La matematica di Ummagumma (Parte 2)

Quale altra meraviglia matematica emerge dalla copertina di "Ummagumma" dei Pink Floyd?
Osserviamo ancora una volta l'immagine del disco (basta scendere un attimo alla prima parte di questo "multi-post"): al primo "livello" di ricorsività, cioè nella prima delle matrioske, troviamo in primo piano, seduto, il chitarrista David Gilmour; dietro di lui riconosciamo il bassista Roger Waters, seduto appena fuori della soglia di casa; il batterista Nick Mason è in piedi nel prato; e sullo sfondo, nella posizione della candela, scorgiamo il tastierista Rick Wright.
Per spostare la nostra attenzione al secondo dei livelli di ricorsività dobbiamo osservare la fotografia appesa al muro; balza subito all'occhio che qui le posizioni occupate dai musicisti e le pose da loro assunte sono le stesse del primo livello: anche qui uno dei membri della band è seduto sulla sedia in primo piano, un altro è seduto per terra fuori della porta, un terzo membro è in piedi nel prato, e l'ultimo sta a testa in giù sullo sfondo.
Ma si nota altrettanto subito che gli stessi posti non sono occupati dalle stesse persone: la successione Gilmour-Waters-Mason-Wright del primo livello è infatti diventata ora Waters-Mason-Wright-Gilmour.
Detto diversamente, il chitarrista, che nella prima scena appariva in primo piano, ora si trova laggiù in fondo a fare yoga, mentre gli altri tre sono avanzati ciascuno di un posto: in particolare il paroliere-bassista si trova ora davanti a tutti.
Spingendoci nei livelli più profondi del ciclo ricorsivo, cosa che ci richiede uno sforzo visivo non indifferente per scavare nell'immagine, la permutazione si ripete altre due volte con la stessa logica. Al terzo livello la successione diventa, ormai prevedibilmente, Mason-Wright-Gilmour-Waters, mentre all'ultimo livello è Wright-Gilmour-Waters-Mason: è a questo punto che la copertina di "A saucerful of secrets" appesa al muro interrompe il loop.


La tabella precedente illustra la situazione che emerge dalla copertina.
I livelli della ricorsione sono associati alle righe della tabella, e le posizioni (o pose) corrispondono alle sue colonne; nelle caselle intermedie viene indicato quale musicista occupa una certa posizione ad un certo livello.
Non è difficile notare che su ogni riga e su ogni colonna della tabella i quattro componenti del gruppo appaiono ciascuno esattamente una volta.
Ciò equivale a dire che ad ogni livello sono presenti i quattro musicisti, ciascuno dei quali associato ad una delle posizioni standard, e ognuno degli accoppiamenti musicista-posizione è unico, cioè non compare mai in più di un livello.
Una struttura matematica di questo tipo, in cui un certo numero di oggetti (in questo caso i quattro musicisti) sono associati ad altrettanti oggetti (le posizioni) in altrettanti modi tra loro completamente diversi (i livelli) viene chiamata "quadrato latino".


Chiaramente, se a realizzare "Ummagumma" fossero stati, anziché i Pink Floyd, gli Emerson Lake & Palmer, che erano in tre, il gioco si sarebbe dovuto sviluppare su tre livelli e tre posizioni, e non su quattro; analogamente, i Genesis della formazione classica avrebbero dovuto spaziare su cinque livelli e cinque posizioni.
In altre parole, questi gruppi avrebbero creato quadrati latini con lati di tre o cinque caselle, e non di quattro.

A scanso di equivoci, un quadrato latino non ha necessariamente a che fare con la ricorsività: accidentalmente nella copertina di "Ummagumma" intervengono entrambi questi concetti, intrecciati tra di loro (e questa straordinaria coincidenza mi ha ispirato questo doppio post), ma solitamente i quadrati latini non c'entrano nulla con strutture ricorsive.

Un semplice quadrato latino estraneo a questioni di ricorsività lo possiamo realizzare in casa con un mazzo di carte da gioco. Immaginiamo di estrarre i quattro re, le quattro regine, i quattro fanti e i quattro assi, e di voler disporre queste 16 carte in un quadrato 4x4, in modo che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro diversi tipi di carte, senza ripetizioni. Vogliamo insomma che sulla prima riga ci siano un re, una regina, un fante e un asso, non importa in che ordine, e lo stesso deve accadere su ciascuna delle altre righe e su ciascuna delle colonne.
Una configurazione che soddisfi questi vincoli (come quella illustrata nella figura a lato) è ovviamente un quadrato latino: in questo caso, infatti, al posto dei quattro Pink Floyd abbiamo le quattro figure (re, regina, fante, asso), mentre le quattro colonne del quadrato giocano il ruolo delle quattro pose della copertina di "Ummagumma".

Il modo più semplice e comune di compilare un quadrato latino di lato N è quello di disporre nella griglia NxN i numeri da 1 a N, facendo attenzione che in ogni riga e in ogni colonna non si abbiano ripetizioni.
Chi si diletta a giocare a sudoku si sarà già reso conto che quel rompicapo altro non è che la ricerca di un quadrato latino 9x9: l'unica complicazione consiste nel fatto che, oltre alle righe e alle colonne, occorre considerare anche le sottogriglie interne 3x3.

Naturalmente nessuno ci impedisce di usare, al posto dei numeri, altri simboli: ad esempio colori (come nel quadrato latino qui a lato), lettere o quello che volete voi.

Ma torniamo al nostro quadrato di carte di gioco, complicando un po' le cose.
Ora non vogliamo soltanto che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro tipi di carte, senza ripetizioni, ma anche che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro semi, anche loro senza ripetizioni.
Quello che otterremo sarà una specie di sovrapposizione tra due quadrati latini: i matematici la chiamano "quadrato greco-latino".
Come comporre una simile struttura di carte da gioco? Semplice, anzi ce l'abbiamo già! Se andate a controllare, infatti, il quadrato latino che abbiamo creato poco fa con le figure delle carte da gioco, è anche un quadrato greco-latino, se in esso teniamo in considerazione anche i semi delle carte.

Perché queste strutture matematiche vengono chiamate "quadrati latini" e "quadrati greco-latini"? Leonhard Euler, il grande matematico svizzero del Settecento, noto in Italia come Eulero, fu il primo a usare questi reticoli, e introdusse la convenzione di usare, per i primi, lettere dell'alfabeto latino (nello stesso ruolo delle figure del nostro mazzo di carte), e, per i secondi, coppie formate da lettere latine e lettere greche (nel ruolo delle figure e dei semi).
In un post futuro parlerò delle applicazioni dei quadrati latini e greco-latini, soprattutto nella progettazione di esperimenti in biologia, medicina e sociologia, e di come i matematici e gli informatici si siano cimentati a lungo nel problema di ricercare quadrati latini e greco-latini di dimensioni sempre più grandi.

Se la copertina di "Ummagumma", uscita nel 1969, incasellava i quattro Pink Floyd in un sorprendente quadrato latino 4x4, nove anni dopo lo scrittore francese Georges Perec (nella foto sotto) scrisse addirittura un intero romanzo, il celebre "La vita, istruzioni per l'uso", basandosi su un quadrato greco-latino 10x10 (Eulero aveva ipotizzato che non esistessero quadrati greco-latini di tale dimensione, ma si era sbagliato: nel 1959 i matematici Bose, Parker e Shrikhande ne scoprirono uno).
Il blog Popinga ha parlato di questo argomento in un suo post di circa due anni fa (mi scuso quindi se ripeterò qui alcune delle cose scritte in quel post).

Il libro di Perec descrive un condominio parigino costituito da 99 stanze disposte su dieci piani. Ogni capitolo è ambientato in una stanza, ragione per cui il romanzo è composto da 99 capitoli.
Cosa c'entra il quadrato greco-latino 10x10 scoperto nel 1959? E' presto detto.
Perec compilò 42 elenchi (esercizio assai di moda ultimamente), ciascuno formato da dieci elementi che potevano essere utilizzati come "vincoli narrativi". Ad esempio, compose un elenco di citazioni letterarie, uno di località geografiche, uno di animali, e così via.
Divise quindi gli elenchi in 21 coppie, e utilizzò 21 volte il quadrato greco-latino 10x10, riempendone ogni volta le caselle con coppie di elementi presi dai due elenchi, esattamente come noi avevamo disposto, poco fa, coppie di figure e semi in un quadrato greco-latino 4x4.
Ovviamente ogni casella del quadrato 10x10 corrispondeva ad una delle stanze, e quindi a uno dei capitoli del romanzo. Il quadrato greco-latino ebbe quindi l'effetto di far corrispondere ad ogni stanza 21 coppie di elementi presi dai 42 elenchi. Questi elementi furono utilizati da Perec come "vincoli narrativi": ad esempio, una delle coppie associate ad una stanza poteva prescrivere di menzionare, nella narrazione del capitolo corrispondente, una certa citazione letteraria e una particolare località geografica.