetto a quella di risolvere un problema.

Georg Cantor

L'immagine matematica del giovedì (#3)

Un quadrato greco-latino di ordine 10 
(In ogni colonna e in ogni riga i colori dei quadrati esterni e i colori dei quadrati interni compaiono una sola volta. Inoltre nessuna combinazione dei due colori compare più di una volta)

Gli enigmi di Coelum: Celesti geometrie

Con questo post si conclude la rubrica "Gli enigmi di Coelum": ho infatti riproposto in questo blog, per gentile concessione dell'editore, tutti i miei articoli pubblicati tra 2013 e 2015 sul sito di Coelum Astronomia come approfondimento degli enigmi proposti sulla rivista cartacea.
L'ultimo enigma che vi presenta riguarda la teoria di Ramsey, ed è stato pubblicato sul numero 188 di Coelum.

La teoria di Ramsey
Se fin dai tempi più remoti l’uomo ha creduto di scorgere nel cielo forme familiari, profili di personaggi mitologici, sagome di animali esistenti sulla Terra o fantastici, lo dobbiamo forse a una teoria matematica sviluppata nel 1928 da un venticinquenne inglese: Frank Plumpton Ramsey.
Nell’articolo del numero 188 ho accennato alla vicenda di questo genio della matematica, che fu anche un brillante logico e un illustre economista. Ramsey nacque e crebbe a Cambridge, dove suo padre, insegnante di matematica, era preside del prestigioso Magdalene College.
Dopo il diploma, conseguito nel 1925, Ramsey si unì al gruppo di ricerca coordinato dal celebre economista John Maynard Keynes, e scrisse un paio di articoli di economia matematica tuttora molto citati.

Nel giro di pochi anni si occupò anche di logica, di filosofia, di statistica e teoria della probabilità, di psicologia cognitivista e semantica. Chi lo conosceva lo descriveva come un pensatore cristallino, sempre in grado di costruire ragionamenti perfettamente coerenti e di evitare trappole logiche.

Frank Plumpton Ramsey
(1903 – 1930)

Nel 1930 dovette sottoporsi a una operazione chirurgica addominale, e purtroppo, per le complicazioni sopraggiunte dopo l’intervento, morì tragicamente prima del suo ventisettesimo compleanno.
La teoria che Ramsey sviluppò nel 1928 afferma che in qualsiasi struttura abbastanza ricca di elementi, non importa se si tratta di un insieme di stelle, o di un gruppo di persone, o di una sequenza di numeri, è inevitabile osservare delle configurazioni regolari. In altre parole, anche dove il caos sembra regnare, esiste sempre un po’ di ordine.
Ma quanto ricca deve essere la struttura considerata, per far emergere l’ordine dentro di sé? Questa è la difficile domanda connessa alla teoria di Ramsey. La risposta dipende ovviamente dal tipo di problema ramseyano che viene studiato.

Nell’articolo su Coelum descrivevo il famoso esempio della festa: quanti devono essere gli invitati a un ricevimento per essere certi che tre di loro si conoscano l’un l’altro oppure che tre di loro non si conoscano a vicenda?
Per risolvere il rompicapo, si potrebbe pensare di considerare tutte le possibili combinazioni e verificare se in ognuna c’è un terzetto di reciproci conoscenti o un terzetto di totali estranei. Ma quante sono le possibili combinazioni? Per una festa con 6 invitati, vi sono 15 relazioni interpersonali da prendere in esame: infatti per ognuna delle 6 persone ci sono 5 altre persone con cui avere a che fare, ma per evitare di considerare ogni legame due volte, dobbiamo dividere per 2: quindi (6 × 5) / 2 = 15). Dato che ognuna di queste 15 relazioni può essere di conoscenza o di estraneità, le possibili combinazioni sono 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, ovvero, scritto in modo più compatto come amano fare i matematici, 215, che è uguale a 32.768.

Non appena si considerano feste più affollate, questo algoritmo di “forza bruta” diventa decisamente poco efficiente. In realtà esiste un approccio molto più semplice per risolvere il problem. Immaginiamo che i 6 invitati si chiamino Antonella, Bruno, Cinzia, Davide, Elena e Fausto. Supponiamo che Antonella conosca almeno tre delle altre persone: ad esempio Bruno, Cinzia e Davide. Ora, se Bruno e Cinzia, oppure Bruno e Davide, oppure Cinzia e Davide si conoscono tra di loro, allora Antonella e la coppia di conoscenti sono un terzetto di reciproci conoscenti; altrimenti Bruno, Cinzia e Davide sono un terzetto di totali estranei.
Supponiamo invece che Antonella conosca non più di due fra le altre persone: ad esempio Bruno e Cinzia. Se Davide ed Elena, oppure Davide e Fausto, o Elena e Fausto non si conoscono tra di loro, ecco che Antonella e la coppia di estranei sono tre persone che non si conoscono tra loro; altrimenti Davide, Elena e Fausto sono un trio di conoscenti. Abbiamo facilmente dimostrato che in un gruppo di sei persone devono esserci per forza tre conoscenti o tre estranei!
Se la festa avesse soli 5 invitati, invece, questa certezza non esisterebbe: in questo caso, infatti, potreste facilmente trovare una “configurazione” di conoscenze in cui non esiste alcun terzetto di reciproci conoscenti o di totali estranei.
Diversi problemi di Ramsey ammettono soluzioni diverse. Tuttavia vale sempre il concetto fondamentale: esiste una soglia di complessità del sistema considerato sopra la quale esistono sicuramente strutture ordinate di un certo tipo.

Una festa con 17 invitati
(da "Le scienze" n. 265, settembre 1990)

Se, anziché ricercare terzetti di conoscenti o di estranei, fossimo interessati ai quartetti, avremmo bisogno di 18 invitati. La figura seguente mostra un esempio di festa con 17 persone, in cui non esistono quartetti di reciproci conoscenti o di totali estranei: gli invitati sono rappresentati dai pallini bianchi, le relazioni di conoscenza e di estraneità rispettivamente dalle linee rosse e dalle linee blu.
Il problema analogo relativo a quintetti e sestetti, invece, è tuttora irrisolto.
Negli anni Sessanta del secolo scorso, due ricercatori americani, Alfred Hales e Robert Jewett, provarono ad applicare la teoria di Ramsey al gioco del tris, e dimostrarono che versioni abbastanza “ricche” del gioco portano sempre alla vittoria di uno dei due giocatori, rendendo impossibili le “patte”.

Che cosa s’intende per versioni ricche? Il tris classico si gioca su una scacchiera bidimensionale 3 × 3, ma nessuno ci vieta di immaginare versioni tridimensionali, o in generale a N dimensioni (con N ≥ 2), e possiamo anche pensare a scacchiere di dimensioni via via crescenti.
Per esempio, Hales e Jewett trovarono che, in un tris giocato su un cubo tridimensionale 3 × 3 × 3, comunque vengano collocati i cerchietti e le croci, la partita finirà sicuramente con tre cerchi in fila o con tre croci in fila.

L’enigma
I lettori di Coelum che si sono cimentati nella risoluzione dell‘enigma di gennaio hanno dovuto rompersi un po’ la testa sulle “triplette” nascoste all’interno di successioni di numeri interi. Una tripletta contenuta in una successione è una sequenza di tre numeri della successione posti in progressione aritmetica. Per esempio, nella successione 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, sono triplette valide (1, 5, 9), oppure (2, 3, 4), oppure (4, 6, 8), e così via.

Il quesito era il seguente.

Prendiamo i numeri interi compresi tra 1 ed N, e coloriamo ciascuno di essi di rosso o di blu, a nostro piacere. Quanto deve essere grande N perché, comunque scegliamo la colorazione dei numeri, vi siano sicuramente delle triplette dello stesso colore?

Nell’articolo, facevo notare che N = 7 è un valore ancora troppo basso: un controesempio è dato dalla successione 1 2 3 4 5 6 7, in cui non esistono triplette monocromatiche. È sufficiente prendere N = 8 per far comparire inevitabilmente le triplette monocolore? Oppure occorre salire a N = 9? Oppure ancora più in alto? O forse, per quanto si aumenti il valore di N, si può sempre evitare l’insorgenza di triplette dello stesso colore? (quest’ultima possibilità, come potete notare, sarebbe contraria alla teoria di Ramsey…)
Il problema delle triplette monocromatiche fu sollevato nel 1926 da un matematico olandese, Bartel Leendert van der Waerden, il quale si accorse che, non appena N diventava abbastanza grande, le triplette monocromatiche saltavano fuori sempre. Lo studioso trovò che il fenomeno si applicava anche al caso di sequenze più grandi delle triplette: in generale gruppi di M numeri separati tra di loro per progressione aritmetica.

Bartel Leendert van der Waerden
(1903 – 1996)

Per dimostrare rigorosamente il teorema, van der Waerden chiese l’aiuto dei colleghi Emil Artin e Otto Schreier. Lo stesso van der Waerden, qualche anno dopo, scrisse:

Andammo nell’ufficio di Artin, al Dipartimento di matematica dell’Università di Amburgo, e cercammo di trovare una dimostrazione. Tracciammo qualche diagramma sulla lavagna. Avevamo quelle che in tedesco si chiamano Einfiille: idee improvvise che vengono fulminee alla mente. Più volte queste nuove idee impressero una svolta alla discussione e alla fine una di esse portò alla soluzione.

Alla fine van der Waerden escogitò una tecnica di dimostrazione basata su una forma particolare di induzione. Il risultato è, evidentemente, un’ulteriore applicazione della teoria di Ramsey, e non a caso viene spesso ricordato come teorema di Ramsey per le progressioni aritmetiche. In molti casi viene però menzionato come teorema di van der Waerden.
Secondo il teorema di van der Waerden, quindi, l’enigma di gennaio ha senso. Ma rimane il problema: quanto deve essere lunga la successione di interi affinché, colorandola arbitrariamente, le triplette monocolore compaiano con certezza?

La soluzione 
La risposta al quesito posto era N = 9. Attraverso quale ragionamento si poteva arrivare alla risposta corretta? Evidentemente occorreva trovare un valore di N -1 per il quale esisteva una colorazione che non generava triplette monocromatiche, e mostrare che, invece, già per N, diventava inevitabile la comparsa di tali famigerate strutture.
Ebbene, coloriamo come segue la successione dei primi N – 1 = 8 interi:

1 2 3 4 5 6 7 8

Come potete vedere, non ci sono triplette né rosse né blu.

Con N = 9, invece, indipendentemente dallo schema di colorazione adottato, ci possiamo trovare in due casi:

• il 4 e il 6 hanno lo stesso colore

oppure

• il 4 e il 6 sono di colore diverso.

Analizziamo il primo caso, e supponiamo che il 4 e il 6 siano colorati di blu:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Per evitare la tripletta (4, 5, 6), il 5 deve essere colorato di rosso:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ora, per evitare le triplette (2, 4, 6) e (4, 6, 8), dobbiamo colorare di rosso anche il 2 e l’8:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Notate qualcosa di strano? Eh già, è comparsa la tripletta (2, 5, 8). Cercando di evitare le triplette blu, si è creata una tripletta rossa!

Consideriamo ora il secondo caso, in cui il 4 e il 6 sono di colore diverso: per esempio il 4 è rosso e il 6 è blu:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Possiamo allora colorare il 5 di rosso o di blu senza che si crei una tripletta. Decidiamo di colorarlo di rosso:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A questo punto, siamo costretti a colorare di seguito:

• il 3 di blu, per evitare la tripletta (3, 4, 5)
• il 9 di rosso, per evitare la tripletta (3, 6, 9)
• il 7 di blu, per evitare la tripletta (5, 7, 9)
• l’8 di rosso, per evitare la tripletta (6, 7, 8)
• il 2 di blu, per evitare la tripletta (2, 5, 8)
• l’1 di rosso, per evitare la tripletta (1, 2, 3)

La successione finale è quindi la seguente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ma attenzione! C’è anche qui una tripletta monocromatica: (1, 5, 9)!
Abbiamo quindi dimostrato che, comunque si colori la successione iniziale, le triplette ci sono per forza!

La citazione matematica del sabato (#2)

Dico loro che se si occuperanno dello studio della matematica troveranno in essa il miglior rimedio contro la concupiscenza della carne.

Thomas Mann, "La montagna incantata"

L'immagine matematica del giovedì (#2)

Un bell'esemplare di "icosaedro troncato" (altrimenti noto come "pallone Telstar" o "backminsterfullerene"), ritrovato all'interno di un parco giochi per bambini.

Gli enigmi di Coelum: Questo titolo ha 25 caratteri

Autosimilarità
Nel numero 187 di Coelum ho parlato di autosimilarità, o, se preferite, di autosomiglianza: il fenomeno che si verifica quando un oggetto è simile a una sua parte. Prendete la copertina di Ummagumma, celebre doppio album dei Pink Floyd uscito nel 1969: in primo piano si vede il chitarrista David Gilmour, seduto, mentre gli altri tre componenti del gruppo sono dietro di lui, ognuno in un punto specifico. Appesa al muro si nota una fotografia incorniciata, che riproduce in versione rimpicciolita la scena complessiva, con i quattro musicisti negli stessi posti, ma “ruotati” di una posizione rispetto al primo livello.

Anche nell’immagine appesa si osserva una fotografia, che di nuovo ripropone la solita scena globale, qui ancora più piccola e con l’unica differenza della ulteriore rotazione delle posizioni delle persone. E così via, fino ad arrivare al quarto livello nella prima edizione del disco, o addirittura virtualmente all’infinito nelle edizioni più recenti.

Quando vidi per la prima volta questa copertina, ne rimasi talmente affascinato che, qualche anno dopo, scrissi sull’argomento un articolo: questo post ha rappresentato l’embrione del mio e-book La matematica dei Pink Floyd, pubblicato nel gennaio 2014 dalla casa editrice 40K.


La copertina di Ummagumma è un ottimo esempio di immagine autosimile, ma non è certo l’unico.
Un’altra famosa raffigurazione autosimile è quella della confezione di primo Novecento del cacao Droste, in cui una donna regge un mano un vassoio sul quale si trova una confezione identica, e così via all’infinito. Il caso del cacao olandese ha fornito anche un nome alternativo al fenomeno dell’autosimilarità: “effetto Droste”.

Esempi, per così dire, più matematici, sono offerti dagli oggetti dalla geometria frattale. Le linee costiere sono autosimili perché mostrano strutture molto simili se osservate a diverse scale d’ingrandimento: come dire che le curve dei litorali che troviamo su una carta geografica dell’Europa assomigliano molto alla linea di separazione tra l’acqua e la terraferma che possiamo osservare passeggiando d’estate sul bagnasciuga. Gli oggetti che presentano questa caratteristica si dicono frattali: in natura si trovano molti esempi, tra cui le nuvole, gli alberi, il profilo delle montagne, i cristalli di ghiaccio, certe foglie e fiori, alcuni ortaggi, come il broccolo romanesco. La geometria frattale ha rappresentato la frontiera più affascinante della geometria del Novecento, e uno dei suoi pionieri più importanti è stato il matematico polacco Benoit Mandelbrot.

Anche nell’arte figurativa si possono trovare esempi di opere autosimili: nel polittico Stefaneschi di Giotto, infatti, si osserva (nella figura qui a destra) il committente dell’opera che regge in mano un modellino del polittico stesso.

Ricorsione
La ricorsione, o ricorsività, è un po’ la formulazione matematica e informatica del fenomeno dell’autosimilarità. Nell’articolo di Moebius ho citato il fattoriale come esempio di funzione ricorsiva. Nell’informatica teorica la teoria delle funzioni ricorsive rappresenta un ambito di studio di grande importanza, anche perché si dimostra che le funzioni che in un qualche senso intuitivo possono essere considerate “calcolabili” lo sono sulla base di procedimenti ricorsivi.

D’altra parte le procedure ricorsive non sono bizzarrie da accademici dell’informatica teorica, ma algoritmi presenti in moltissimi programmi di utilizzo comune: per esempio, quando sul vostro smartphone scorrete la rubrica dei vostri contatti, dietro le quinte ha agito molto probabilmente un algoritmo ricorsivo che ha ordinato alfabeticamente la lista di nomi.

Nell’articolo di Moebius citavo la canzone Abate cruento di Elio e le Storie Tese, che parla di un “sogno strutturato a matrioska”.

Questa notte ho fatto un sogno strutturato a matrioska:
io sognavo di sognare che un abate un po’ cruento
dopo avermi esaminato mi ordinava di svegliarmi.
Io ubbidiente gli ubbidivo, cioè sognavo di svegliarmi
e me lo ritrovavo accanto con quel fare suo cruento,
lui che mi riesaminava, io che gli chiedevo affranto:
“Dimmi, abate, perché insisti nell’esaminarmi attento?
Ho commesso forse un atto che fu inviso all’abbazia?”
Egli, colto alla sprovvista, non sapendo fare meglio,
mi ordinò seduta stante di procedere a un risveglio.

Non deve stupire che Stefano Belisari, in arte Elio, si serva della ricorsione come materiale per il testo di un brano pop: l’autore della canzone è infatti laureato in ingegneria elettronica, e sicuramente gli algoritmi ricorsivi devono avere occupato a lungo i pensieri di Elio durante i suoi studi. La procedura “sogno” viene qui invocata due volte: la prima volta dal “programma” principale, e la seconda dalla procedura stessa, in modo ricorsivo. In entrambi i casi l’esecuzione della procedura viene interrotta dall’intervento dell’abate cruento, che ordina al sognatore di risvegliarsi. Alla seconda uscita il protagonista viene quindi riportato allo stato normale di veglia.


Autoreferenza

Quando l’autosimilarità riguarda frasi anziché oggetti, ecco che facciamo meglio a parlare di autoreferenza, o autoreferenzialità. Una frase autoreferente è una frase che parla di se stessa.
I filosofi parlano di autoreferenza per indicare il processo attraverso il quale l’individuo diventa in grado di riferirsi a se stesso usando il pronome io.

L’uroboro, il drago immaginario illustrato in figura qui a sinistra, è un simbolo dell’autoreferenza perché è sempre raffigurato mentre morde la propria coda. Qualcosa di simile alle Mani che disegnano del grafico olandese Maurits Cornelis Escher, celebre per le sue geometrie impossibili e per i suoi disegni vertiginosi (immagine in basso a destra).


Il bellissimo romanzo Se una notte d’inverno un viaggiatore di Italo Calvino ha un geniale incipit autoreferenziale, in cui il libro cita se stesso:

Stai per cominciare a leggere il nuovo romanzo “Se una notte d’inverno un viaggiatore” di Italo Calvino. Rilassati. Raccogliti. Allontana da te ogni altro pensiero. Lascia che il mondo che ti circonda sfumi nell’indistinto…

Anche le Mille e una notte, l’Amleto di Shakespeare, il Don Chisciotte della Mancia di Miguel de Cervantes, i Sei personaggi in cerca d’autore di Pirandello, nascondono in sé elementi di autoreferenzialità.


Occorre fare molta attenzione quando si maneggiano frasi autoreferenziali, perché si rischia facilmente di cadere nel paradosso. Per esempio, una frase autoreferente come:

Questa frase è falsa

implica che la frase afferma appunto il falso, e quindi è vera: ma se è vera dobbiamo credere al suo assunto iniziale, e cioè al fatto che sia falsa, e così via. Continuiamo a oscillare tra la verità e la falsità della frase, senza poter decidere tra una e l’altra.
Questo famoso paradosso è noto come paradosso del mentitore. Il filosofo francese Jean Buridan, italianizzato in Giovanni Buridano, formulò una versione alternativa di questo paradosso, spezzando la frase in due affermazioni:

Socrate dice “Platone dice il falso”

Platone dice “Socrate dice il vero”

Se ipotizziamo che Socrate sia sincero, allora dobbiamo concludere che Platone mente; ma allora dobbiamo credere che Socrate non dice il vero. Questo è in contrasto con la nostra ipotesi iniziale: e di nuovo cadiamo in una catena infinito di contraddizioni.

Un’altra versione del paradosso del mentitore è rappresentato dalla frase

Tutti i cretesi sono bugiardi

che di per sé non è paradossale, ma lo diventa immediatamente se pronunciata da un cretese!

L’enigma del numero 187 proponeva una frase autoreferenziale incompleta, e richiedeva di riempirne i buchi con cifre numeriche singole, mantenendo la coerenza logica della frase:

In questa frase, la cifra 0 è presente _ volta/e, la cifra 1 è presente _ volta/e, la cifra 2 è presente _ volta/e, la cifra 3 è presente _ volta/e, la cifra 4 è presente _ volta/e, la cifra 5 è presente _ volta/e, la cifra 6 è presente _ volta/e, la cifra 7 è presente _ volta/e, la cifra 8 è presente _ volta/e, e la cifra 9 è presente _ volta/e.

Ebbene, la soluzione prevedeva di riempire gli spazi vuoti rispettivamente con queste cifre:

1, 7, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1.

La frase diventa così la seguente:

In questa frase, la cifra 0 è presente 1 volta, la cifra 1 è presente 7 volte, la cifra 2 è presente 3 volte, la cifra 3 è presente 2 volte, la cifra 4 è presente 1 volta, la cifra 5 è presente 1 volta, la cifra 6 è presente 1 volta, la cifra 7 è presente 2 volte, la cifra 8 è presente 1 volta, e la cifra 9 è presente 1 volta.

Se controllate, la frase così sistemata è perfettamente coerente e veritiera.

La citazione matematica del sabato (#1)

Qualche anno prima, nel 1886, quando era occupato con il problema della quadratura del cerchio, era venuto a sapere dell’esistenza di un numero calcolato con relativo grado di precisione da essere di grandezza tale e di così tante cifre, ad esempio la nona potenza della nona potenza di nove, che una volta ottenuto il risultato, sarebbero stati necessari 33 volumi stampati strettamente di 1.000 pagine, ciascuna ottenuta da innumerevoli risme di carta India, per contenere il racconto completo delle sue cifre stampate di unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni, centinaia di milioni, miliardi, il nucleo della nebulosa di ogni cifra di ogni serie contenendo in breve la potenzialità dell'essere elevata all'estrema elaborazione cinetica di qualsiasi potenza di qualsiasi delle sue potenze.

James Joyce, "Ulysses" (capitolo 17, "Ithaca")

L'immagine matematica del giovedì (#1)

La Statistica la trovi ormai anche sui giornalini per bambini...

Mr. Palomar è tornato (era ora!)

Non è certo la prima volta che questo blog si concede (suo malgrado) una pausa di riflessione (si dice spesso così, e non si capisce bene su cosa si doveva riflettere e quali siano stati gli esiti della riflessione): ma una pausa lunga come quella che Mr. Palomar si è concesso di recente non si era mai vista.
Sono davvero imbarazzato, cari lettori (a proposito, c'è ancora qualcuno laggiù che mi legge?) perché i silenzi non annunciati hanno un che di scorretto, di immeritato. Perdonatemi, se potete. Potrei elencarvi una serie di giustificazioni, parlandovi del fatto che ho avuto molto da fare per altri progetti, che il mio lavoro di insegnante mi ha assorbito un sacco di tempo ed energie, che la famiglia ha giustamente reclamato il suo spazio...  ma rischierei di apparire come John Belushi nel celeberrimo film "The Blues Brothers".

Allora non dico nulla, e nemmeno prometto che non accadrà più (anche se sono convinto che non accadrà più). Però permettetemi un accenno a uno dei progetti a cui ho lavorato ultimamente e che hanno sottratto tempo a Mr. Palomar. Vista sotto quest'ultimo aspetto, potrebbe apparire come una cosa detestabile, ma se vi racconto meglio la "cosa" forse potrete apprezzarla un pochino e addirittura perdonarmi il geologico ritardo.
La "cosa" si chiama Progetto Pitecum, ed è un gruppo di persone con la passione e l'ambizione di proporre laboratori didattici, spettacoli, conferenze, corsi e altre forme utili a trasferire passione, conoscenza e cultura.

Consapevoli che non esistano sistemi chiusi quando si parla di cultura, ma soltanto interconnessioni, non amiamo gli steccati tra le aree della conoscenza, e ci occupiamo tanto di matematica e di scienza, quanto di discipline umanistiche.

Tra le molte cose belle che abbiamo realizzato noi di Pitecum ci sono due conferenze-spettacolo che ho presentato a Treviso, assieme a compagni d'eccezione, al Festival della Statistica e della Demografia "StatisticAll" nel 2016 e nel 2017.
"StatisticAll" è una manifestazione nata nel 2015 e organizzata da ISTAT, Società Italiana di Statistica e Società Statistica Corrado Gini.

Della prima avevo già parlato su queste pagine: "Un, due... re! Giocando a dadi con Mozart" è un viaggio giocoso all'interno della musica di Mozart e di altri compositori famosi, per scoprirne il lato numerico e combinatorio. Ad affiancarmi in questo spettacolo c'era il pianista Giancarlo Panizzo, che per la cronaca è anche un brillante fisico. Durante lo spettacolo io e Giancarlo giochiamo col pubblico per dimostrare come la musica di Mozart e di altri compositori contenga matematica: e forse proprio a questo debba la sua magia e la sua bellezza. Il momento più divertente dello spettacolo è, l'avrete capito dal titolo, il gioco musicale dei dadi, di cui avevo parlato in un mio vecchio post.

La seconda conferenza-spettacolo si intitola "D'accordo, si conta! Giocando con note e grandi numeri", ed è stata presentata all'edizione 2017 di "StatisticAll". In questa occasione il mio compagno di avventura non è un pianista ma un chitarrista, e precisamente Stefano Zamuner, che è anche uno dei componenti effettivi della squadra di Progetto Pitecum. Il tema centrale sono i grandi numeri, esplorato con spirito giocoso e con l'aiuto determinante della musica. Alla fine io e Stefano giochiamo con il pubblico in modo simile a quanto fatto nel 2016, ma questa volta il risultato finale non è un minuetto mozartiano, ma una canzone, generata aleatoriamente in base ai lanci di un dado, e ovviamente eseguita in diretta e in prima assoluta.
Nel seguente video c'è un assaggio dello spettacolo proposto a Treviso lo scorso ottobre.

Naturalmente queste due conferenze spettacolo sono a disposizione di chi le volesse "ospitare". Di una terza conferenza spettacolo, sempre musical-matematica, e molto particolare, parlerò a breve in un post a parte: e vi prometto, almeno questo sì, che non passeranno altri sei mesi. 

Carnevale della Matematica #113

Mamma mia!

(dalla Poesia Gaussiana del Sommo Popinga)

Benvenuti al Carnevale della Matematica numero 113, il sesto ospitato da Mr. Palomar.
Ultimamente questo blog è stato un po' latitante: possa questo appuntamento carnevalizio costituire un nuovo inizio e un motivo di rinnovata vitalità tra queste pagine.
Il tema della presente edizione è "Matematica sorprendente". Ma, si sa, da sempre il tema è rigorosamente facoltativo, e giustamente molti dei contributi hanno preferito non seguirlo.

Com'è diventata ormai un'usanza, ho aperto con il verso della Poesia Gaussiana corrispondente al numero 113. Essendo tale numero primo, ho l'onore di utilizzare questa espressione per la prima volta nella storia dei Carnevali. Non solo: mi pare che l'esclamazione "Mamma mia!" ben si adatti al tema scelto, che parla di sorpresa.
Flavio Ubaldini, in arte Dioniso Dionisi, mi ha inviato la cellula melodica, e mi ha segnalato che, grazie all'idea di Zar, adesso possiamo estendere la cellula anche ai numeri primi un po' più grandi, come 113 appunto.

Se alla cellula melodica "ufficiale" volete affiancare qualcosa di più "pop", eccovi accontentati.
Difficilmente possiamo leggere l'esclamazione "Mamma mia!" senza pensare al celeberrimo brano degli ABBA, uscito nell'aprile 1975 all'interno dell'album "ABBA", e come singolo nel novembre dello stesso anno.



Curiosamente, nello stesso anno, precisamente il 31 ottobre, uscì il singolo dei Queen "Bohemian Rhapsody", nel cui passaggio centrale ispirato all'opera, spiccano i celebri versi "Mamma mia, mamma mia, mamma mia let me go!"


E veniamo ad alcune delle principali proprietà matematiche del numero 113.
Si tratta, come già sottolineato, di un numero primo, il trentesimo per la precisione. Ma i matematici lo definiscono anche numero "omirp", perché le sue cifre, scritte al contrario, formano un altro numero primo (311).
È anche un numero difettivo, in quanto maggiore della somma dei suoi divisori propri.
Fa parte delle terne pitagoriche (15, 112, 113) e (113, 6384, 6385).
È pure un numero malvagio (il significato di questa proprietà è stato chiarito in un mio vecchio post, nonché nella precedente edizione del Carnevale).

Tralasciando molte altre proprietà matematiche di questo numero, aggiungo che ovviamente in Italia esso corrisponde al numero telefonico della Polizia di Stato, ma soprattutto è la targa dell'automobile di Topolino.

A questo punto possiamo partire con i contributi.
Ad aprire le danze è Dioniso Dionisi, alias Flavio Ubaldini, che dal suo blog Pitagora e dintorni segnala un post in due parti: Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema Ippaso: prima parte e Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema Ippaso: seconda parte
Il post, ricorda Flavio, nasce dal fatto che un paio di lettori non matematici del suo libro "Il mistero del suono senza numero" gli hanno chiesto delucidazioni sul Taglio di Dedekind, ragion per cui il buon Dioniso ha deciso di scrivere una spiegazione, cercando di renderla il più discorsiva e il meno tecnica possibile.
Ubaldini segnala anche un altro suo articoletto, intitolato Un regalo pitagorico-coltraniano.

Annalisa Santi, autrice del blog Matetango, mi segnala Hailstone.....dagli abissi ai numeri.
Mi scrive Annalisa:
Dato che "Matematica sorprendente" è il tema del Carnevale della Matematica del mese di novembre, ho quindi cercato qualcosa che "sorprendesse"!
Curiosamente legate alla parola "hailstone" (grandine), sorprendenti mi sono d'apprima sembrate le immagini della Truck Lagoon creatasi dopo un attacco statunitense, "Operation Hailstone", a una base giapponese e di cui assolutamente ignoravo l'esistenza (si è sempre parlato quasi esclusivamente dell'attacco di Pearl Harbor!) e quindi la "hailstone sequence" (l'indimostrata a tutt'oggi congettura di Collatz), nonché, in conclusione del mio post, il recentissimo tentativo di due matematici italiani di dimostrarla.

Leonardo Petrillo, dal suo blog Scienza e musica, contribuisce con Di elementi e ponti degli asini, un post che introduce la storia della geometria, focalizzandosi sulla struttura dei fondamentali Elementi di Euclide, per poi concludere con l'analisi di ciò che viene spesso chiamato "pons asinorum".
Afferma Leonardo:
La relazione con la tematica portante del Carnevale ("Matematica sorprendente") potrebbe in un certo senso starci considerando la sorpresa nello scoprire, innanzitutto, gli interessanti progressi storici che hanno portato alla maestosa opera di Euclide e, soprattutto, nel collegamento di un termine così particolare come "ponte degli asini" con l'opera geometrica per eccellenza.

I sempre generosi Rudi Mathematici mi inviano una bella manciata di contributi provenienti dall'illustre blog de Le Scienze:

- Il Quick& Dirty fisico con le bollicine che risalgono, che fa ancora divertire tutti;

- Un bel PM del Capo, dal titolo Lunghe passeggiate, che riprende i sei gradi di separazione;

- Il compleanno di Felix Hausdorff, preferito e richiesto da Popinga, con riferimenti dalla chimica alla poesia;

- La soluzione del problema del mese.

E sempre i magnifici Rudi segnalano quello che loro definiscono il loro "miracolo mensile", ovvero l'uscita dell'edizione 226 della loro gloriosa rivista, che non è ancora uscita, ma non si sa mai, e che quando uscirà starà qui.

Non può esserci Carnevale senza i contributi di MaddMaths! Eccoli qui di seguito, generosissimi come sempre, partendo da quelli "sorprendenti" (a giudizio di Roberto Natalini).

COMICS&SCIENCE - THE ARCHIMEDES ISSUE

Il 1 Novembre nell'ambito di Lucca Comics&Science, è stato presentato il nuovo albo Comics&Science, edito da CNR Edizioni e curato come sempre da Roberto Natalini e Andrea Plazzi. Che differenza c’è tra un papiro e una pergamena? Che cos’è un palinsesto? In quale modo nell’antichità si conservavano i testi scritti? Sono domande importanti per la trasmissione della scienza e del sapere, sullo sfondo dello straordinario Archimede 2.0 di Giuseppe Palumbo. La storia appassionante e vera fino all’ultimo dettaglio di come le scoperte del genio di Siracusa sono arrivate sino a noi. E Comics&Science non è solo fumetti. C’è infatti anche un ricco apparato di commenti. Roberto Natalini e Andrea Plazzi ci introducono alla storia del palinsesto perduto di Archimede. Ciro Ciliberto, Presidente dell'Unione Matematica Italiana, intervista Giuseppe Palumbo. Andrea Ercolani, filologo classico del CNR, ci guida nella storia di come certi testi sono giunti a noi, e Vito Mocella, fisico del CNR, su come siamo capaci oggi, con l'uso del sincrotrone, a leggere manoscritti antichissimi, nel suo caso dei papiri di Ercolano, altrimenti perduti. Un albo da non perdere.

FAR NUOVA LUCE SU VECCHI PROBLEMI – INTERVISTA CON LAURE SAINT-RAYMOND

Laure Saint-Raymond è una matematica francese che lavora sulle equazioni a derivate parziali, la meccanica dei fluidi e la meccanica statistica. È professoressa presso l'École Normale Supérieure de Lyon. Nel 2008 le è stato assegnato il premio EMS e nel 2013, quando aveva solo 38 anni, è diventata il più giovane membro dell'Academie des Science. Vi riproponiamo la traduzione italiana dell’intervista fatta da Roberto Natalini per la Newsletter della European Mathematical Society.

DIMENSIONE 4: SPIEGAZIONE DEL TEMPO, DISPIEGAZIONE DELLO SPAZIO

Sandra Lucente continua ad esplorare le dimensioni dello spazio, e adesso è arrivata alla quarta. Dove finirà il suo viaggio?

MATEMATICA A FUMETTI: PAPERINO E I PONTI DI QUACKENBERG

Arriva la matematica su Topolino Comic&Science Nel 2016 si avvia un progetto di divulgazione scientifica su Topolino curato dagli sceneggiatori Disney Francesco Artibani e Fausto Vitaliano in collaborazione con vari scienziati italiani. Il primo novembre è apparsa una storia a sfondo matematico, al cui soggetto ha collaborato il matematica Alberto Saracco.

LA VISIONE DI GALOIS (RECENSIONE DEL DOCUMENTARIO: “GALOIS, STORIA DI UN MATEMATICO RIVOLUZIONARIO”)

Il film documentario “Galois. Storia di un matematico rivoluzionario”, ideato e scritto da Giuseppe Mussardo con la regia di Diego Cenetiempo, è stato proiettato in anteprima esclusiva italiana venerdì 27 ottobre 2017 presso il cinema Ariston di Trieste. Ce ne parla Elena Rinaldi.

LA TERRA DENTRO UNA PALLINA

Traduzione libera di Barbara Nelli dell’articolo "Comment réduire une sphère sans changer les distances" di Clément Dufrenne et Sean Bailly, apparso su Pour la Science. Far entrare la terra dentro una pallina da ping-pong, conservando le distanze tra i punti, sembra impossibile e invece un’équipe di ricercatori francesi, matematici e informatici è riuscita a realizzare quest’impresa.

VLADIMIR VOEVODSKY, IL MATEMATICO CURIOSO (1966-2017)

Il 30 settembre scorso è morto Vladimir Voevodsky. Simone Borghesi, che ha collaborato con lui, ha scritto qualcosa su di lui.

MADD-SPOT #3, 2017 - IL TRASPORTO RAMIFICATO: UNO... SCONTO COMITIVA

Un ampio ramo della matematica – il trasporto ottimo – si occupa di ottimizzazione nel caso di trasporto di un materiale. Due sono gli esempi classici: lo spostamento della sabbia da una cava ad un cantiere e la distribuzione del pane dai forni ai negozi, al mattino. Una scheda Madd-Spot di Annalisa Massaccesi. La serie è curata da Emiliano Cristiani.

ARCHIMEDIA 3/2017: LO SPETTRO DELL’INCOMUNICABILITÀ

A cominciare dalla sua prima uscita del 2016, Archimede ospita Archimedia, una rubrica di fumetti e altri media curata da Andrea Plazzi. Nel n. 3/2017 trovate "Lo spettro dell’incomunicabilità", un fumetto di Tuono Pettinato. Qui sul sito presentiamo come al solito la prefazione di Andrea Plazzi, ma voi non perdetevi il fumetto all'interno di Archimede 3/2017.

I COLORI DELLA GRAMMATICA

Per la rubrica "Esperienze transdisciplinari di Matematica" vi proponiamo un nuovo contributo di Gianluigi Boccalon, realizzato in collaborazione con la Maria Paola Nicosia e Ileana Pretotto, che racconta come strumenti di tipo logico-matematici (come i diagrammi di flusso) possano essere efficacemente utilizzati nell'insegnamento delle lingue straniere.

Un altro pilastro della storia del Carnevale, Roberto Zanasi, mi invia, dal suo blog Gli studenti di oggi, un pezzo intitolato Trascendenza, che ruota attorno ad alcune domande. Perché la quadratura del cerchio è impossibile? Perché il geomètra non ritrova il principio ond'elli indige?

Il padre fondatore del Carnevale, Maurizio .mau. Codogno, ha scritto sul Post un rapido necrologio di Corrado Böhm, (sì, tendenzialmente è più un informatico, ma essendo stato informatico teorico di matematica dietro ce n'è comunque tanta) e Una volta ogni cent'anni, in cui spiega come la probabilità che ti capiti qualcosa che avviene una volta al secolo è molto meno bassa di quello che potrebbe sembrare.
Dalle Notiziole, Codogno segnala alcuni quizzini della domenica: Il quinto elemento, Primo e quadrato, Ricoprimenti , Che ora è? e Ricorsione mancata.
Per quanto riguarda invece le recensioni: A cosa serve la matematica, manualetto che però non ha detto molto al recensore; Giocati dal caso, il libro che Nassim Taleb ha scritto prima de "Il cigno nero" e che secondo me è meglio del best seller per capire davvero il pensiero del nostro; Le vite segrete dei numeri, che più che altro parla di curiosità legate ai numeri ma non alla matematica.

Mauro Merlotti, dallo Zibaldone Scientifico, contribuisce con la (credo nota) Costante di Kaprekar.
Mi scrive Mauro:
Scoperta da Kaprekar nel 1949, riguarda la curiosa proprietà del numero 6174, che ricorre come risultato finale di una serie di semplici operazioni con i numeri di quattro cifre (purché non siano tutte uguali). Si sceglie un numero di 4 cifre, che vengono poi ridisposte per ottenere il numero più grande e quello più piccolo che si possono comporre. Infine, si sottrarre il numero più piccolo dal più grande per ottenere un nuovo numero e si continua ripetendo l'operazione per ogni nuovo numero ottenuto. Non so perché (e questo è per me sorprendente), ma, dopo pochi passaggi, si arriva sempre a 6174.

Infine, Gianluigi Filippelli, dal suo blog Dropsea, segnala Essere umani, recensione dell'omonimo libro di Brian Christian sull'intelligenza artificiale, il Premio Loebner, Claude Shannon, Alan Turing e gli scacchi, e 2048 Fibonacci: su una variazione del famoso 2048 ma con la serie di Fibonacci
Dal Caffé del Cappellaio Matto, invece, Gianluigi invia I ponti di Quackenberg: su Topolino #3232 una storia ispirata ai sette ponti di Konigsberg. Un breve articolo sul problema, risolto da Leonhard Euler e la storia pubblicata su Topolino e realizzata con la consulenza del matematico Alberto Sacco.


Questo è tutto. Un grande grazie a chi ha contribuito. Evviva il Carnevale della Matematica, che tornerà a dicembre sulle Notiziole di .mau. Buona lettura a tutti.

Le auree sonate per pianoforte di Mozart

Che Mozart sia stato uno dei più grandi compositori di ogni tempo lo sappiamo, e un'affermazione come questa suona quasi ovvia e scontata. Ma che il buon Amadeus fosse un appassionato di matematica quasi patologico, be', questo non tutti lo sanno.
Mi piace pensare che l'amore di Mozart per il pensiero matematico abbia avuto un influsso determinante sulla sublime e inarrivabile grandezza delle sue opere: quasi a certificare che, in fin dei conti, la musica altro non è che matematica sotto mentite spoglie.
L'ossessione di Mozart per la matematica cominciò in tenera età (da un enfant prodige come lui vi aspettavate forse qualcosa di diverso?). La sorella Nannerl riferì che Wolfgang, durante gli anni della scuola, "non pensava e non parlava d'altro che di figure geometriche".
Secondo alcune testimonianze, un giorno il tenero fanciullo ebbe l'idea di scrivere numeri col gesso su tutte le pareti di casa. Passò poi alle sedie, ai tavoli e al pavimento. Una volta riempite tutte le superfici disponibili, fece lo stesso nelle case dei vicini.
In una lettera alla sorella datata 19 maggio 1770, il quattordicenne Wolfgang scrive:
"Vi ringrazio di avermi mandato questi Rechenstorien, e vi prego di mandarmi ancora un poco di questi Kunsten"
Il riferimento è a un libro di aritmetica e algebra di tale Josef Spengler, intitolato “Anfangsgründe der Rechenkunst und Algebra“, ovvero "Rudimenti di aritmetica e algebra". Evidentemente la sorella aveva allegato ad una sua lettera qualcuno degli esercizi proposti dal libro, e il giovane Mozart aveva trovato grande diletto nella loro risoluzione.
L'attrazione di Mozart per la matematica non svanì con l'età adulta. Di questo abbiamo infatti almeno due prove, che sembrano anche indicare un particolare interessamento del grande compositore per il calcolo delle probabilità.
Ecco la prima prova.

I margini (nella figura qui sotto, in basso e a sinistra) del manoscritto di una sua composizione del 1782, la «Fantasia e fuga in do maggiore» K394 sono riempiti di calcoli per trovare la probabilità di vincere una lotteria.

E la seconda? Be', della seconda vi ho parlato in un post dedicato al gioco musicale dei dadi.
Non posso non ricordare come questo gioco, dai risvolti matematici e probabilistici molto interessanti, abbia anche divertito decine di spettatori lo scorso ottobre al Festival della Statistica di Treviso, dove assieme al pianista Giancarlo Panizzo ho raccontato queste e altre amenità musical-matematiche nello spettacolo "Un, due... re! Giocando a dadi con Mozart" (stay tuned: i giochi mozartiani torneranno al Festival in autunno).

Un ulteriore indizio della fascinazione del genio salisburghese per la matematica va in direzione diversa: non più la teoria delle probabilità, ma la sezione aurea.
Cos'è la sezione aurea? In breve: immaginate di prendere due bastoncini, quello più corto di lunghezza A, e quello più lungo di lunghezza B. Supponiamo che A stia a B come B sta alla somma delle lunghezze A+B. Se sussiste questa particolare relazione, il rapporto tra le due lunghezze B e A è uguale a un numero circa uguale a 1,618, che viene indicato solitamente con la lettera greca φ ("phi") e viene chiamato "sezione aurea" o "rapporto aureo" o "numero aureo".

Nemmeno questo interesse mozartiano per il rapporto "divino", già amato dagli antichi e da Leonardo da Vinci, deve stupire. Se una caratteristica emerge con chiarezza dalle composizioni di Mozart, questa ha che fare con l'equilibrio strutturale, con una perfezione della forma che sembra tradursi immediatamente in bellezza ed emozione. Come affermò il critico Hanns Dennerlein, Mozart possedeva un senso innato delle proporzioni.

Un esempio sorprendente di questo lo troviamo nelle sue 19 sonate per pianoforte. La struttura classica, in auge ai tempi di Mozart, prevede tre movimenti: solitamente un allegro come primo movimento, un lento (adagio, andante o qualcosa di simile) come secondo, e un movimento di chiusura che spesso è un allegro o un presto. In questo format standardizzato, ognuno dei movimenti (quasi obbligatoriamente il primo, opzionalmente gli altri due) poteva a sua volta essere strutturato secondo la cosiddetta "forma sonata", che prevedeva tre parti:
1. l'esposizione, in cui viene presentato il tema musicale principale;
2. lo sviluppo, in cui il tema viene espanso e rielaborato;
3. la ripresa, in cui il tema iniziale viene rivisitato in chiave di finale.
Per comodità, farò riferimento a due parti: l'esposizione e l'unione tra sviluppo e ripresa. Ebbene, qualcuno si è preso la briga di analizzare numerosi movimenti delle sonate per pianoforte di Mozart (più o meno quelli strutturati in forma sonata) e per ognuno misurare la durata delle sue due parti.

John F. Putz

Lo studioso che ha eseguito questa ricerca con maggiore accuratezza è stato John F. Putz, un matematico dell'Alma College del Michigan. I suoi risultati furono pubblicati sul numero di ottobre 1995 della rivista Mathematics Magazine, della Mathematical Association of America.
Putz ricorda che un giorno il figlio, musicista, gli parlò della struttura delle sonate per pianoforte di Mozart. Ricordando di aver letto qualcosa sulla propensione del musicista austriaco per l'equilibrio e l'eleganza formale, il matematico si mise al lavoro per verificare se si poteva riscontrare qualche pattern matematico nella suddivisione dei movimenti di queste composizioni.
Nella tabella seguente sono riportati i movimenti analizzati da Putz e, per ognuno, il numero di battute musicali della prima parte e quello della seconda parte. Si noti che il numero di battute è, di solito, un'ottima approssimazione della durata: sotto l'ipotesi che il tempo musicale resti invariato nel corso dello stesso movimento, il numero di battute è proporzionale alla durata in secondi.

Il risultato ottenuto da Putz è molto interessante: il rapporto tra la durata della seconda parte (sviluppo+ripresa) e quello della prima parte (esposizione) è spesso aureo, cioè molto vicino al numero ϕ ≈ 1,618: un po' come il rapporto tra le due dimensioni di una carta di credito.
Per le proprietà della sezione aurea, ciò significa che anche il rapporto tra la durata complessiva di un movimento e la durata della seconda parte è circa aureo.

Prendiamo il caso emblematico del primo movimento della Sonata n. 1 per pianoforte K 279. L'esposizione dura 38 battute, mentre sviluppo e ripresa si estendono per 62 battute. In totale il movimento ha 100 battute. Ora, il modo migliore di dividere in sezione aurea due 100 battute è proprio metterne 38 da una parte e 62 dall'altra. Infatti 62 diviso 38 è circa 1,63 e 100 diviso 62 è circa 1,61. Se Mozart avesse fatto durare l'esposizione una sola battuta in più e la seconda parte una battuta in meno, il risultato sarebbe stato molto meno aureo: 61/39 ≈ 1,56 e 100/61 ≈ 1,64.
Coincidenza? Risultato intenzionale? Non lo sappiamo.

Ma anche gli altri movimenti analizzati mostrano proporzioni simili. Con un software specializzato ho provato a ripercorrere l'analisi effettuata da Putz, ritrovando perfettamente i risultati da lui ottenuti.
Putz provò a rappresentare graficamente la durata (in battute) della seconda parte di ogni movimento in funzione della durata (in battute) dell'intero movimento. Il risultato è illustrato nella figura seguente (in ordinata la durata della seconda parte, in ascissa la durata totale).

Gli statistici chiamano "grafico di dispersione" un diagramma come questo. Il fatto che i punti risultano più o meno concentrati su una linea retta dimostra che esiste una relazione approssimativamente lineare tra le due durate in gioco.
Nella figura seguente è mostrata la linea retta che meglio d'ogni altra rappresenta questa relazione tra durata della seconda parte del movimento e durata totale.

Grafico di dispersione che mostra la relazione tra il numero di battute della seconda parte (sviluppo+ripresa) in ordinata e il numero di battute del movimento complessivo in ascissa

La retta rappresentata si dice retta di regressione.
Le tecniche di regressione sono metodi molto usati dagli statistici per trovare la relazione (lineare o non lineare) che legano due grandezze per le quali abbiamo a disposizione una certa quantità di misurazioni numeriche.
In questo caso le due grandezze (durata della seconda parte e durata totale) risultano legate da una relazione quasi perfettamente lineare.
Questo è in linea con quanto riportato sopra: il rapporto tra la durata totale e la durata della seconda parte è circa costante e circa uguale al numero aureo ϕ ≈ 1,618. Questo rapporto corrisponde all'inverso della pendenza, cioè del coefficiente angolare, della retta di regressione.

Gli statistici sono soliti utilizzare un indicatore, detto coefficiente di correlazione, per misurare la bontà dell'approssimazione lineare individuata. Il coefficiente può variare da un valore 0 (nessuna correlazione lineare tra le due grandezze) e un valore 1 (correlazione lineare perfetta).

Nel caso in esame il coefficiente di correlazione risulta uguale a 0,99.

Sulla base di questi risultati, sembrerebbe lecito concludere che Mozart abbia suddiviso i suoi movimenti utilizzando consapevolmente la sezione aurea. Ma Putz non si accontentò di questo esito, e rappresentò su un altro grafico di dispersione la durata della prima parte (esposizione) in funzione della durata della seconda parte (sviluppo+ripresa).
Il risultato è mostrato nella figura seguente (in ordinata la durata della prima parte, in ascissa la durata della seconda parte).

Com'è facile riconoscere, i punti appaiono questa volta più sparpagliati. La figura seguente mostra la retta di regressione.

Grafico di dispersione che mostra la relazione tra il numero di battute della prima parte (esposizione) in ordinata e il numero di battute della seconda parte (sviluppo+ripresa) in ascissa

In questo caso il coefficiente di correlazione risulta pari a 0,938: ancora alto, ma non altissimo come prima. Come si spiega questa differenza?
Putz ha dimostrato che, quando il rapporto tra due numeri B ed A (con 0 ≤ A ≤ B) è vicino, ma non uguale, alla sezione aurea (come accade in ciascuno dei nostri movimenti mozartiani, in cui i due numeri A e B sono rispettivamente le durate della prima e della seconda parte), si ha necessariamente che il rapporto (A+B)/B è più aureo del rapporto B/A. Per chi è interessato, la dimostrazione può essere trovata su questa pagina.

Alla fine di tutta la discussione, una domanda resta aperta: Mozart ha composto le sue magnifiche sonate per pianoforte adoperando intenzionalmente la sezione aurea, o la proporzione osservata da Putz è un puro caso? Lo stesso studioso americano, a sorpresa, conclude la sua analisi affermando che con ogni probabilità il grande compositore non utilizzò consapevolmente il rapporto divino.
Ma questo è del tutto opinabile. In ogni caso, credo sia ragionevole pensare che la struttura matematica di queste composizioni non sia unicamente frutto del caso, e che l'attrazione fatale che legò Mozart ai numeri rivesta, in questa storia, un ruolo determinante.