Carnevale della Matematica #74 sul Post

E così il Carnevale della Matematica è giunto all'edizione "canta gorgheggiando" della sua storia, ospitata sul blog di Maurizio Codogno su "Il Post".
Cosa? Canta gorgheggiando? Ma certo, la poesia gaussiana, o dell'unicità della fattorizzazione, creata da Popinga. Grazie al teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni intero può essere fattorizzato in un solo modo: se a ogni intero facciamo corrispondere una parola, o un insieme di parole, la successione degli interi si trasforma mirabilmente in una infinita poesia. Ed ecco che, su mio folle suggerimento di qualche settimana fa, a partire da questo numero del Carnevale si citerà il verso gaussiano associato al numero d'ordine dell'edizione corrente.

Il fondatore dei fasti matematico-carnevaleschi italiani aveva proposto il tema "La matematica che vorresti vedere insegnata a scuola", che da diversi partecipanti è stato anche rispettato. Non dal blog che state leggendo, come al solito: mi sono ostinato a segnalare due post relativi alla serie dei premi Turing (in questo caso sono andati in scena James Wilkinson e John McCarthy).

Molte le perle di questa edizione, per cui non mi dilungo oltre e vi mando subito a leggere gli eccellenti contributi segnalati.
In particolare, Maurizio coglie l'occasione del Carnevale per rendere nota una lietissima notizia: è uscito "Di 28 ce n'è 1", il nuovo e-book della collana "Altramatematica", firmato nientemeno che dai sommi Rudi Mathematici! Io l'ho già letto, e per adesso vi dico solo una cosa: non potete perdervelo!

La prossima edizione del Carnevale (come ricorda .mau., il nome in codice sarà: “tra i cespugli, il merlo tra i cespugli”), sarà ospitata tra un mese dal blog "Pitagora e dintorni" di Dioniso.

Complimenti a tutti i partecipanti e buona lettura a tutti!

I premi Turing: John McCarthy

Del vincitore del premio Turing del 1971, lo "Zio" John McCarthy, ho già parlato in un mio precedente post, che scrissi in occasione della sua scomparsa quasi tre anni fa.
Ricordavo, in quel breve articolo, la sua figura di padre dell'intelligenza artificiale (fu lui a utilizzare per primo questa espressione, nel 1955), di creatore del linguaggio di programmazione Lisp (1958), di ideatore di tecniche o paradigmi informatici estremamente attuali, come il "time-sharing" della potenza di calcolo e il concetto del software some servizio (1957), e la garbage collection (1959).
E soprattutto descrivevo una sua curiosa creatura matematica: la famosa "funzione 91" di McCarthy, che, grazie alla sua definizione ricorsiva, restituisce sempre 91 per valori minori di 102 dell'argomento.

Ma i meriti dello "Zio" vanno anche oltre.
Nato a Boston nel 1927 da padre di origine irlandese e madre lituana di religione ebrea, durante l'infanzia si trasferì frequentemente con la famiglia, trovando infine dimora pressoché definitiva a Los Angeles.

Da www.computerhistory.org

Grazie alla sua intelligenza eccezionale e alla sua propensione per la matematica, si diplomò con due anni di anticipo. Si laureò al California Institute of Technology, dove le lezioni di John von Neumann lo affascinarono e indirizzarono il corso successivo delle sue ricerche, e ottenne il dottorato in matematica a Princeton. Dopo alcune esperienze accademiche a Princeton, alla Stanford University, al Dartmouth College, e al MIT, nel 1962 divenne professore a Stanford, dove rimase fino al raggiungimento della pensione, nel 2000.
Il suo interesse per l'intelligenza artificiale lo portò a organizzare, già nel 1956, il primo congresso internazionale sull'argomento. Tra i partecipanti c'era Marvin Minsky, che sarebbe divenuto pochi anni dopo collega di McCarthy al MIT.

Da www.computerhistory.org

Nel suo periodo al MIT, lo "Zio" contribuì allo sviluppo di ALGOL, uno dei più importanti tra i primi linguaggi di programmazione. Nel 1958 descrisse "Advice Taker", un modello astratto di programma che può essere considerato il primo sistema completo di intelligenza artificiale: attraverso una definizione formale della conoscenza, era in grado di apprendere nuove informazioni, dedurre nuove verità e formulare piani per svolgere attività complesse.

Il genio di McCarthy andò anche al di là dell'ambito matematico e informatico: pare che nel 1982 lo scienziato abbia progettato uno speciale ascensore spaziale chiamato "fontana spaziale", basato su una torre altissima anziché, come nello schema tradizionale, su un satellite collegato a terra da un cavo.

McCarthy fu uno strenuo sostenitore dell'importanza della matematica e dell'insegnamento della matematica. La sua "signature" sui forum di Usenet recitava così: "Colui che rifiuta di fare di conto è destinato a parlare a vanvera".

I premi Turing: James H. Wilkinson

Chi di voi ha studiato calcolo numerico all’università? Ricordate quei curiosi algoritmi utilizzabili per trovare soluzioni approssimate a svariati problemi di analisi matematica? Per esempio, i metodi per risolvere sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali, o per calcolare gli autovalori di una matrice?
Uno dei più importanti pionieri di questa branca della matematica applicata fu James Wilkinson. Tra gli anni quaranta e cinquanta fu tra i più brillanti esploratori delle metodologie di analisi numerica implementabili sui calcolatori.
Grazie agli sforzi di Wilkinson e di altri matematici dell’epoca si comprese che una procedura adatta a determinare “a mano” soluzioni esatte a problemi matematici, una volta trasferita pari pari in un programma informatico, può spesso portare a risultati del tutto errati.
Per i suoi contributi in questo ambito, Wilkinson fu insignito del Premio Turing nel 1970.

Nato nella cittadina inglese di Strood nel 1919, Wilkinson si laureò in matematica all'università di Cambridge, a meno di 20 anni e con pieni voti. Nel 1940 fu assunto come ricercatore presso il Mathematics Laboratory della stessa città, e tre anni dopo al centro di ricerca di Fort Halstead.
La sua occupazione in questi istituti di ricerca consisteva nell'escogitare tecniche numeriche di calcolo delle soluzioni di equazioni differenziali alle derivate parziali. Considerando che in quegli anni era in corso la seconda guerra mondiale, non sorprende che il principale ambito d'applicazione di questi studi fosse la balistica.
Proprio sul finire del conflitto, nel 1945, Wilkinson conobbe e sposò una sua collega, Heather Nora Ware.

La versione "pilota" di ACE (1950)

Anche una volta finita la guerra, Wilkinson si trasferì al National Physical Laboratory di Teddington, dove rimase fino al suo pensionamento, avvenuto nel 1980.
Qui continuò ad occuparsi di calcoli legati agli armamenti, ma aggiunse ai suoi settori applicativi anche l’aerodinamica supersonica.
Non poteva immaginare che un giorno avrebbe vinto un prestigioso premio intitolato alla memoria del suo primo capo: Alan Turing. Sotto la direzione del pioniere dell'informatica teorica, infatti, Wilkinson contribuì alla costruzione dell'Automatic Computing Engine (ACE), il primo computer elettronico del Regno Unito, che divenne operativo nel 1950. In particolare Wilkinson fu il progettista del modulo preposto alle moltiplicazioni.
ACE rappresentò un ulteriore passo avanti nella storia della computazione britannica dopo l'EDSAC, realizzato da Maurice Wilkes, premio Turing nel 1967, sempre sulla base degli studi teorici del grande Alan.
Questo computer d'altri tempi conteneva 7000 valvole termoioniche, 70000 resistenze, 10000 capacità, 5 milioni di giunzioni saldate. Era in grado di gestire le subroutine e implementava un rudimentale linguaggio di programmazione, chiamato Abbreviated Computer Instructions.

James Wilkinson col premio Turing (da http://amturing.acm.org)

A partire dalla fine degli anni  cinquanta, Wilkinson cominciò a pubblicare numerosi articoli e fu anche l'autore di due libri molto famosi: "Rounding Errors in Algebraic Processes", uscito nel 1963, e "Algebraic Eigenvalue Problem", pubblicato nel 1965.
Sempre in quel periodo cominciò a tenere lezioni al Summer College of Engineering dell'Università del Michigan. Un po' alla volta le sue scoperte nel campo del calcolo numerico diventarono note a un pubblico più vasto, e Wilkinson cominciò a ricevere numerosi premi e riconoscimenti, che culminarono nel 1970 con la vittoria del premio Turing. La motivazione faceva riferimento alle "sue ricerche di analisi numerica che hanno facilitato l'uso dei computer digitali ad alta velocità, con speciale riconoscimento per il suo lavoro nella computazione nell'algebra lineare e nell'analisi degli errori 'all'indietro'".

Che cosa sarà mai questa analisi degli errori "all'indietro" (backward)? Immaginiamo che per un certo problema sia stato escogitato un algoritmo numerico approssimato, in grado di trovare, a partire da un dato di ingresso x, un risultato y*. Ora, tale risultato sarà in generale diverso dalla soluzione esatta y. Mentre l'analisi degli errori "in avanti" (forward) si concentra sulla differenza y* - y, l'analisi backward permette di trovare il dato di ingresso x+Δx tale per cui, risolvendo il problema attraverso la procedura esatta, il risultato sarebbe stato proprio y*. Se si scopre che, per ogni dato di ingresso x, l'errore "all'indietro" Δx è piccolo, allora possiamo dire che l'algoritmo approssimato è "stabile all'indietro", il che fornisce un significativo indice della bontà della metodologia numerica utilizzata.

Il "meglio" degli studi di Wilkinson confluì nel 1971 nel celebre "Handbook for Automatic Computation", scritto insieme a C. Reinsch.
Wilkinson morì nel 1986. Nella lezione che tenne nel 1970 dopo aver ricevuto il Premio Turing, raccontò un interessante lato della personalità del suo maestro:

Turing aveva una forte propensione al ricavare i suoi risultati dai principi primi, e in prima istanza non usava consultare alcun lavoro precedente sull'argomento. Senza dubbio fu grazie a questa sua abitudine che la sua opera acquistò un sapore caratteristico e originale.
Mi sono ricordato di una frase che Beethoven pare abbia pronunciato quando gli fu chiesto se avesse ascoltato una certa opera di Mozart particolarmente famosa. Beethoven rispose di no, e aggiunse: "nemmeno l'ascolterò, altrimenti perderò un po' della mia originalità".

Carnevale della Matematica #73 su Termueske

Domenica scorsa, 11 maggio, è stata una giornata memorabile. Non solo e non tanto perché c'è stata l'attesa presentazione al Salone Internazionale del Libro di Torino della collana "Altramatematica", ma anche e soprattutto per il fatto che, in quella stessa occasione, molte persone che si conoscevano solo elettronicamente si sono finalmente conosciute di persona.
Tra queste persone c'era buona parte degli abituali partecipanti al Carnevale della Matematica. Così anch'io ho avuto il piacere e l'emozione di conoscere personalmente gente fuori dal comune (in senso buono, anzi ottimo) come Popinga, .mau., Peppe Liberti, due terzi dei Rudi Mathematici, Juhan.

Tra i momenti  più emozionanti di quella giornata, poi, ricorderò sempre l'incontro con il grande Douglas R. Hofstadter, ma questa è un'altra storia.
E so che era presente anche Martino Sorbaro, autore del blog Termueske, che purtroppo non ho avuto il piacere di conoscere. Proprio Martino ha ospitato questo mese il Carnevale della Matematica, giunto all'edizione 73.
Come ha osservato .mau., il 73 è numero primo non ancora presente nella ormai celeberrima Poesia Gaussiana dell'inarrivabile Popinga (se non l'avete ancora letta vi invito a farlo). So che il buon Barozzi è attualmente al lavoro per estendere la sua creazione a tutti i numeri primi minori di 100 (il che significa estenderla anche a molti numeri non primi maggiori di 100). Dalle prime indiscrezioni pare che il 37 corrisponderà a "gorgheggiando" e il 79 a "saltellando". Non si conosce ancora, invece, a quali parole sarà associato il 73, il che significa che il Carnevale di ieri è ancora privo di un verso gaussian-popinghiano relativo.

Bene, il tema del Carnevale di maggio era la bruttezza della matematica (ottima intuizione, Martino: non se ne può più di sentir parlare di bellezza matematica, era ora che si desse un po' risalto anche alle brutture).
Come dice lo stesso Sorbaro:
Ahimé, mi sono reso conto recentemente che, per quanto meravigliose costruzioni matematiche abbiano condotto ad altrettante meravigliose applicazioni (e lo so bene, ché sono un fisico), a volte bisogna rassegnarsi ai celebri contacci. Ho la sensazione, però, che, mentre si può valutare con una certa obiettività cosa sia bello, cosa definire matematicamente brutto sia, forse per ragioni di political correctness, più soggettivo. Per questo il Carnevale della Matematica Settantatré ha per tema bruttezza matematica.

Come è ormai tradizione per il Carnevale, anche questa edizione è stata ricca di contributi e di interessanti spunti. Il blog che state leggendo è presente con due recensioni di "Altramatematica": quella del libro di Zanasi e quella del libro di Popinga.
Complimenti, dunque, a tutti i partecipanti e al facilitator Sorbaro, e appuntamento al Carnevale di giugno, che sarà ospitato dalle Notiziole di .mau. con il tema "la matematica che vi piacerebbe vedere insegnata".

Mr. Palomar (con .mau., Peppe Liberti e Popinga) al Salone del Libro di Torino!

Da anni sognavo di andare a visitare il Salone del Libro di Torino, ma ogni volta, per qualche ragione, il programma saltava.
Se però, fino a qualche mese fa, qualcuno mi avesse detto che un giorno avrei partecipato al Salone come autore, gli avrei certamente riso in faccia.
Eppure, in quest'anno per me sorprendente, accade anche questo. E non ci vado da solo, ma in compagnia di tre amici autori che non vedo l'ora di incontrare in un'occasione così entusiasmante: Maurizio .mau. Codogno, Peppe Liberti e Marco Fulvio Barozzi aka Popinga.
L'occasione è la presentazione della collana "Altramatematica" di 40K: il curioso poker si offrirà al pubblico domenica 11 maggio, alle ore 16, nel Padiglione 2, sezione "Book to the future" (quella dedicata all'editoria digitale e alle nuove tecnologie collegate al mondo del libro).
Parleremo ovviamente dei nostri quattro e-book, di come è nato il progetto, di cosa significhi scrivere di matematica in modo pop, e di cosa voglia dire fare divulgazione scientifica attraverso i moderni canali digitali.
Non mancate, mi raccomando!

Identità: ascesa e decadenza di un concetto matematico e filosofico

Recensire questa bell'opera dell'amico (e maestro) Popinga, al secolo Marco Fulvio Barozzi, è insieme un piacere e un onore.
Anche "Crisi d'identità" fa parte della collana Altramatematica, curata da Maurizio Codogno e pubblicata dal progetto editoriale 40K. Lo trovate su Amazon, BookRepublic, e così via.
Non si tratta soltanto di un libro di matematica. Di matematica ce n'è, intendiamoci, ma secondo me quello che Barozzi ci propone è anche un (gustosissimo) testo filosofico.
Il tema di fondo è, per certi versi, il concetto più semplice che si possa immaginare, ma al tempo stesso il più problematico: l'identità.

Come scrive lo stesso autore nella quarta di copertina:

L’identità è un concetto fondamentale per ogni tipo di ragionamento, dalla speculazione filosofica alla dimostrazione matematica. Senza di essa non sarebbe possibile neanche molta letteratura. 

In queste pagine Popinga esplora, sempre con sapiente equilibrio tra rigore e umorismo, i vertiginosi sentieri dell'identità. Com'è sua abitudine, anche per mostrare i molti modi in cui questo concetto va in crisi, prende a prestito alcuni esempi letterari: ecco allora i giocosi ossimori e le antitesi di molta poesia italiana del passato, così come le sconvolgenti Tigri azzurre di Jorge Luis Borges.

Barozzi ci avvisa che l'identità stessa si può capire veramente solo se si ha il coraggio di osservare le mostruosità e i paradossi che emergono dalla sua demolizione:

Per meglio comprendere che cosa sia l’identità bisogna però guardarla dal di fuori, tenendo presente che la sua fotografia sulla carta d’identità risulta sempre un po’ sfocata.

Barozzi ci accompagna per mano in un viaggio affascinante, discutendo concetti rassicuranti, come i vari tipi di identità e altri più disorientanti, se non raccapriccianti, come le molteplici tipologie di contraddizione e paradosso che scardinano i familiari punti di riferimento della logica.
Lo stesso concetto di autoreferenza, che di per sè potrebbe sembrare innocuo, diventa paradossale quando è contraddittorio, cioè quando conduce logicamente a proposizioni in contrasto tra loro.
Dal classico paradosso del mentitore al teorema di incompletezza di Gödel, la storia della logica è piena di esempi che mostrano come sia inevitabile, prima o poi, imbattersi in mostri logici più o meno feroci. Che poi, a ben vedere, sono mostri anche affascinanti, come ci ha di-mostrato Douglas Hofstadter con i suoi strani anelli di GEB e dei Metamagical Themas.
E come Popinga ci svela negli ultimi capitolo del libro, sono pure divertentissimi e giocosi: i problemi autodefiniti e le frasi suicide e autoreferenti sono chicche da non perdere.

A proposito, l'ultimo capitolo del libro si intitola "Conclusione, che è anche un manifesto". Qui Popinga sostiene come non abbia senso tenere separate la cultura scientifica e quella umanistica, e ammette la sua tristezza nel sentire parlare di "guerra" tra una e l'altra.
Bè, questo bellissimo manifesto io lo sottoscrivo completamente, anche perché riflette alla perfezione la visione che io ho della cultura in genere. E invito tutti a leggerlo (dopo aver acquistato il libro, s'intende).

Tornando a parlare di strani anelli, non riesco a trattenermi dal sottolineare come tra il mio libro "La matematica dei Pink Floyd" e l'e-book di Popinga sussista un reciproco loop.
In una delle mie pagine, parlando (guarda caso) di autoinclusione e ricorsività, avevo infatti citato la barozziana traduzione di una curiosa quartina di Swift. E il Barozzi, con mia sorpresa, ha ricambiato citando me (anzi, il mio stesso libro), sempre in modo funzionale alla trattazione dello stesso argomento.
Secondo me è uno strano anello. Forse potremmo chiederne conferma allo stesso Hofstadter, domenica 11 a Torino, visto che, come lui, sia Popinga che il sottoscritto parteciperemo come autori al Salone del Libro.
Ma di questo dirò nel prossimo post.
Intanto buona lettura della "Crisi d'identità" di Marco Fulvio Barozzi. E ovviamente complimenti all'autore.

Cerco un centro

Continuando le recensioni degli e-book di Altramatematica, ecco il bel libro di Roberto "Zar" Zanasi, intitolato "Un punto fermo".
"Cerco un centro di gravità permanente", diceva una famosa canzone di qualche anno fa. Ebbene, il curioso tema del libro dello Zar è la ricerca di "invarianti"; ovvero di "centri permanenti" o "punti fermi" che permettano di risolvere agevolmente problemi altrimenti difficilmente trattabili.
Zanasi illustra l'utile tecnica (o dovrei dire l'arte?) applicandola a molti suggestivi problemi matematici, tutti apparentemente molto diversi tra di loro, ma accomunati dal fatto di poter essere affrontati con una metodologia di questo tipo: l'enigma della scacchiera mutilata, la seconda più bella formula della matematica, i dadi per giocare a Dungeons and Dragons, il gioco del quindici, l'avanzata dei soldati nel deserto.
Come ci si aspetta dallo Zar, gli argomenti sono esposti nella consueta forma del dialogo tra il Vero Matematico e l'apprendista: personaggi che ormai abbiamo imparato ad amare.
Zanasi prende il lettore per mano e lo porta a digerire con leggerezza concetti che altrove risultano complicati: compresa una dimostrazione originale dello stesso autore (sul gioco del quindici).
Un altro bel librino, insomma: disponibile, come tutti gli altri della collana, su Amazon, Bookrepublic, e su tutti i migliori negozi online.
Buona lettura a tutti!

Affarone! I librini di Altramatematica a soli 99 cent!

Venghino, lettori, venghino! In occasione del Mese della Consapevolezza Matematica, gli e-book di Altramatematica sono in vendita da oggi, e forse non per molto, all'incredibile prezzo di 0,99 euro!
Vi conviene affrettarvi, perché come dice Peppe Liberti (uno degli autori), "ci son poche copie".
E poi, sempre il buon Peppe ha scoperto che la collana ha molti eccellenti estimatori.
Guardate un po' qua.

 

Carnevale della Matematica #72 su Popinga

Certo, il Carnevale della Matematica di marzo è speciale perché è un po' il padre di tutti i carnevali dell'anno (ricordate che tutto nasce da π, cioè da 3.14, cioè dal 14 marzo).
Però anche quello di aprile non scherza, almeno quest'anno: il suo organizzatore, Marco Fulvio Barozzi alias Popinga, ha infatti pensato bene di collegarlo al Mese della Consapevolezza Matematica, ovvero il Mathematics Awareness Month (MAM), di cui parlavo nel precedente post (che, per inciso, è l'unico mio articolo a partecipare al carnevalesco evento).
Ebbene, tornando al MAM, quest'anno l'apposito comitato ha deciso che il tema della manifestazione doveva essere una suggestiva terna di M: "Matematica, Magia e Mistero".
Ed ecco che per incanto il Carnevale di aprile si è trasformato in una misteriosa e magica raccolta di contributi matematici.
Da Popinga non ci si poteva aspettare che un Carnevale ricco, ottimamente scritto e finemente allestito: i contributi sono molto vari e interessanti, e belle sono anche le immagini che decorano la kermesse, ispirate ai quadrati magici.
E poi, fateci caso: siamo ormai all'edizione 72! Questa iniziativa sta diventando davvero una meravigliosa abitudine. Quando ho creato il mio blog e ho iniziato a partecipare, eravamo soltanto all'edizione 33. Tanta strada è stata fatta, e molta di più ne faremo.
Complimenti dunque a Popinga e a tutti i contributori, che ancora una volta hanno fatto grande il Carnevale della Matematica! Appuntamento alla prossima edizione, che sarà ospitata dal blog Termueske di Martino Sorbaro. Buona lettura a tutti!

Mathemagical mystery tour #1: conigli e api

"Aprile è il mese più crudele", scrive il poeta Thomas Stearns Eliot nella sua "Terra desolata".
Sarà. Per noi blogger è però, soprattutto, il Mese della Consapevolezza Matematica, o come dicono gli americani, il Mathematics Awareness Month. La lodevole iniziativa è stata ideata, nel lontano 1986, da enti come l'American Mathematical Society, l'American Statistical Association, la Mathematical Association of America, e la Society for Industrial and Applied Mathematics, allo scopo di aiutare la diffusione della matematica.
Ogni anno, per questa ricorrenza, viene scelto un tema, un po' come succede ogni mese per il Carnevale della Matematica. E quest'anno il tema è "Mathematics, Magic, and Mystery", che è anche il titolo di  un libro scritto nel 1956 dal grande Martin Gardner.

Per l'occasione, l'italico Carnevale della Matematica, ospitato questo mese dal bravo Popinga, rende omaggio all'iniziativa d'oltreoceano. Lo stesso facilitatore, per introdurre l'appuntamento del 14, scrive parole molto condivisibili:

"La magia della matematica, che gli americani intendono come base di un'infinita serie di giochi, indovinelli e trucchi mnemonici, a mio parere risiede nella natura stessa della disciplina, per sua natura posta à la limite du mond visible et du mond invisible (Alan Stivell). Si tratta della magia della scoperta, del mistero connesso al superamento continuo dei limiti del pensiero umano."

Io, in modo più pop, nel pensare all‘accostamento tra matematica, magia e mistero, non ho potuto fare a meno di rievocare una canzone dei Beatles che dà anche il titolo a un celebre film:

I Beatles e i beatlesiani mi perdoneranno se, miscelando in qualche modo i Fab Four, Walt Disney e Gardner, ho pensato di storpiare il titolo del brano in "Mathemagical mystery tour". A che pro, vi chiederete. Per inaugurare una serie di brevi post dedicati a temi matematici che, in qualche modo, suscitano un senso di magia e mistero.
La matematica è piena di magia e di mistero. Ogni argomento che racchiuda in sè un problema aperto o una verità non facilmente afferrabile dalla ragione è mistero. Qualsiasi luogo in cui si respiri un senso di sorpresa, o si scorgano collegamenti inattesi, o risoluzioni impensate, è magia. E poi il mistero genera sempre magia, e viceversa.

Tanto per iniziare da qualche parte, quali sono i simboli della magia? La bacchetta magica, certo. Ma anche il coniglio che esce dal cilindro. E nella storia della matematica i conigli sono importanti, se è vero che la successione di Fibonacci venne ideata pensando alla crescita di una popolazione di questi simpatici animali.
La faccenda è ormai ben nota.
Supponiamo di avere, al mese 1, una coppia di conigli cuccioli.
Un mese dopo avranno raggiunto la maturità e saranno in grado di generare figli.
Al mese 3 nascerà una nuova coppia di cuccioli, che ipotizziamo siano di nuovo un maschio e una femmina.
Trenta giorni dopo la prima coppia produrrà una nuova coppia di coniglietti, mentre i loro figli saranno diventati adulti.
Al quinto mese, le due coppie di conigli adulti genereranno altrettante coppie di figli, e l'altra coppia diventerà adulta.
Andando avanti così, a prima vista si potrebbe credere che l'andamento del numero delle coppie di conigli presenti nei mesi successivi (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ecc.) sia tanto complicato da non potere essere rappresentato da una semplice formula matematica.

Tratto da timwolversonphotos.wordpress.com

Invece la regola è semplicissima: ogni numero della sequenza è la somma dei due precedenti.
Fibonacci, al secolo Leonardo Pisano, raccontò la storia dei conigli nel 1202, nel suo celebre libro "Liber abbaci".

La sequenza di Fibonacci, lo sappiamo ormai bene, vanta una miriade di connessioni con altri argomenti matematici: dalla sezione aurea alle frazioni continue, dai numeri primi alla zeta di Riemann, dal triangolo di Tartaglia ai gruppi di Lie, dai frattali alla sequenza di Farey. E la si ritrova in un sacco di altre discipline: in fisica, in astronomia, in chimica, in botanica, in anatomia, in economia, in musica, nell'arte in genere.

L'esempio dei conigli raccontato da Fibonacci è oggi considerato forzato e poco realistico. I numeri della famosa successione si prestano certamente meglio a modellare la dinamica di altri tipi di popolazione.
Sempre rimanendo in ambito zoologico, vediamo come è fatta una colonia di api da miele. Be‘, uno degli individui è la regina. Le altre femmine sono api operaie che non producono uova. I maschi, che non lavorano e sono detti fuchi, nascono da uova non fecondate di ape regina, per cui hanno una madre ma nessun padre. Ogni femmina, invece, ha un padre e una madre.
Se consideriamo l'albero genealogico di un fuco, ci accorgiamo che ha:

• 1 genitore (una madre e nessun padre)
• 2 nonni (la madre è femmina e quindi ha 2 genitori)
• 3 bisnonni (il nonno ha 1 genitore, femmina; la nonna ne ha 2, maschio e femmina)
• 5 trisavoli (le 2 bisnonne hanno 2 genitori ciascuna; il bisnonno ne ha 1)
• 8 quadrisavoli (le 3 trisavole hanno 2 genitori ciascuna; i 2 trisavoli ne hanno 1 ciascuno)

E così via. Di nuovo i numeri della fatidica sequenza.
Dal cilindro di Fibonacci non sai mai cosa può uscire. I conigli te li aspetti anche, ma questa volta è venuto fuori addirittura un nugolo di api. E con loro, un pizzico di magia e mistero.
Buon mese della matematica a tutti!

I Pink Floyd, la matematica e il Grande Pesce

Oggi mi sono proprio divertito. È stato proprio un piacere intervenire a Big Fish, l'intelligente e frizzante trasmissione di Radio Popolare Milano condotta da Disma Pestalozza e Jam Kesten.

Bè, oltre che un piacere e un divertimento è stato un onore, perché Radio Popolare ha veramente fatto la storia della radio, a partire dal 1975.
E poi si è parlato di cose che mi piacciono proprio: Pink Floyd e matematica, certo, visto che il pretesto era il mio e-book, ma anche i Beatles (con l'annesso complotto "Paul is dead" e la questione del "you can count me out... in" in Revolution), il sudoku, il cacao Droste, monache, infermiere e costumi tipici olandesi, abati cruenti, e chi più ne ha più ne metta.

Se volete riascoltare il mio intervento di oggi eccovi il podcast.

Un grazie di cuore ai due conduttori per la simpatica ospitalità, la disponibilità e la bravura con cui hanno condotto l'intervista. Evviva il Grande Pesce, evviva Radio Popolare.

Si fa presto a dire infinito

Ho promesso di recensire tutti i libri della collana "Altramatematica di 40k, all'interno della quale è uscito anche il mio librino. Dopo il lavoro di Peppe Liberti, è il turno del libro del curatore della collana: "Matematica e infinito" di Maurizio Codogno.
Anche quest'opera è disponibile su tutte le librerie online: Amazon, Bookrepublic e compagnia bella.

Il libro di .mau. è un gran bel libro. Non lo dico perché l'autore è il curatore della collana nonché un amico blogger. Lo dico semplicemente perché è vero.
Nelle sue pagine viene raccontata, con briosa sintesi, la storia di come i matematici abbiano cercato di addomesticare il vertiginoso concetto di infinito e abbiano fronteggiato le sue aspre difficoltà.

Si parte con gli antichi greci: pensatori e scienziati come Zenone o Archimede, che ebbero il loro bel da fare per far quadrare le cose con l'infinito. Si prosegue, molti secoli dopo, con gente come Bonaventura Cavalieri, che cominciò a imbattersi in nuovi problemi mica da ridere. Fino ad arrivare ai paradossi che saltarono fuori da certe diaboliche serie (come 1-1+1-1+1-...), da certi enigmatici oggetti geometrici (come la tromba che scoprì Torricelli o la curva di Peano), e dalla controversa teoria degli infiniti di Georg Cantor.
Leggendo di quest'ultima mi è anche tornato in mente uno dei "Norris facts" che giravano tempo fa sulla rete: "Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte".

Uno dei passi che più ho apprezzato è quello in cui Codogno spiega con estrema leggerezza e chiarezza il concetto di limite. Insegnanti, leggete quella paginetta agli studenti che faticosamente si accingono a studiare l'analisi matematica: di sicuro quella classica e tipicamente indigesta definizione con dentro gli epsilon e i delta diventerà per loro molto più comprensibile.

Carnevale della Matematica #71 su DropSea

Lo so, sono in ritardo di almeno un giorno nel segnalare l'uscita del Carnevale della Matematica n. 72.
A mio parziale discolpa, potrei citare l'amico Popinga, che su Facebook ha fatto notare che anche il 15 marzo potrebbe essere considerato un Pi Day: basta arrotondare per eccesso anziché per difetto.
Già, perché il Carnevale di marzo è il più importante di tutti: è quello che giustifica la scelta del 14 del mese per tutti gli altri Carnevali, quello che deriva direttamente dalla comune approssimazione del numero di Archimede: 3,14.
A ospitare questa edizione marzolina, per la terza volta consecutiva, è l'apprezzatissimo blog DropSea di Gianluigi Filippelli.

Come spesso accade, il materiale proposto è davvero tanto, e di ottima fattura: se non l'avete ancora fatto, andate a leggere il Carnevale e non ve ne pentirete.
Anche in questa occasione l'ottimo Filippelli, com'è tradizione, ha intercalato i contributi dei partecipanti con le sue "Notizie pi greche": davvero letture gustose e interessanti.
Il blog che state leggendo partecipa alla prestigiosa rassegna con un unico post, che avete letto pochi giorni fa: quello su Marvin Minsky vincitore del premio Turing nel 1969.

Com'è doveroso, faccio i miei migliori complimenti a tutti i contributori e al padrone di casa. Il Carnevale tornerà fra un mese, a casa del sopra menzionato Popinga. Lunga vita al pi greco e al Carnevale!

I premi Turing: Marvin Minsky

Senza ombra di dubbio, nell'elenco dei vincitori del premio Turing il nome di Marvin Minsky spicca per la sua celebrità e per l'importanza dei suoi risultati scientifici.
In questa carrellata degli insigniti dal 1966 in poi, Minsky è il primo scienziato attualmente ancora in vita.
Le ricerche di Minsky hanno fornito contributi fondamentali in ambiti molto diversi, tra cui l'informatica teorica, la grafica computerizzata, la filosofia, la psicologia cognitiva, la matematica e  soprattutto l'intelligenza artificiale (in particolare la teoria degli automi, l'apprendimento, la rappresentazione della conoscenza, la visione artificiale e la robotica).

Marvin Minsky nacque a New York nel 1927 da una famiglia ebrea. Studiò matematica ad Harvard, dove conseguì la laurea nel 1950, e a Princeton, dove ottenne il dottorato nel 1954 (John Tukey e John von Neumann facevano parte della commissione d'esame). Dal 1958 ha insegnato al prestigioso Massachusetts Institute of Technology di Boston.
Già nel 1951 Minsky progettò SNARC, una macchina che rappresentava il primo esempio di rete neurale artificiale.

Nel 1960 fondò assieme a John McCarthy (che vincerà il premio Turing due anni dopo di lui) il laboratorio di Intelligenza Artificiale del MIT.
Negli anni successivi fu protagonista di numerose geniali invenzioni, tra cui il primo display grafico indossabile e il microscopio confocale a scansione.

Il premio Turing gli venne consegnato nel 1969, "per il suo ruolo centrale nel creare, plasmare, promuovere e far avanzare il campo dell'intelligenza artificiale".
In quello stesso anno, Minsky aveva pubblicato, insieme all'altro matematico Seymour A. Papert (quello che ideò il LOGO, il linguaggio di programmazione della tartaruga), un libro destinato a rimanere uno dei testi fondamentali nella storia dell'intelligenza artificiale.
Il titolo del volume, "Perceptrons: an introduction to computational geometry", si riferiva al percettrone, un semplice schema di rete neurale artificiale con più ingressi e un‘uscita: il valore dell‘output viene calcolato sulla base di una somma pesata dei valori di input.
In questo lavoro si dimostrava che le macchine basate su questo pattern non erano in grado di risolvere molti problemi: si mostrava, ad esempio, che queste semplici reti non sono nemmeno in grado di implementare una semplice funzione XOR.

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Paradossalmente, quindi, Minsky fu acclamato come uno dei giganti dell'intelligenza artificiale proprio per avere indicato i limiti dello schema di rete neurale che fino al 1969 era stato ritenuto estremamente promettente per la soluzione di problemi complessi.
Il periodo che ebbe inizio dopo l'uscita del libro di Minsky e Papert viene talvolta chiamato "inverno dell'intelligenza artificiale", perché l'euforia degli anni Cinquanta e Sessanta fu sostituita da un sentimento di diffidenza e disillusione, e i finanziamenti alle ricerche in questo settore furono radicalmente ridimensionati.

Ma ovviamente Minsky non si limitò a distruggere. Fu l'ideatore di numerosi modelli innovativi nel campo dell'intelligenza artificiale.
E non si limitò certo a questo ambito. Si interessò, ad esempio, di vita extraterrestre, e fu tra gli scienziati che il regista Stanley Kubrik consultò durante le riprese del suo capolavoro "2001: Odissea nello spazio" (viene addirittura citato nel film stesso).
Il suo legame con la fantascienza non si limitò all'incontro con Kubrik. Durante una vacanza a Malibù, suggerì a Michael Crichton la trama di "Jurassic Park". Pare che l'idea originaria di Minsky prevedeva che i dinosauri fossero delle macchine, e successivamente Crichton li concepì come il risultato di una clonazione.

Nel 1988 scrisse un celebre libro intitolato "La società della mente", in cui viene descritta una vasta teoria cognitiva che lui aveva cominciato a sviluppare nei primi anni Settanta.
Oltre al prestigioso Turing, Minsky è stato insignito di molti altri premi e onorificenze. Attualmente è professore emerito al MIT.
Un giorno Isaac Asimov affermò, tra il serio e il faceto: "Solo due persone sono più intelligenti di me. Una è Carl Sagan. L'altra è Marvin Minsky."

Un'appassionante storia di uomini e simboli

Meglio tardi che mai. Come promesso, a un paio di mesi dal lancio dei primi e-book di "Altramatematica", comincio a recensire i librini degli altri autori della collana.
Non lo faccio perché si tratta di amici e colleghi blogger, ma perché penso sinceramente che si tratti di ottime opere divulgative di matematica, e che valga senz'altro la pena di spendere questi pochi cent per acquistarli.

Comincio da "Più per meno diviso", di Peppe Liberti, che come tutti gli altri trovate disponibile su Amazon, Bookrepublic, e su tutti i migliori store su internet.
Dico subito che il libro è assolutamente da leggere. 
Spesso diamo per scontato che gli strumenti che utilizziamo quotidianamente siano, per così dire, sempre esistiti, e dimentichiamo che in realtà sono stati inventati o selezionati attraverso lunghe e faticose vicissitudini. 

Se il sistema di numerazione che impieghiamo non è certo l'unico esistente, e i nostri antenati di mille anni fa nemmeno lo conoscevano, i simboli che usiamo per far di conto (cioè il più, il meno, il per, il diviso e l'uguale) sono pure convenzioni e stati adottati e (parzialmente) standardizzati in tempi ben più recenti, certamente dopo l'invenzione della stampa a caratteri mobili.
In questo bel libro Peppe Liberti ci racconta la storia di come i segni che oggi utilizziamo si siano affermati come "standard". "Come se fosse facile, lasciare un segno", recita il tweet dell'autore. Ed è proprio vero: la vicenda che ha portato all'adozione dei segni odierni è una vicenda molto umana, in cui i contrasti personali e ideologici hanno avuto un peso decisivo.

Leggendo questo librino si ha, a tratti, la sensazione di leggere un appassionante romanzo: ma la storia che Liberti ci racconta è rigorosamente supportata da precisi riferimenti storici e documentali. Insomma, all'autore va riconosciuto il merito di aver condotto un'accurata ricerca e di averla saputa narrare con ironia e leggerezza.

Un punto fermo

Oggi è uscito un nuovo titolo della collana Altramatematica (iniziativa della casa editrice 40K Unofficial): s'intitola "Un punto fermo" e lo ha scritto il bravo Roberto Zanasi, già autore di "Verso l'infinito ma con calma".
L'e-book è disponibile su Amazon, su Bookrepublic e su tutti i migliori store.
Anche se la fama dell'autore fornisce già di per sè garanzia della qualità del lavoro, lo leggerò senz'altro e ne parlerò prossimamente su queste pagine.

Prima di recensire lo Zar, tuttavia, riporterò in questo blog le mie impressioni sui due libri della collana che sono usciti per primi, in dicembre.

Carnevale della Matematica #70 su Rudi Matematici

Il Carnevale della Matematica di febbraio ha due straordinarie peculiarità: cade sempre in periodo genuinamente carnevalesco (cosicché, almeno una volta ogni tanto noi blogger festeggiamo il Carnevale quando è Carnevale davvero), e coincide con la festa degli innamorati.
A celebrare cotanto accumularsi di lieti eventi quest'anno sono stati chiamati i sommi maestri universalmente noti come Rudi Mathematici, i quali hanno allestito la rassegna sul loro blog de Le Scienze (quello in cui Rudi Matematici si scrive senza l'acca).
Ebbene, Rudy d'Alembert, Alice Riddle e Piotr Silverbrahms hanno realizzato un Carnevale che dire ghiotto e succulento è dire poco.
Il tema che i Rudi avevano proposto era interessante e curioso, secondo la tradizione del prestigioso trio: "È più scientifica la matematica o è più matematica la scienza?" 
I contributi che sono arrivati hanno consentito di esplorare questo spunto da molteplici punti di vista, offrendo motivi di riflessione e di approfondimento davvero interessanti.
Mr. Palomar, giunto come spesso accade in zona Cesarini, ha contribuito con un solo post, quello sul Numero di Bacon... e quello di .mau.
Che dire? Complimenti a tutti i partecipanti e ai Rudi padroni di casa. Il Carnevale di marzo sarà ospitato da DropSea. Buon Carnevale e buon San Valentino a tutti!

Il numero di Bacon... e quello di .mau.

Vi è mai capitato di chiedervi quanta distanza vi separa dalle persone più influenti e famose del pianeta?
Se consideriamo la stretta di mano come il contatto "standard" che sancisce il legame tra due persone, quanto siete lontani da Barack Obama? In altre parole, quante strette di mano vi uniscono al presidente americano?
Se in qualche occasione avete avuto l'opportunità di stringergli direttamente la mano, bè, siete fortunati: la distanza è pari a 1, nel senso che tra voi e lui c'è una sola stretta di mano.
Se non avete avuto questo onore, ma un vostro conoscente (al quale avete almeno una volta stretto la mano) invece sì, dovete accontentarvi di una (comunque invidiabile) distanza uguale a 2. E così via.
La teoria dei sei gradi afferma che una catena di sei strette di mano è tipicamente sufficiente per collegare qualsiasi essere umano all'inquilino della Casa Bianca, o, in generale, a qualsiasi altro persona sulla faccia della Terra. E il concetto può essere esteso ad altre tipologie di relazione sociale: per esempio le amicizie su Facebook.
Questa teoria si ricollega all'esperimento che lo psicologo americano Stanley Milgram condusse nel 1961: furono scelti alcuni cittadini del Midwest, ai quali fu chiesto di spedire un pacco a un ignoto abitante del Massachussets. Ogni partecipante conosceva il nome e lo Stato del destinatario, ma non l’indirizzo esatto: il loro compito era inviare il pacco alla persona che secondo loro poteva avere maggiori probabilità di conoscere il destinatario. Questa persona avrebbe fatto a sua volta la stessa operazione, fino ad arrivare, dopo un certo numero di passi, a consegnare il pacco al destinatario finale. Alla fine, i pacchi vennero consegnati, in media, in soli 6 passi.

Fin qui tutto bene: ma Bacon, cosa c'entra? Prima di tutto sto parlando di Kevin Bacon, l'attore americano. Si tratta di uno che ha recitato in moltissimi film (tanto per citarne tre a caso, "Footloose", "Apollo 13" e "Mystic river"), e che quindi ha all'attivo collaborazioni con centinaia di altri attori.
Nulla, quindi, ci impedisce di considerare, anziché la stretta di mano o l'amicizia sui social network, la relazione che intercorre tra due attori che hanno recitato nello stesso film.

La domanda è allora la seguente: quanti passi separano un attore qualsiasi da Kevin Bacon?
Kevin Costner ha lavorato con Bacon in "JFK": quindi al fascinoso regista di "Balla coi lupi" viene assegnato un numero di Bacon pari a 1.
Toni Servillo, invece, ha un numero di Bacon uguale a 2, perché ha recitato in un film del 2011 intitolato "Il gioiellino" in cui compariva anche l'americano Jay Sanders, il quale lavorò con Bacon in "Starting over" del 1979.
Se volete divertirvi a trovare il numero di Bacon del vostro attore preferito, guardate qui (il programma funziona grazie al famoso database di dati cinematografici e televisivi IMDb). Dopo un po' di prove vi accorgerete di un fenomeno molto curioso, e certamente inaspettato: anche gli attori apparentemente lontani dal mondo di Hollywood, al quale appartiene il buon Bacon, possono vantare quasi sempre numeri di Bacon molto bassi. Numeri di Bacon uguali o superiori a 6 sono davvero molto rari: attori con un numero di Bacon superiore a 9 non ce ne sono proprio, e la media si aggira intorno a 3.

Il numero di Bacon è l'analogo cinematografico del numero di Erdös. In questo caso si considerano legati tra di loro i matematici che hanno lavorato insieme ad un articolo scientifico. Il numero in questione è la distanza tra un matematico qualsiasi e il celebre Paul Erdös: è stato rilevato che la stragrande maggioranza dei matematici ha numeri di Erdös minori di 8, e la media è circa 4,65. Non sono noti numeri di Erdös maggiori di 15.
Attori e matematici sembrano appartenere a due mondi molto diversi tra di loro. Nonostante questo, o forse proprio per questo, qualcuno si è inventato una metrica che corrisponde alla somma tra il numero di Bacon e quello di Erdös: il numero di Erdős-Bacon, appunto.
Proprio per la distanza tra cinema e matematica, sono poche le persone al mondo che possono vantare un numero di Bacon e nel contempo un numero di Erdös, e questo rende particolarmente interessante questa applicazione semiseria della teoria dei sei gradi di separazione. Pare che il più piccolo numero di Erdős-Bacon, 3 per la precisione, appartenga a un tale David Kleitman, un matematico del MIT che non solo ha scritto alcuni articoli insieme a Erdős, ma ha avuto la ventura di apparire nel film "Will Hunting“, nel quale recitava anche l'attrice Minnie Driver, già collaboratrice diretta di Bacon.

Ora, tanto per buttare la faccenda ancora più "in vacca", si potrebbe definire in modo del tutto analogo il "numero di .mau.", ambientato nel magico mondo dei Carnevali della Matematica: due blogger sono legati tra di loro se hanno ospitato due Carnevali rispettivamente adiacenti.
Ad esempio, il mio primo Carnevale è stato quello dell'agosto 2012. Il mese prima (luglio 2012) era stato il mitico Popinga ad organizzare l'evento carnevalesco, mentre a settembre fu la volta dei sommi Rudi Mathematici. Il sottoscritto ha allestito anche il Carnevale del luglio 2013: sia il mese precedente (giugno 2013) che quello successivo (agosto 2013) portano la firma di Popinga.
In definitiva, il mio nodo nel grafo è collegato soltanto a Popinga e ai Rudi.
Il numero di .mau. di un blogger è il numero minimo di passi che lo separano dal fondatore del Carnevale della Matematica, ossia Maurizio .mau. Codogno.
Nel mio caso, se non m'inganno, il numero è 2, perché a maggio 2013 le "Notiziole" ospitarono la prestigiosa rassegna, un mese prima che lo facesse Popinga.
So già che vi siete già messi a misurare il vostro numero di .mau.: bè, fate pure, io mi fermo qui. E buon divertimento (e sappiate che invidio già un po' quelli che possono esibire un numero di .mau. uguale a 1).

La matematica dei Pink Floyd

Fino a poco tempo fa, se qualcuno mi avesse chiesto di confessare un mio grande sogno, probabilmente gli avrei risposto: "scrivere un libro".
E si sa, i sogni della vita sono desideri che, quando li fai, mica ti aspetti che si realizzino il giorno dopo, così, facilmente. Anzi, quasi quasi pensi che siano impossibili: se no, non sarebbero sogni davvero grandi.
Eppure, oggi questo mio sogno si è realizzato.
Qualche mese fa, mentre ero in treno, mi è arrivato uno di quei messaggi che valgono da soli una vita, o meglio, appunto un sogno: mi proponevano di scrivere un librino sulla matematica dei Pink Floyd, prendendo spunto (ma approfondendo e allargando) da alcuni miei post scritti tempo fa.

Eccolo qui, il librino. Uscito oggi. È la terza uscita di una bella collana di e-book che si intitola Altramatematica, e che, ormai lo sapete, è pubblicata da 40k Unofficial.
Lo potete trovare su tutti i migliori store, per esempio su Amazon e su BookRepublic, all'imbattibile prezzo di un caffè: 0,99 euro.


Riporto qui la quarta di copertina:
Se pensate che la matematica sia fatta soltanto di aride formule e noiosi calcoli con polinomi e frazioni, vi sbagliate di grosso. La matematica, quella vera, è ovunque: perfino nei testi delle canzoni e nelle copertine dei dischi. E il bello è che è pure divertente. Però prima bisogna saperla scovare. Questa è una piccola guida alla scoperta della matematica nascosta negli album e nei brani di una delle rock band più famose di sempre, i Pink Floyd: dai bit dal sapore orientale in "The piper at the gates of dawn" fino al prisma di "The dark side of the moon", passando dai giochi autoreferenziali di "Ummagumma".

Ecco qua. Se non sopportate la musica rock ma vi piace la matematica, dovete comprarlo, perché i Pink Floyd sono alla fine un pretesto per parlare di matematica. Se detestate tutto ciò che è matematica ma siete affascinati dalla psichedelia e dal prog, non ve lo potete perdere, perché la matematica di cui si parla è molto pop. Anzi, decisamente rock.
Ah, dimenticavo: quel giorno che ero in treno, a propormi di scrivere il libro era Maurizio Codogno, che non ha bisogno di presentazioni. Lo ringrazio di cuore per aver creduto in me.
Un ringraziamento specialissimo va anche all'amico Popinga, perché in questa cosa c'entra molto anche lui.
E dato che sono in tema, un grazie anche a mia moglie, perché in progetti come questo mi dà sempre ottimi consigli: e senza di lei i sogni sarebbero più difficili da realizzare.
Buona lettura a tutti!

Carnevale della Matematica #69 su Matem@ticaMente

Comincia con il botto il 2014 dei Carnevali della Matematica: sul bel blog Matem@ticaMente di Annarita Ruberto è uscita oggi l'edizione numero 69.
Si tratta di un allestimento davvero ricchissimo: addirittura 82 contributi e 61 partecipanti!
Annarita ha realizzato una splendida introduzione sulla storia delle macchine matematiche antiche e moderne, che costituiscono il tema centrale del Carnevale.
A seguire, i contributi dei partecipanti suddivisi in ben sette sezioni.
Il blog che state leggendo è presente con un nostalgico post dell'albero binario di Natale, un ricordo di Richard Hamming, e un'intervista a una docente universitaria di statistica.
Il mio plauso va comunque agli altri partecipanti, e ad Annarita che, com'è sua abitudine, ha confezionato il tutto nel migliore dei modi. La prossima edizione sarà ospitata dai Rudi Mathematici sul blog de Le Scienze.
Buona lettura (se non l'avete ancora letto)!