La matematica di Gianni Rodari #10: Calcolo combinatorio

Dai post che ho finora pubblicato, qualcuno avrà forse pensato di poter dedurre una facile conclusione: le questioni e le nozioni matematiche di cui Rodari si serve nelle proprie opere appartengono tutte all'aritmetica o alla geometria di base, insomma a quel bagaglio di conoscenze che viene insegnato nelle classi della scuola primaria.
Questo sarebbe anche coerente con la fama di gigante della letteratura per l'infanzia di cui gode Rodari.
Ma sarebbe una conclusione affrettata.
Lo scrittore di Omegna ha scritto anche poesie e racconti rivolti agli adulti e nel secondo articolo della serie avevo mostrato anche un esempio significativo: la poesia "Insiemi" pubblicata nel 1968.
In questi pezzi, dato il carattere più maturo e smaliziato del pubblico di riferimento, Rodari si concede alcune libertà che nei brani per bambini sono ovviamente assenti: argomenti  più "adulti", toni allusivi e ironici, un lessico più ricercato. E perché no, una matematica più elevata.
Già, perché in uno di questi brani per lettori "cresciuti", il racconto "Il discorso inaugurale" (pubblicato il 16 settembre 1960 su "Paese sera" e nel 1982 nella raccolta postuma "Il cane di Magonza"), Rodari arriva a fondare l'intera narrazione su un problema di calcolo combinatorio.
Il racconto inizia così:

- Signor presidente - esordì il ministro.
- Signore - aggiunse il ministro.
- Signori - concluse per il momento il ministro. Quasi tutti fecero silenzio e alcuni si misero anche le dita nel naso. Il ministro proseguì.
- Mi era stato rispettosamente suggerito da taluno dei miei segretari di premettere al discorso che andrò a pronunciare l'efficacissimo preambolo della allocuzione con cui, il 27 gennaio 1932, inaugurai la storica fiera dei polli di Massafiscaglia, mentre persone a me legate da lunga ed affettuosa parentela avrebbero preferito vedermi scegliere i primi due periodi dell'orazione da me detta, or fanno tre anni, nella nobile città di Ascoli Piceno, scoprendovisi il busto dell'entomologo di chiarissima fama, professor N. H. Gualtiero Pisanti-Pisanetti, nel cinquantenario della morte della sua balia.
- Vi confesserò signori, che non ho tenuto conto alcuno di tali consigli. I numerosi lustri di ininterrotta permanenza nei governativi Gabinetti mi hanno consentito di accumulare nei miei archivi trentatré discorsi completamente dattiloscritti a spazio doppio, ognuno dei quali è divisibile in diciotto elementi autonomi e automobili, per un totale di cinquecentonovantaquattro elementi liberamente componibili come i frammenti di una tenia per formare nuovi discorsi. Quante diverse combinazioni di diciotto elementi cadauna sono possibili con la suddetta disponibilità di elementi numero cinquecentonovantaquattro? 

Eccolo, il problema. Riassumiamolo. Nell'archivio del ministro ci sono 594 "elementi" diversi. Un discorso è composto da 18 di questi elementi. Il problema è quindi determinare in quanti modi possiamo scegliere 18 oggetti da un insieme di 594 oggetti.
Chi mastica un po' di calcolo combinatorio sa che il termine usato da Rodari, combinazioni, è proprio quello tecnicamente corretto.
Più precisamente, in questo caso si tratta di determinare il numero di "combinazioni semplici di 594 oggetti di classe 18" ("semplici" perché non sono ammesse le ripetizioni del medesimo elemento, altrimenti parleremmo di combinazioni "con ripetizione").
Se fosse rilevante l'ordine con il quale compaiono i 18 elementi nel discorso, si potrebbe fare un ragionamento di questo tipo: il primo elemento viene scelto tra tutti i 594 elementi; il secondo, dovendo essere diverso, tra 593; il terzo tra 592 e così via. Quindi il numero di modi di accodare 18 elementi sarebbe uguale a 594 · 593 · ... · 579 · 578 · 577 (si arriva fino a 577 perché il prodotto deve comprendere 18 fattori).
Ma nel nostro problema il modo in cui i 18 elementi sono ordinati non conta: quindi dobbiamo dividere quel prodotto per il numero di diversi possibili ordinamenti di una sequenza di 18 oggetti.
Questo numero equivale al prodotto 18 · 17 · 16 · ... · 3 · 2 · 1, altrimenti detto fattoriale di 18.
La formula diventa quindi:

Per indicare questo quoziente in modo più compatto, i matematici utilizzano la seguente scrittura:

e indicano il quoziente come coefficiente binomiale "594 su 18".
Non è difficile rendersi conto che questo numero può diventare molto grande: basta che il numero complessivo di oggetti a disposizione (che compare in alto nel coefficiente binomiale) sia significativamente maggiore del numero di oggetti da estrarre per costruire le combinazioni (che compare in basso).

Ma vediamo come il racconto prosegue.
Attenzione: a un certo punto c'è un errore. Cercate di individuarlo!

Al sottile quesito il mio segretario particolare si sforzò di dare una risposta applicando la formula:

n x (n-a) più l'on. Togni Giuseppe

----------------------------------------

    18 x l'on. Pella Giuseppe

con la quale ottenne l'ambiguo totale di antamilasettecentoanta, che mi lasciò notevolmente freddo.
- Il gabinetto di analisi matematica di Settecamini, da me all'uopo interpellato, applicò invece la formula:

           n fattoriale
a)        ---------------------------------
           c fattoriale (n-c) fattoriale

- Dando gratuitamente e generosamente a "n", che mi era stato raccomandato dal mio sottosegretario, a nome di monsignor Fiorenzo Mattoni, il valore di 594 e a "c" il valore di 18, si ottenne con estrema facilità, e senza colpo ferire:

             594 fattoriale
b)        ---------------------------------------
           18 fattoriale (594-18) fattoriale

- Questo primo successo, oltre a galvanizzare le energie dei ricercatori, permise di togliere di mezzo un gran numero di fattoriali, che furono abbandonati al loro squallido destino. Nessuno li degnò di una lagrima.
(Voci: Bene!)
- L'iter della pratica si presentava ora alla nostra mente con chiarezza solare, anzi oserei dire, nel quadro delle nostre migliori tradizioni mediterranee: 

             577 x 578 x 579 x ... x 592 x 593 x 594
           ------------------------------------------------
           1 x 2 x 3 x ... x 16 x 17 x 18

Il citato gabinetto, purtroppo, non disponeva né di una calcolatrice elettronica né di un efficiente pallottoliere. Le operazioni dovevano essere eseguite tutte a mano e a matita, su carta vergatina formato 18x24. Si assunsero il delicato incarico sette allievi dell'esimio professor Rodolfo Caprini-Capretti-Cerotti di San Babaleo. Fedeli al motto dei padri, divide et impera, gli audaci si divisero tra loro le moltiplicazioni: conquistarono d'assalto le trincee dei prodotti parziali, li sommarono tra loro con grande sprezzo del pericolo, e all'alba di una smagliante domenica di primavera, carica di auspici per i destini della patria e della fede, ottennero il risultato finale.
- In cifre, signori: 79.450.745.379.459.
- In lettere: settantanove trilioni, quattrocentocinquanta miliardi, settecentoquarantacinque milioni, trecentosettanovemilaquattrocentocinquantanove. Trascuro i decimali: li lascio all'opposizione.
(Applausi scroscianti. Voci: - Così si difende l'Occidente dal comunismo!)

Il racconto prosegue poi senza più particolari riferimenti matematici, ma amplificando la componente di arguta satira verso le storture retoriche di certa politica.
Ma... avete trovato l'errore commesso da Rodari?
No, non ve lo svelo qui, non voglio rovinarvi il piacere della scoperta.
Chi lo dovesse trovare me lo faccia sapere, attraverso i commenti al post o tramite la pagina Facebook o via mail. Il vincitore della sfida sarà certamente ricordato negli annali di Mr. Palomar!
Buona caccia, cari lettori, e appuntamento alla prossima puntata!