lunedì 14 dicembre 2015

Carnevale della Matematica #92


Canta, canta delizioso.
(dalla Poesia gaussiana)


Benvenuti al Carnevale della Matematica n. 92, il quarto ospitato da Mr. Palomar.
Strano tipo, direte voi, questo Mr. Palomar: sparisce per molte settimane, poi se ne esce a dire che finalmente il silenzio è finito e i post torneranno più frequenti che pria, e invece scompare ancora più a lungo, per riemergere solo oggi, in occasione della solenne celebrazione carnevalesca.
Avete ragione: gli impegni e le vicissitudini di vario tipo mi hanno sopraffatto in questi ultimi mesi, e sono riuscito a scrivere pochissimo. Spero di tornare gradualmente alla normalità e soprattutto di mantenere le promesse. Qualcuno si sarà chiesto, ultimamente, se questo blog è ancora un blog reale o se è diventato qualcosa di immaginario. Ecco allora che il tema da me proposto per questa edizione, "Matematica reale e matematica immaginaria" cade proprio a fagiuolo.
Per esempio, Mr. Palomar contribuisce al Carnevale con un post del tutto immaginario: tanto immaginario che non esiste nemmeno.
Naturalmente il tema poteva essere declinato in molti modi: dal significato propriamente matematico di "reale" e "immaginario", a interpretazioni più libere e fantasiose.
E in effetti i partecipanti, che ringrazio fin d'ora, hanno sfoderato tutta la fantasia e brillantezza possibili per offrire contributi di alta qualità: alcuni deliziosamente in tema, altri meravigliosamente fuori tema.

Ah! Se vogliamo iniziare dignitosamente il Carnevale, non posso dimenticare due riti che ormai sono diventati tradizione: il motto gaussiano, derivante dalla poesia dell'unicità della fattorizzazione concepita dal Sommo Popinga, e la cellula melodica, genialmente ideata e gentilmente fornita da Flavio Ubaldini, anche noto come Dioniso Dionisi.

Il motto del Carnevale n. 92 è riportato all'inizio di questo post, mentre la cellula melodica è la seguente:



E finalmente cominciamo con i contributi.

Davide Passaro, dal sempre stimolante blog Math is in the air, dedicato al divulgazione della matematica applicata, ci segnala diversi articoli.
Il primo è un'intervista in due parti ad  A. Vulpiani, professore di fisica teorica dell'università "La Sapienza" di Roma, sul suo libro "Caso, probabilità, complessità" e su molte altre questioni come il rapporto fra politica e ricerca, la scuola, l'università. Trovate nei link seguenti la prima parte e la seconda parte.
Il secondo articolo segnalato da Davide si intitola Dalle distanze non Euclidee alle geometrie non euclidee, ed è un articolo di Pasquale Napolitano in cui, partendo da Totò e Peppino e le loro domande "per andare dove devo andare", si arriva alle geodetiche e alle geometrie non euclidee.
(Otto) gambe in spalla - Modelli matematici discreti è la prima parte di un articolo di F. Calimera incentrato sull'introduzione a livello didattico di possibili modelli matematici discreti.
Matematica e biologia insieme: una introduzione è invece un post di Fabio Peluso che analizza alcuni possibili  esempi di connessioni fra la matematica e la biologia.
L'abbondante carrellata si chiude con la terza parte di 'Formule Incredibilmente Belle Osano Numerare Anche i Conigli! Che Ilarità!', serie di articoli dedicati a Fibonacci scritti da Francesco Bonesi, dove si parla dell'equazione Aurea, di "Paperino nel mondo della matemagica" e della canzone "Lateralus" dei Tool.


Annalisa Santi, dal bel blog Matetango, segnala due deliziosi post contenenti considerazioni e paralleli tra fumetti e matematica reale e/o immaginaria.
Nel primo, Fumetti.....Matematica reale e immaginaria!, Annalisa si regala una carrellata di cartoons a tema matematico, e nel secondo, Numeri Immaginari.....Matematica reale o immaginaria?, ci propone un viaggio alla scoperta dei numeri immaginari accompagnata dai fumetti Calvin & Hobbes da lei rielaborati.

Il poliedrico blog Zibaldone Scientifico, nella persona di Mauro Merlotti, propone un post intitolato Media armonica", che cerca di spiegare come sia facile lasciarsi ingannare dall’intuito e viceversa non sia semplice districarsi tra le varie medie. Ogni media, osserva Merlotti, ha un suo perché, ed è solo questione di capire quale usare.
Lo Zibaldone è persino riuscito a offrire un post in tema: si tratta di un articolo uscito in passato sul blog, dal titolo Argomenti Complessi.

Il già menzionato Dioniso Dionisi, oltre ad avere confezionato la cellula melodica, impacchetta due post per il presente Carnevale.
Nel primo, ll paradosso del mentitore è davvero un paradosso?, si affronta lo spinoso enigma posto nell'antichità da Epimenide, che per l'occasione viene spostato da Creta al Bel Paese: "se dico che tutti gli italiani sono bugiardi e io sono un italiano, genero un paradosso?"
Il secondo, Un parere estetico-matematico sulla dodecafonia, è un divertente e brevissimo post sulla (diciamo così) difficoltà (già analizzata scientificamente dal fisico Andrea Frova) di amare certi generi di musica.


Ed eccoci arrivati alla consueta ricchissima offerta dei Rudi Mathematici. Piotr, Rudy e Alice, indiscussi maestri della matematica ricreativa italiana, mi scrivono annunciandomi che (testuali parole) il mio Carnevale "non sarà infettato da nessun compleanno di RM". La valente redazione pubblica infatti un compleanno al mese (solare), mentre (cito i Rudi di nuovo) "il Carnevale copre i post che vanno dal 15 del mese N-1 al 14 del mese N: ebbene, quello di Novembre è uscito prima del 14/11, e quello di dicembre uscirà dopo il 14/12". Bè, ce ne fossero di agenti infettatori come i compleanni dei Rudi Mathematici!
Ed ecco i contributi provenienti dal blog Rudi Matematici su Le Scienze.
Rudy, alacre GC, sta da tempo rivisitando gli enigmi di Canterbury, e questa volta tocca all’Enigma del Chierico di Oxford: curiosa assonanza, dato che il cognome reale del Grande Capo è Clerico.
Sempre dalla penna di Rudy arriva un post che insegna a risolvere i sudoku: Numeri celibi. Che c'entra il celibato con il sudoku? C'entra, c'entra... leggete e capirete.
I Rudi poi ci sfidano a pronunciare correttamente al primo tentativo il titolo del loro post Kolowis Awithlaknannai, dove si parla di un gioco inventato dagli indiani Zuni, giocato su una scacchiera con quindici incroci e quarantasei pedine.
Ecco il consueto post di soluzione al problema pubblicato su “Le Scienze”: si parlava di un soggiorno messo a soqquadro per far spazio ad un percorso di post-it, sopra i quali c'erano disegnate delle frecce che indicavano la strada verso le ciotole delle crocchette della gatta...
Infine, i Rudi mi fanno presente di essere riusciti a produrre il numero 203 della loro prestigiosa e-zine in tempo per poterlo comunicare durante questo Carnevale: onorato, cari amici!
E poi attenzione: sta per uscire con furore anche il leggendario Calendario 2016 di Rudi Mathematici. Restate in ascolto.

Il fondatore del Carnevale, Maurizio Codogno, propone come al solito una serie lunghissima di contributi. Due provengono dal Post: La musica più brutta del mondo, pillola nella quale si parla di musica ma anche di matematica, e Teoremi e probabilità, post in cui .mau. spiega come un teorema possa essere dimostrato anche con metodi probabilistici.
Dalle Notiziole Codogno si rivela meglio di Babbo Natale in quanto a generosità. Ecco i tradizionali quizzini della domenica: Controcorrente, Gemelli, La successione misteriosa, Parchimetro, Prodotti speciali. Non mancano due recensioni di libri, che questo mese non sono del tutto positive: Il museo dei numeri e Giocando alla matematica. Chiudono due post di "povera matematica": Secoli di calcoli e ragionamenti molto complessi (e poi ci stupiamo che le banche falliscano...) e 51% (un errore di approssimazione?).
Sugli Archivi .mau. propone quella che lui stesso definisce una"lerciata": Il professor Menoch e l'ipotesi di Riemann.
E infine, segnala che è uscito un suo nuovo libro, nell'ambito della collana "Altramatematica" di 40K: si intitola Alfabeto matematico ed è un e-book che non tratta di concetti matematici ma di etimologie di parole di interesse matematico.


Leonardo Petrillo mi racconta che, ispirato dal tema di questo Carnevale, ha voluto intraprendere nel suo sempre appassionante blog Scienza e Musica, un Viaggio nell'immaginario mondo dei numeri complessi, che si conclude con un bel passo tratto dal recente "Storia dei simboli matematici" di Joseph Mazur.

E quindi, Cramer? è il brillante contributo di Roberto Zanasi e del suo blog Gli studenti di oggi: riprendendo un post ospitato dal precedente Carnevale, lo Zar fornisce una spiegazione visiva del funzionamento della regola di Cramer (si segnala che questo post è introduttivo e che la spiegazione completa uscirà nel prossimo post, per il prossimo Carnevale).

Gianluigi Filippelli partecipa al Carnevale con tre interessanti pezzi usciti sul notevole blog DropSea.
Il moto perpetuo, per la serie dei Rompicapi di Alice, è un bel post con tanta fisica, ma anche un po' di matematica: tra i personaggi coinvolti, il matematico e astronomo indiano Bhaskara II e la sua ruota perpetua, e George Biddell Airy, che esamina matematicamente il problema.
Per le recensioni, Filippelli propone Il segreto di Majorana: fumetto impressionista: è la recensione del libro di Francesca Riccioni e Silvia Rocchi sul fisico teorico Ettore Majorana, scomparso senza lasciare traccia.
Infine, Tuono Pettinato racconta Albert Einstein racconta come, per i cento anni della relatività generale, Le Scienze abbia pubblicato un bel fumetto veloce e leggero di Tuono Pettinato dedicato ad Einstein e alla sua scoperta.

Il Coniglio Mannaro di Spartaco Mencaroni regala al Carnevale Tabelle immaginarie. Cito testualmente dal messaggio inviatomi dall'autore: "uno sproloquio in libertà sulla matematica, le liste e le tabelle che usiamo tutti i giorni. Di immaginario, via via che scrive, ce ne mette parecchio, visto che si spinge a immaginare tabelle solide e N dimensionali, con cassetti infiniti e "spazi negativi".



E infine ecco la generosissima serie di contributi provenienti da MaddMaths!
Chi è John M. Smith? Cos'ha di umido la matematica? Che c'entra con l'evoluzione? Perché la Natura seleziona forme matematiche per ottenere vantaggio evolutivo? Scopritelo leggendo la settima puntata della rubrica "La matematica umida dell'evoluzione" di Davide Palmigiani, pubblicata in occasione dell'Evolution Day: questa festa si celebra ogni 24 novembre e rievoca la pubblicazione dell'Origine delle specie di Charles Darwin, avvenuta il 24 novembre 1859.
In Il matematico László Babai propone un algoritmo efficiente per il confronto di reti, Vincenzo Bonifaci racconta di come recentemente il matematico e informatico americano di origine ungherese László "Laci" Babai abbia annunciato di aver trovato un algoritmo quasipolinomiale per il problema dell'isomorfismo di grafi.
Per la rubrica "Ripetizioni", Davide Palmigiani propone Puntata 5: "Libri" ("abbiamo cominciato a scuola con la teoria degli insiemi! Unioni, intersezioni, sottrazioni, prodotti cartesiani...appartiene, contenuto...uno strazio!") e Puntata 7: "Cioccolato" ("Magia! Cioccolato infinito! Abbiamo risolto il problema della fame nel Mondo! Ma smettila, non è che se togli un quadretto da una tavoletta di cioccolata ti rimane la stessa quantità magicamente!”).
Per l'Angolo arguto, Corrado Mascia e Davide Palmigiani hanno scritto Far saltare la mosca al naso (di Turing). Come recita l'abstract, "neppure dopo il morso di una velenosa mela al cianuro Alan Turing riesce a riposare tranquillo. Questa volta è il ronzio di una specie di mosca a disturbare il suo riposo. Colpa (o merito) di un gruppo di ricerca russo che sostiene, in questo articolo, di aver visto strutture di Turing nella cornea di una Drosophila, insetto noto anche come moscerino della frutta".
Infine, l'Alfabeto: in S come spettro Corrado Mascia ci assicura che non ci vuole coraggio per affrontare uno spettro, piuttosto il contrario.

Chiudo ringraziando di cuore tutti i partecipanti che hanno contribuito con generosità e con bravura. 
Appuntamento a gennaio 2016 per la prossima edizione, e lunga vita al Carnevale della Matematica!

venerdì 23 ottobre 2015

Matematica e... musica

Molti di voi conoscono già il sito Xlatangente, noto per realizzare una bellissima rivista online di divulgazione matematica. Oltre alla rivista, il sito offre una ricchissima varietà di contenuti e rubriche, tutti inerenti al mondo della matematica.
Ho apprezzato fin da subito il taglio leggero e giocoso, eppure sempre rigoroso, che costituisce il marchio di fabbrica di Xlatangente. Inutile dire che il giorno in cui i responsabili di questo progetto, principalmente Anna Betti e Gilberto Bini, mi hanno contattato per propormi di collaborare al sito, è stato per me un giorno di felicità.

Già molti mesi fa era uscita una intervista al sottoscritto intorno a "La matematica dei Pink Floyd", che poi è stata inserita nel numero 3 della prestigiosa rivista.
Da oggi parte la rubrica "Matematica e... musica", nella quale racconterò, senza cadenza fissa, le mie esplorazioni nel mondo dei legami tra la scienza dei numeri e l'arte dei suoni (o, se preferite, tra l'arte dei numeri e la scienza dei suoni).

Come scrivo nella breve presentazione della rubrica:

Il filosofo tedesco G. W. von Leibniz affermò che la musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare.
La musica, in effetti, non è soltanto un'arte, ma anche una disciplina profondamente permeata di aspetti scientifici, e in particolare matematici.
In questa rubrica cercheremo di esplorare questi collegamenti: ciò ci aiuterà a scoprire come la cultura non sia formata da compartimenti stagni, ma, piuttosto, da facce appartenenti a un unico poliedro.


Il primo articolo, "La matematica delle scale musicali (parte I)" è già online.
Ringrazio la redazione di Xlatangente per l'opportunità offertami.
Buona lettura a tutti!

venerdì 16 ottobre 2015

La matematica nel pallone

Ne ho fatto un altro. Parlo di libri, ovviamente.
Questa volta, però, niente più suggestioni orientaleggianti e psichedeliche alla Syd Barrett, niente LP con copertina-matrioska, niente prismi newtoniani o quadrati latini.
No, questa volta sono di scena personaggi come Messi e Recoba, per non parlare di Trapattoni e Boškov, luoghi come il Santiago Bernabéu di Madrid o il Maracanà di Rio, oggetti come il pallone da calcio.

Così recita la quarta di copertina:
È possibile prevedere scientificamente i risultati delle partite di calcio? Gli allenatori possono sfruttare la matematica per vincere di più? Come si fa a organizzare un perfetto calendario di partite per un campionato? Cosa c’entra con la matematica lo stadio “Santiago Bernabeu” di Madrid? È vero che la palla è rotonda? Ai Mondiali del 2014 si è giocato davvero con un pallone cubico? A queste e a molte altre domande risponde questo piccolo libro sulle relazioni tra la scienza dei numeri e il calcio. Perché in fin dei conti la matematica si trova anche lì, nello sport più amato del mondo: ed è più divertente di quanto possiate immaginare. 

Come il mio precedente, anche questo libro è pubblicato da 40K, l'iniziativa editoriale di Bookrepublic, e rientra nella collana Altramatematica.
È disponibile come e-book, al prezzo imbattibile di 1,99 euro, su tutti i negozi online, per esempio  Bookrepublic e Amazon.
Mi sono divertito molto a scrivere questo librino: spero che anche voi possiate trascorrere un paio di ore piacevoli in sua compagnia.

domenica 27 settembre 2015

Gli enigmi di Coelum: "Permette una domanda?"

Tornano gli enigmi matematici pubblicati sulla rivista Coelum Astronomia, nella mia rubrica "Moebius": questa volta ripropongo un problema duplice, di carattere prettamente logico, uscito sul numero 177 della rivista.
In quell'articolo raccontai un mio sogno.
Mi trovavo su un’astronave, in procinto di atterrare su un pianeta misterioso. Il pilota, che proveniva da un lontano sistema solare, mi spiegò che gli abitanti del mondo che dovevamo raggiungere erano tutti bugiardi, senza eccezione.
Precisò poi che, tra gli otto pianeti del sistema solare, alcuni (i cosiddetti pianeti neri) sono proprio così, cioè abitati da bugiardi, mentre gli altri (i pianeti bianchi) sono popolati unicamente da persone sincere.
E quando si parla di sinceri e bugiardi, s’intende una cosa netta: un sincero dice sempre e soltanto cose vere, e un bugiardo afferma esclusivamente e costantemente il falso. Dopo una fugace visita al pianeta, ci ritrovammo sull'astronave, e il comandante mi pose due enigmi: se non li avessi risolti entrambi, sarei stato ucciso.

I problemi erano i seguenti:
1) Un preziosissimo tesoro è conservato in uno degli otto pianeti, e per determinare quale fosse questo pianeta potevo soltanto porre tre domande (la cui risposta poteva essere soltanto sì o no). Su ogni pianeta era pronto a rispondere un rappresentante della popolazione, e io dovevo scegliere a quali di questi delegati rivolgere ogni domanda. 
2) Sul pianeta del tesoro vi erano due cavità, una delle quali conteneva l’incalcolabile fortuna. Un indigeno svolgeva la funzione di custode del prezioso scrigno, coadiuvato nella sua funzione da un forestiero. L’unico indizio che avevo per capire a chi dovevo domandare la posizione del tesoro era una frase del forestiero: “Io e il mio capo proveniamo da due pianeti dello stesso colore”. 

Raymond Smullyan
L’enigma proposto s’inquadra, più o meno, in un filone di problemi di logica inventati dal geniale e poliedrico Raymond Smullyan. Nato a New York nel 1919, Smullyan è uno dei logici più famosi del nostro tempo, nonché un brillante inventore di giochi e rompicapi. Si occupa anche di musica (è un valente pianista), di prestidigitazione e di filosofia.
L’ambientazione tipica degli indovinelli di Smullyan è un’isola immaginaria abitata esclusivamente da “cavalieri”, cioè persone sempre sincere, e da “furfanti”, che sono solo capaci di mentire. Di solito il racconto prevede che un visitatore sbarchi sull'isola e s’imbatta in alcuni suoi abitanti: dalle loro affermazioni deve capire se si tratti di cavalieri o furfanti, e ricavare altre informazioni.

Ecco un esempio classico di questo tipo di indovinelli: il visitatore incontra due abitanti dell’isola, Alice e Bob. La prima afferma che sia lei che Bob sono furfanti. Si tratta di capire se i due sono sinceri o bugiardi. Ebbene, per scoprirlo basta un piccolo ragionamento. Supponiamo che l’affermazione di Alice sia vera, cioè che Alice sia una furfante: ma se è così, non può mai dire cose vere, quindi dobbiamo scartare questa ipotesi.
Ne consegue che la frase è falsa, cioè non è vero che sia Alice che Bob sono furfanti. D’altra parte Alice non può essere un cavaliere, perché se così fosse non avrebbe affermato il falso. Quindi l’unica possibilità è che Alice sia una furfante e Bob un cavaliere.

Torniamo al nostro enigma. Anche questo, come il precedente sul “Palomar Cube”, non era di immediata soluzione. Ma come nel caso precedente non occorrevano particolari conoscenze logiche o matematiche per risolverlo: bastava un po’ di ragionamento logico e un pizzico di pazienza. Vediamo come poteva essere risolto il problema, iniziando dal primo quesito, quello della determinazione del pianeta del tesoro.
I pianeti possibili sono 8, da Mercurio a Nettuno, e le domande a disposizione sono 3, per ciascuna delle quali vi sono 2 possibili risposte (sì o no). Non a caso, 2 elevato alla 3 è proprio uguale a 8. La serie di domande deve essere quindi organizzata in modo che a ogni risposta il numero di pianeti candidati si dimezzi: dopo la prima risposta avremo 4 pianeti ancora in lizza, dopo la seconda risposta questi si saranno ridotti a 2, e finalmente la terza risposta ci fornirà l’indicazione risolutiva. Il grosso guaio è che quando rivolgiamo una domanda al rappresentante di un pianeta, non possiamo sapere a priori se quel pianeta sia bianco o nero, cioè se il nostro interlocutore sia sincero o bugiardo.
Come fare, allora? Il trucco consiste nel formulare le domande in un modo un po’ particolare. Supponiamo che io chieda di parlare con il rappresentante di un pianeta qualsiasi, diciamo Giove, e gli rivolga la seguente domanda:

«Se tu fossi il rappresentante di un pianeta di colore opposto al tuo, e ti venisse rivolta la domanda “Il pianeta col tesoro è uno dei primi quattro del sistema solare?”, come risponderesti?» 

Fateci caso: indipendentemente dal fatto che il nostro interlocutore gioviano sia sincero o no, la sua risposta sarà, per così dire, la combinazione tra la risposta di un sincero e quella di un mentitore, per cui sarà sicuramente il contrario della verità.

Vediamo la cosa più in dettaglio: se Giove è pianeta di galantuomini, il nostro interlocutore è sincero. Ma noi gli chiediamo di immaginare di essere un bugiardo! Quindi, da sincero qual è, il gioviano ci risponderà, candidamente, come farebbe un bugiardo, e noi dovremo assumere come vera la risposta opposta alla sua. Se, ad esempio, lui rispondesse “Sì”, saremmo certi che il tesoro si trova in uno nei pianeti esterni del sistema solare.

Una formulazione leggermente diversa della domanda è la seguente:

«Se tu rivolgessi al rappresentante di un pianeta di colore opposto al tuo la domanda “Il pianeta col tesoro è uno dei primi quattro del sistema solare?”, come risponderebbe?» 

Anche in questo caso la risposta risulterà dalla concatenazione tra la risposta di un sincero e quella di un mentitore, e dovremo considerare l’opposto per arrivare alla verità.
Invece, consideriamo la seguente formulazione alternativa:

«Se tu chiedessi a un tuo concittadino: “Il pianeta col tesoro è uno dei primi quattro del sistema solare?”, lui come risponderebbe?» 

Questa volta vengono combinate insieme le risposte fornite da abitanti dello stesso pianeta, quindi entrambi sinceri o entrambi bugiardi. Nel primo caso la risposta sarà evidentemente sincera. Nel secondo la risposta sarà l’opposto dell’opposto della verità, quindi ancora sincera. In definitiva, a differenza delle due precedenti, questa nuova formulazione fornirà direttamente la risposta che cerchiamo. In tutti i casi, abbiamo trovato alcune possibili domande che, indipendentemente dalla natura (sincera o meno) degli interlocutori, ci permettono di dimezzare (da 8 a 4) il ventaglio dei pianeti candidati: a seconda della risposta, scopriremo in quale parte del sistema solare si trovi il tesoro. Se il tesoro si trova in uno dei pianeti interni del sistema solare, rivolgeremo di nuovo la stessa domanda, modificata soltanto nella parte in cui ci si riferisce all’insieme dei pianeti candidati. Utilizzando la prima delle formulazioni proposte:

«Se tu fossi il rappresentante di un pianeta di colore opposto al tuo, e ti venisse rivolta la domanda “Il pianeta col tesoro è tra il primo e il secondo del sistema solare?”, come risponderesti?» 

Se invece apprendiamo che il tesoro si trova tra i pianeti esterni:

«Se tu fossi il rappresentante di un pianeta di colore opposto al tuo, e ti venisse rivolta la domanda “Il pianeta col tesoro è tra il quinto e il sesto del sistema solare?”, come risponderesti?» 

La risposta ci permetterà di ridurre a due l’insieme dei pianeti possibili. A questo punto ci basterà ripetere per la terza volta la stessa domanda, opportunamente modificata (ormai avete capito come fare), per arrivare all'individuazione finale del pianeta del tesoro.

Il secondo enigma era un po’ più facile. Supponiamo che l’affermazione del forestiero, “Io e il mio capo proveniamo da due pianeti dello stesso colore”, sia vera. Ciò implica che forestiero e custode siano entrambi sinceri o entrambi bugiardi. Ma se sono entrambi bugiardi, l’affermazione del forestiero non può essere vera, e cadiamo in una contraddizione. Se invece sono entrambi sinceri, contraddizioni non ce ne sono.
Se invece l’affermazione iniziale è falsa, il forestiero e il custode sono l’uno sincero e l’altro bugiardo: e avendo ipotizzato che il forestiero ha mentito, rimane la possibilità che il forestiero sia bugiardo e il custode sia sincero.
Guardate bene: in entrambi i casi, abbiamo dedotto che il custode dev’essere sincero. Questo significa che il pianeta del tesoro è un pianeta bianco, e quindi per scoprire quale sia la caverna del tesoro dobbiamo chiedere al custode, e credere alla sua risposta.
Rivolgendo la domanda al forestiero, invece, non potremmo avere certezze, dato che è impossibile determinare se egli sia sincero o mentitore.
Notate infine che la certezza della sincerità del custode ci rassicura anche sulla verità della sua affermazione iniziale: “Il tesoro si trova in una delle due. Nell’altra c’è un baratro: chi vi entra cade e muore.”
Quell'affermazione rappresentava, in un certo senso, la premessa dell’enigma: se fosse risultata falsa, o indecidibile, avremmo potuto dubitare sulla fondatezza stessa del problema, e sarebbe stato un bel guaio.

Un lettore di Coelum è riuscito a sbrogliare l'intricata matassa, utilizzando la “prima” formulazione per le domande necessarie a individuare il pianeta del tesoro.
Ha anche osservato, correttamente, che le tre domande possono essere indifferentemente poste allo stesso interlocutore, a tre interlocutori diversi su diversi pianeti, o a un “mix” dei due.
Sempre con riferimento al primo dei due enigmi, il lettore ha fatto notare che la struttura delle domande da rivolgere agli abitanti è un albero binario, come quello indicato nella figura a fianco, in cui i nodi interni rappresentano le domande, gli archi le risposte, e i nodi “foglia” indicano i pianeti possibili sedi del tesoro.

giovedì 10 settembre 2015

Il ritorno di Mr. Palomar

Tranquilli, Mr. Palomar è tornato. Non che se ne fosse andato, ma in effetti erano passati quasi due mesi dall'ultimo post, e questo non è molto bello in un blog che si rispetti. Non accadrà più, almeno spero.
In queste ultime settimane sono successe un po' di cose che mi hanno impedito di aggiornare questo spazio con la consueta frequenza. Soprattutto ho cambiato lavoro: sono diventato uno che oltre a raccontare la matematica attraverso libri, articoli e post, da quest'anno cercherà di insegnarla anche a scuola.
Parte una nuova avventura, insomma. Ma intanto Mr. Palomar torna a funzionare come si deve.
Buona lettura a tutti.

giovedì 16 luglio 2015

Carnevale della Matematica #87 su Pitagora e dintorni

Con gli ormai canonici due giorni di ritardo (il caldo africano che ci opprime rende i movimenti lenti e macchinosi, perdonatemi), ecco il reminder di Mr. Palomar per il Carnevale di luglio, ospitato da Flavio "Dioniso" Ubaldini su Pitagora e dintorni.
Con la sua brava cellula melodica e il verso gaussiano "il merlo becchetta", la carrellata si snoda attraverso una generosa serie di segnalazioni sul tema "Matematica e rinascimento", come al solito non vincolante.

Come dice lo stesso Dioniso:

Che cosa si intende per "rinascimento"? Beh, lo potete intendere in tutti i suoi significati: etimologici e non. Fate un po' voi. Potrebbe essere interpretato come il Rinascimento storico, Il Rinascimento artistico, il rinascimento di un'idea, il rinascimento della divulgazione, o... il rinascimento della matematica. O qualsiasi altra interpretazione o non-interpretazione.

Questo blog ha partecipato con  Gli enigmi di Coelum: Palomar Cube, per lla serie degli enigmi matematici pubblicati su Coelum Astronomia.
Complimenti a tutti i partecipanti e a Dioniso.
La prossima edizione del Carnevale, la numero 88, sarà pubblicata il 14 agosto sul blog del Sommo Popinga. Il tema sarà libero, e il verso gaussiano “canta all'alba, canta, canta”.

venerdì 3 luglio 2015

Gli enigmi di Coelum: Palomar Cube


Continua la serie degli enigmi matematici da me pubblicati sulla rivista Coelum Astronomia. Nel numero di dicembre 2013 parlai di cubi, o meglio di cubi 3 × 3 × 3: un oggetto fondamentale, direi, nella storia della matematica ricreativa. Alzi la mano chi non ha mai provato, almeno una volta, a mettere in ordine il celeberrimo cubo di Rubik, geniale marchingegno ideato nel 1974 dall’architetto ungherese Ernő Rubik (qui a destra).
Da una quarantina d’anni i matematici studiano questo rompicapo in profondità, ricavandone continue sorprese. Ad esempio, una questione matematicamente interessante (e per nulla facile) consiste nel trovare la via più breve per portare il cubo della disposizione ordinata a partire da una situazione iniziale qualsiasi. Questo problema è strettamente correlato ad un altro: qual è il numero minimo di mosse con cui possiamo certamente risolvere il rompicapo partendo da una configurazione qualsiasi? I matematici hanno assegnato a questo numero un nome molto altisonante: il numero di Dio. Nel 1981 fu dimostrato che tale numero non poteva essere maggiore di 52. Successivamente molti matematici cercarono di abbassare il numero, e riuscirono nell’intento. Nel luglio del 2010, Morley Davidson, Tomas Rokicki, Herbert Kociemba e John Dethridge, sfruttando software sofisticati e computer molto potenti, dimostrarono che il numero di Dio è uguale a 20 (avevo approfondito quattro anni fa la questione in un post specifico).

Un altro rompicapo, certamente meno famoso, basato sul cubo 3x3x3, è il cubo Soma, creato nel 1936 dal poliedrico matematico danese Piet Hein. Cercatelo nei negozi: ne esistono versioni in legno molto belle, con le quali vi divertirete un sacco.

Come sottolineavo in un altro mio post del 2011, la vita di Hein sembra uscita da un romanzo: discendente di un altro Piet Hein, comandante navale nella guerra degli Ottant’anni nel Seicento e ricordato in Olanda come eroe nazionale, si arruolò durante la seconda guerra mondiale come partigiano, si sposò quattro volte, ebbe cinque figli, fu matematico, fisico, ingegnere, inventore, divulgatore scientifico, poeta e scrittore.

Ma fu soprattutto un geniale creatore di affascinanti giochi matematici: per esempio l’Hex, studiato da John Nash (quello del film “A beautiful mind”) e descritto da Martin Gardner, e appunto il cubo Soma.
Hein s’inventò questo gioco mentre seguiva una lezione di fisica quantistica di Werner Heisenberg: ebbe l’ispirazione quando il premio Nobel cominciò a parlare di uno spazio diviso in celle cubiche, e cominciò a chiedersi quali fgure possono essere create unendo tra di loro più cubetti.

Il giovane danese concentrò la sua attenzione sulle combinazioni concave di cubetti, e si accorse che con tre cubetti si può creare una sola struttura di questo tipo, fatta a “L”, mentre con quattro cubetti esistono sei diverse figure concave.
Ora, si chiese Hein, quanti cubetti elementari servono per allestire questo kit di sette configurazioni? Contateli: sono in tutto 27.
Piet pensò allora che anche in un cubo 3x3x3 ci sono 27 cubetti elementari, e la domanda nacque spontanea: è possibile assemblare le sette strutture in modo da creare un tale cubo 3x3x3.
La risposta è sì: ed esistono addirittura 240 diversi modi per farlo! E non è finita qui, perché le sette parti possono essere utilizzate anche per creare innumerevoli figure diverse dal cubo 3x3x3, come potete vedere nella figura qui a destra (peraltro largamente incompleta).

Ma veniamo al problema sottoposto ai lettori di Coelum. Prendiamo il cubo di Rubik. Essendo un cubo 3x3x3, i cubetti costitutivi sono in tutto 27. Essendovi 6 facce, ciascuna con 9 quadratini, ci sono 54 quadratini. Come osservavo nell’articolo, nel rompicapo ungherese ci sono tre diversi tipi di cubetti:
  • quelli posti al centro delle sei facce (6);
  • quelli posti sugli angoli (8);
  • quelli posti a metà degli spigoli (12).
In tutto sono 26. Aggiungendo il cubetto nascosto nel centro del cubo grande, arriviamo a 27.
L’enigma proposto era il seguente: scrivere un numero su ciascuno dei 54 quadratini del cubo, in modo che:
  • su ogni faccia del cubo grande ci siano tutti i numeri da 1 a 9;
  • la somma dei numeri presenti sui quadratini esposti da ogni cubetto d’angolo e da ogni cubetto di spigolo sia la stessa.


Va detto subito: non era per niente facile, tanto è vero che soltanto tre lettori erano riusciti a risolvere il problema.

In una delle soluzioni inviate, la somma costante è uguale a 12. La rappresentazione del cubo escogitata dal lettore era molto ingegnosa e molto appropriata per raffigurare tutti i numeri associati ai 54 quadratini:

Il lettore aveva raccontato di essere partito col piede sbagliato, pensando che la somma dovesse essere 10. Poi comprese che 12 poteva essere un numero più promettente. Infatti i cubetti d’angolo sono 8, e quelli e di metà spigolo sono 12: quindi sono in tutto 20, e 20 x 12 = 240; ora, dato che su ognuna delle 6 facce ci sono tutti i numeri da 1 a 9, la somma complessiva dei numeri è pari a (1+2+3+…+9)x6 = 270. Quei 30 mancanti, quindi, si devono suddividere tra i 6 quadratini posti al centro delle facce.
Questo brillante risolutore di enigmi aveva addirittura modificato uno dei suoi cubi di Rubik, sostituendo i bollini colorati con adesivi bianchi e numerandoli poi con un pennarello secondo lo schema trovato. Quindi si era cimentato in un rompicapo del tutto inedito: mescolare il nuovo cubo “pseudo-Rubik”, con i numeri da 1 a 9 al posto dei sei colori, e tentare di riordinarlo!
Il lettore aveva così preso ispirazione dall’enigma originario da me proposto per inventarne un altro, forse ancora più interessante.

Anche un altro lettore aveva trovato una soluzione con somma uguale a 12.


Un terzo lettore aveva inviato in redazione un’analisi del problema splendidamente rigorosa ed esaustiva. La riporto integralmente, anche perché in essa si dimostra in modo ineccepibile come le soluzioni posssibili dell’enigma siano associate alle somme 11, 12 e 13 (quindi non soltanto 12).
Nel contesto di questa trattazione così impeccabile, mi era piaciuta particolarmente l’idea di introdurre la definizione formale di Palomar Cube (abbreviato anche in PC): chissà che un giorno qualche paper scientifico non riprenda questa terminologia, assicurandola definitivamente al lessico matematico (sto scherzando, ma non si sa mai).
Ed ecco a voi l’esposizione del lettore.

L'angolo delle notazioni
Indichiamo con:
  • #ca = numero di cubetti ad angolo, ossia 8
  • #cms = numero di cubetti di metà spigolo, ossia 12
  • Σ(ca) la somma dei 3 valori che appaiono su un cubetto ad angolo
  • Σ(cms) la somma dei 2 valori che appaiono su un cubetto di metà spigolo
  • n(d,i,j) il numero che compare sulla d-faccia del Palomar Cube in posizione (i,j):
  • n(d,i,j) = {1,..,9} per ogni 1≤ d ≤ 6
Assumiamo che le facce siano numerate come quelle di un dado e che le posizioni su ciascuna faccia siano numerate come in una matrice 3×3. Poiché le facce sono numerate come quelle di un comune dado, le facce 1-6, 2-5 e 3-4 sono opposte tra loro. Se d e d* sono due facce opposte del PC definiamo coniugato dell’elemento (d,i,j) l’elemento che corrisponde a (d*,i*,j) dove i*=(10-i) mod 6.
Ad esempio il coniugato di (1,1,1) è (6,3,1), mentre il coniugato di (2,2,3) è (5,2,3).
Con questa notazione il numero associato al cubetto centrale sulla d-faccia di un PC è n(d,2,2) (che ha come coniugato (d*,2,2)) ed inoltre Σ(cc) = Σ(n(d,2,2)) rappresenta la somma dei valori attribuiti a tutti i cubetti centrali del PC.

Che cos'è un Palomar Cube
Un Palomar Cube è per definizione un cubo numerico con la seguente proprietà:
per ogni ca e per ogni cms: Σ(ca) = Σ(cms) = k

k può valere solo 11,12 o 13
Dimostriamo innanzitutto che k è tale che:
10 < k < 14, ossia k può valere 11,12, o 13    (R1)
Osserviamo che per ogni d-faccia:

Σ(n(d,i,j)) = (9*10)/2 = 45

e quindi su tutto il PC:

Σ(n(d,i,j)) = 270

Poiché Σ(ca)= Σ(cms)=k e poiché #ca=8 e #cms=12 allora deve essere:

20k+ Σ(cc) = 270     (R2)

e quindi k < 14.
Inoltre se ponessimo per ipotesi k ≤ 10 allora 20k ≤ 200 ma poiché Σ(cc) ≤ 54 allora la (R2) risulterebbe non vera. Di conseguenza k > 10.

Caratteristica di simmetria
In base alla notazione prescelta, la condizione Σ(ca) = k può essere espressa per ogni cubetto d’angolo in funzione dei numeri che compaiono su ciascuna delle 3 facce come segue:

    1a) n(1,1,1)+n(2,1,1)+n(4,1,3) = k
    2a) n(1,1,3)+n(4,1,1)+n(5,1,3) = k
    3a) n(1,3,1)+n(2,1,3)+n(3,1,1) = k
    4a) n(1,3,3)+n(3,1,3)+n(5,1,1) = k
    5a) n(6,3,1)+n(5,3,1)+n(3,3,3) = k
    6a) n(6,3,3)+n(3,3,1)+n(2,3,3) = k
    7a) n(6,1,1)+n(5,3,3)+n(4,3,1) = k
    8a) n(6,1,3)+n(4,3,3)+n(2,3,1) = k
    dove le 5a-8a sono le relazioni valide per i valori coniugati – termine per termine – delle 1a-4a.
    Analogamente la condizione Σ(cms) = k può essere espressa per ogni cella di metà spigolo come:

       1b) n(1,1,2)+n(4,1,2) = k
       2b) n(1,2,1)+n(2,1,2) = k
       3b) n(1,3,2)+n(3,1,2) = k
       4b) n(1,2,3)+n(5,1,2) = k
       5b) n(2,2,1)+n(4,2,3) = k
       6b) n(2,2,3)+n(3,2,1) = k
       7b) n(6,3,2)+n(3,3,2) = k
       8b) n(6,2,3)+n(2,3,2) = k
       9b) n(6,1,2)+n(4,3,2) = k
       10b) n(6,2,1)+n(5,3,2) = k
       11b) n(5,2,1)+n(3,2,3) = k
       12b) n(5,2,3)+n(4,2,1) = k
      dove anche qui le 7b-12b sono le relazioni valide per i valori coniugati – termine per termine – delle 1b-6b.
      Naturalmente risulterà anche:

      1c) n(1,2,2)+n(2,2,2)+n(3,2,2)+n(4,2,2)+n(5,2,2)+n(6,2,2) = Σ(cc) = 270 – 20k

      Per i nostri scopi possiamo allora senz’altro assumere nel seguito che n(d,i,j) = n(d*,i*,j).
      In questo modo, sarà altresì possibile determinare univocamente i valori dell’intero cubo attraverso tutti i valori attribuiti a 3 facce.

      Soluzione per k=13
      Si nota immediatamente che ‘1’,‘2’ e ‘3’ non possono essere assegnati come valori delle celle di metà spigolo, poiché non esiste alcun valore che possa soddisfare le 1b-12b. Di conseguenza questi valori possono essere attribuiti solo ai cubetti d’angolo o ai cubetti centrali.
      Dalla 1c deriva inoltre che Σ(cc) = 10 per cui è necessario scegliere per i cubetti centrali 6 valori la cui somma è 10. Possiamo considerare valida per i nostri scopi la sequenza (1,1,3,1,1,3).
      Ne deriva che i restanti due ‘1’, i sei ‘2’ e gli altri quattro ‘3’ sono necessariamente valori da assegnare ai cubetti d’angolo. Una possibile assegnazione è quella in cui i due ‘1’ e i sei ‘2’ sono attribuiti a cubetti diversi, mentre i quattro ‘3’ sono distribuiti equamente tra gli ‘1’ e i ‘2’.
      Ne risulta la seguente sequenza (ogni riga rappresenta un elemento delle 8 terne):
      (x x y y n n k k)
      (3 3 3 3 t t r r)
      (1 1 2 2 2 2 2 2)

      Si vede allora subito che le due x sono determinate univocamente dal valore ‘9’, mentre le due y dal valore ‘8’. Ne deriva anche che nei valori dei cubetti d’angolo sono necessariamente da annoverare anche due ‘4’ e due ‘5’ che senza i due ‘9’ e i due ‘8’ non possono reciprocamente “accoppiarsi” nelle celle di metà spigolo. La nuova configurazione diventa quindi:
      (9 9 8 8 n n k k)
      (3 3 3 3 4 4 5 5)
      (1 1 2 2 2 2 2 2)

      che viene immediatamente “soddisfatta” attribuendo alle incognite i valori 7 e 6, ossia
      (9 9 8 8 7 7 6 6)
      (3 3 3 3 4 4 5 5)
      (1 1 2 2 2 2 2 2)

      Abbiamo trovato in questo modo 8 terne da associare agli 8 cubetti ad angolo; i valori per i dodici cubetti di metà spigolo saranno di conseguenza rappresentati dalle 3 coppie residue (9,4), (8,5) e (7,6) ciascuna presente 4 volte, ossia:
      (9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7)
      (4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6)

      Si noti che sia le terne che le coppie sono uguali a due a due: in questo modo è possibile assegnarli come valori di elementi coniugati del Palomar Cube, ad esempio secondo lo schema nell’immagine qui a destra.


      Soluzione per k=12
      Si nota immediatamente che ‘1’ e ‘2’ non possono essere assegnati come valori delle celle di metà spigolo, poiché non esiste alcun valore che possa soddisfare le 1b-12b. Di conseguenza questi valori possono essere attribuiti solo ai cubetti d’angolo o ai cubetti centrali.
      Dalla 1c deriva inoltre che: Σ(cc) = 30 per cui è necessario scegliere per i cubetti centrali 6 valori la cui somma è 30. Possiamo considerare valida per i nostri scopi la sequenza (5,7,3,5,7,3).

      Ne deriva che i sei ‘1’, i sei ‘2’ ed almeno due ‘9’ sono necessariamente valori da assegnare ai cubetti d’angolo. Una possibile assegnazione è quella in cui i sei ‘1’ e i due ‘2’ sono attribuiti a cubetti diversi, mentre i quattro ‘2’ restanti saranno distribuiti equamente tra gli ‘1’ e i ‘2’. Ne risulta la seguente sequenza (ogni riga rappresenta un elemento delle 8 terne):
      (9 9 y y n n k k)
      (2 2 2 2 x x r r)
      (1 1 2 2 1 1 1 1)

      Si vede allora subito che le due y sono determinate univocamente attribuendo il valore ‘8’; ne deriva anche che nei valori dei cubetti d’angolo sono necessariamente da annoverare anche due ‘4’ che senza i due ‘8’ non possono reciprocamente “accoppiarsi” nelle celle di metà spigolo.

      La nuova configurazione diventa quindi:
      (9 9 8 8 n n k k)
      (2 2 2 2 4 4 r r)
      (1 1 2 2 1 1 1 1)

      che può essere soddisfatta” attribuendo a n il ‘7’ a k il ‘6’ ed a r il ‘5’, ossia
      (9 9 8 8 7 7 6 6)
      (2 2 2 2 4 4 5 5)
      (1 1 2 2 1 1 1 1)

      I valori per i dodici cubetti di metà spigolo saranno quindi rappresentati dalle 2 coppie residue (6,6) e (7,5) e dalle 4 coppie (8,4) e (9,3) ossia:
      (9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 6 6)
      (3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6)
      Si noti che sia le terne che le coppie sono uguali a due a due: in questo modo è possibile assegnarli come valori di elementi coniugati del Palomar Cube, ad esempio secondo lo schema qui a sinistra.


      Soluzione per k=11
      Si nota immediatamente che ’1’ non può essere assegnato come valore delle celle di metà spigolo, poiché non esiste alcun valore che possa soddisfare le 1b-12b. Dalla 1c deriva inoltre che Σ (cc) = 50, per cui ‘1’ non può essere assegnato a nessun cubetto centrale, ma solo ai cubetti d’angolo.
      Poiché Σ (cc) = 50 possiamo considerare valida per i nostri scopi la sequenza: (9,9,7,9,9,7).

      Ne deriva che almeno quattro ‘2’ e due ‘4’ sono necessariamente valori da assegnare ai cubetti d’angolo. Una possibile assegnazione è la seguente:
      (x x y y n n k k)
      (1 1 2 2 p p q q)
      (1 1 1 1 2 2 4 4)

      Si vede allora subito che le due x e le due y sono determinate univocamente attribuendo loro rispettivamente il ‘9’ e l’8’; ne deriva anche che nei valori dei cubetti d’angolo sono necessariamente da annoverare anche altri due ‘2’ e due ‘3’ che senza i due ‘9’ e i due ‘8’ non possono“accoppiarsi” nelle celle di metà spigolo.

      La nuova configurazione diventa quindi:
      (9 9 8 8 n n k k)
      (1 1 2 2 2 2 3 3)
      (1 1 1 1 2 2 4 4)
      che viene immediatamente “soddisfatta” attribuendo i valori 7 e 4, ossia
      (9 9 8 8 7 7 4 4)
      (1 1 2 2 2 2 3 3)
      (1 1 1 1 2 2 4 4)



      I valori per i dodici cubetti di metà spigolo saranno rappresentati dalle 6 coppie residue (6,5) dalle 4 coppie (8,3) e dalle due coppie (7,4) ossia:
      (8 8 8 8 7 7 6 6 6 6 6 6)
      (3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5)

      Si noti che sia le terne che le coppie sono uguali a due a due: in questo modo è possibile assegnarli come valori di elementi coniugati del Palomar Cube, ad esempio secondo lo schema qui a destra.

      mercoledì 17 giugno 2015

      Carnevale della Matematica #86 sul Coniglio Mannaro

      È quasi notte; nel cielo brunito, striato dai riverberi tardivi del tramonto, dondola indolente una falce di luna. La luce è incerta. Un soffio lento carezza il mare, e come il respiro di un amante ne increspa le acque di lapislazzuli. La brezza lieve sale fra gli arbusti, impregna le vecchie strade incrostate di sale, si intrufola fra le imposte socchiuse...

      Sfido chiunque a trovare un'edizione del Carnevale della Matematica con un incipit poetico ed evocativo come questo. Solo Spartaco Mencaroni, sopraffino narratore, nonché medico e divulgatore matematico, potrebbe regalarci una cosa del genere. Ovviamente con il suo fedele Coniglio. 
      Il Carnevale n. 86 è uscito già da tre giorni, e, come spesso accade, il mio post celebrativo arriva in gran ritardo. Ma tant'è. 
      All'insegna del verso introduttivo "canta intrepido" (dettato dalla Poesia gaussiana del Sommo Popinga), della cellula melodica associata al numero 86 (secondo l'idea di Flavio "Dioniso" Ubaldini), e del tema "matematica, amore e fantasia", l'edizione carnevalesca di giugno si snoda con mirabile leggerezza e con grande generosità di contributi.

      Mr. Palomar ha contribuito con un "post scriptum" relativo alla questione del numero delle scale musicali, e con una nuova puntata della serie degli enigmi di Coelum.

      La prossima edizione del Carnevale sarà ospitata dal già citato Dioniso presso il suo blog Pitagora e dintorni. Complimenti a Spartaco e a tutti i contributori. E a chi non ha ancora letto il Carnevale, buon divertimento!

      mercoledì 3 giugno 2015

      Gli enigmi di Coelum: i quadrati di Dürer

      Continuo a riproporre su questo blog gli articoletti che ho scritto per il sito di Coelum Astronomia e che offrono spunti di approfondimento dei temi trattati nei miei articoli della rubrica Moebius.

      Il tema del mese di novembre 2013, i quadrati magici, è stato da me trattato più volte su queste pagine (ad esempio qui e qui), ma non guasta riprendere il filo per indagare alcune ulteriori proprietà. Per chi non ricordasse più di cosa si tratta, un quadrato magico è una sorta di matrice formata da n righe ed n colonne, le cui caselle sono riempite con tutti i numeri compresi tra 1 e n2, disposti in maniera tale che la somma dei numeri su ogni riga, su ogni colonna e su ciascuna delle diagonali produca sempre lo stesso numero. Il “Lo Shu” di cui ho parlato nell’articolo è, di fatto, l’unico quadrato magico di lato 3.

      Immagine tratta dal blog Popinga di Marco Fulvio Barozzi
      Nel “Lo Shu”, la “costante di magia”, cioè il valore della somma ricorrente dei numeri delle righe, delle colonne e delle diagonali, vale 15, che corrisponde al numero di giorni in ciascuno dei 24 cicli dell’anno solare cinese. Come ricordavo nell’articolo di novembre, questo quadrato viene considerato un simbolo di armonia universale: i numeri presenti nelle sue caselle sono ritenuti dei portafortuna, soprattutto il 5 centrale.
      Fateci caso: questo quadrato rimane magico anche se sottoposto a rotazione di 90°, a riflessione rispetto alla colonna centrale, o ad una sequenza di operazioni di questi due tipi. In tutto possiamo generare 8 quadrati magici 3 × 3 apparentemente diversi: tuttavia, dal punto di vista dei matematici, le rotazioni e le riflessioni non variano nella sostanza la natura del quadrato magico, per cui si dice che esiste un unico quadrato magico di lato 3. Non appena si considerano quadrati appena più grandi le cose cambiano. Per esempio, trascurando le rotazioni e le riflessioni, esistono ben 880 quadrati magici 4 × 4, e sono addirittura 275.305.224 le analoghe strutture con lato 5. E qui ci fermiamo, nel senso che non siamo in grado di quantificare i quadrati magici 6 × 6. E figuratevi quelli più grandi. Il numero dei quadrati magici aumenta quindi rapidissimamente al crescere del lato.
      Una cosa è certa: dato un qualsiasi numero n maggiore di 2, è possibile costruire un quadrato magico n × n.
      Un altro fatto è assodato: in un quadrato magico di lato n la "costante di magia" è calcolabile con la formula


      Il celebre quadrato magico di lato 4 che compare nell’incisione "Melencolia I", realizzata da Albrecht Dürer nel 1514, è testimonianza dell’interesse rinascimentale per questi bizzarri oggetti matematici. Come accennavo nell’articolo, anche un matematico rigoroso come Luca Pacioli fu attratto dal fascino numerologico dei quadrati magici.
      Nel trattato De viribus quantitatis scriveva infatti:

      De li numeri in forma quadrata disposti secondo lastronomi figure deli pianeti cioe ch’per lato et diametri sempre fanno tanto, dove 3 a 9 si trovano quelli di ordine da 3 a 9.


      Il quadrato di Dürer gode di particolarissime proprietà matematiche. Per esempio, la costante di magia 34 può essere ottenuta non solo sommando i numeri sulle righe, sulle colonne e sulle diagonali, ma anche sommando i numeri dei quattro quadratini 2×2 che si possono ricavare all’interno del quadrato, e persino sommando i quattro numeri agli spigoli.
      Il quadrato, poi, è simmetrico, nel senso che la somma di un numero qualsiasi e del suo simmetrico rispetto al centro del quadrato dà sempre 17.

      Volete imparare un piccolo “gioco di prestigio” da esibire orgogliosamente agli amici nelle serate piovose?
      Realizzate nove cartoncini quadrati, numerati con le cifre da 1 a 9. Disponeteli ora in ordine, come nella figura A.
      Ruotate ora i numeri esterni di una posizione, ottenendo la disposizione della figura B. Infine scambiate tra di loro i numeri posizionati sugli angoli del quadrato.
      Et voila, ecco il vostro quadrato magico 3×3: autentico, della pregiata famiglia Lo Shu!



      Se però al fascino orientale dei quadrati 3×3 preferite il sapore rinascimentale di quelli 4×4, eccovi accontentati: preparate 16 quadrati con i numeri da 1 a 16, disponeteli in modo ordinato in uno schieramento 4×4 e poi invertite ciascuna delle due diagonali. Ecco servito il vostro quadrato magico di lato 4!
      Lo so, l’appetito vien mangiando, e adesso vorreste che vi rivelassi il segreto per costruire con facilità quadrati magici di lato qualsiasi. Bè, non esageriamo: al crescere del lato le cose si fanno molto più difficili, e sono state ideate tecniche molto sofisticate per raggiungere questo obiettivo. Tra le metodologie più interessanti vi sono gli algoritmi genetici, che si ispirano ai meccanismi dell’evoluzione darwiniana per far “emergere” da uno spazio indistinto di possibili soluzioni quelle di qualità più alta (in bibliografia trovate una pagina che illustra questa tecnica per fare evolvere quadrati magici).

      Il problema proposto sul numero di novembre 2013 di Coelum consisteva nel trovare un oggetto di tipo 3×3 che è un parente dei quadrati magici, ma non è veramente magico: nelle sue 9 caselle devono trovare posto i numeri da 1 a 9, ma su ogni riga, su ogni colonna e su ogni diagonale, deve essere costante non la somma dei tre numeri (come nei veri quadrati magici), bensì la somma dei due numeri esterni meno quello centrale. Se volete, potremmo chiamare questo quadrato “sub-magico”.

      Così come esiste un solo quadrato magico 3×3 (a meno di rotazioni e riflessioni), esiste un solo quadrato “sub-magico” 3×3:


      Anche in questo caso, si possono generare altri 7 quadrati sub-magici grazie alle rotazioni e alle riflessioni. Ecco tutte le soluzioni possibili:


      lunedì 25 maggio 2015

      Quante scale musicali esistono? Post... scriptum

      Un paio di precisazioni e una piccola "scoperta" inerenti alla questione delle scale musicali che ha riempito due lunghi post qualche settimana fa.

      Prima precisazione: qualcuno mi ha fatto notare che una scala formata da una nota, ma anche da due o tre sole note, si fa fatica a considerarla una vera scala. Verissimo. Non a caso, nella prima parte del post osservavo che una scala costituita da un solo suono è qualcosa di molto strano, noioso e soprattutto inutile. Poco cambierebbe, in effetti, aggiungendo una sola altra nota o anche due: ciò che si ottiene, più che una scala, verrebbe definito da un musicista un intervallo (nel primo caso) o una coppia di intervalli (nel secondo caso). Il tutto poco utilizzabile per costruire composizioni di qualche interesse.
      Eppure, volendo analizzare la questione da una prospettiva matematica, il che (non essendo musicista) è ciò che ho cercato di fare nei miei due post precedenti, si pone il dubbio fondamentale: quante devono essere le note per poter parlare legittimamente di scala? Se questa domanda ha una risposta (che potrebbe essere un qualsiasi numero intero compreso tra 1 e 12, anche se i numeri candidati sono, diciamo, certamente inferiori a 6), deve esserci un motivo convincente per scegliere un numero ben definito e non altri. Credo che alla fine l'unica risposta convincente da un punto di vista matematico sia 1, anche se questa scelta impone di includere nel club delle scale musicali anche "cose" che qualsiasi musicista, ragionevolmente, si rifiuterebbe di considerare scale.

      Seconda precisazione: in un commento alla seconda parte del post, un lettore obiettava che la mia classificazione non comprende alcune scale molto comuni: ad esempio la scala minore melodica, che è diversa in fase ascendente e in fase discendente.
      In realtà stiamo qui parlando di due scale diverse. La scala minore melodica ascendente è infatti una scala eptafonica associata, come le più note scale maggiori e minori (naturale), a una delle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2), precisamente la permutazione (2, 1, 2, 2, 2, 2, 1). La scala minore melodica discendente è una scala eptafonica associata ad un'altra delle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2): la permutazione (2, 1, 2, 2, 1, 2, 2)
      Anche qui il punto di vista musicale si distanzia da quello matematico: quello che i musicisti, per motivi assai legittimi, considerano come una medesima scala, declinata nelle sue versioni ascendente e discendente, viene visto matematicamente come una coppia di scale completamente diverse, benché associate alla stessa cardinalità (7) e anche alla stessa partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2).

      Ed eccomi alla "piccola "scoperta". Ricordate la tabellina, riportata all'inizio della seconda parte, che restituisce il numero di possibili scale in funzione del numero di note costitutive? Ebbene, passando dal caso "degenere" di una sola nota al caso shönberghiano di 12 note, i numeri che si incontrano sono, rispettivamente, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1.


      Già il fatto che in questa sequenza si parta da 1, si salga fino a 462 e poi, in maniera perfettamente speculare, si ridiscenda a 1 appare come una meravigliosa coincidenza.
      Ma c'è qualcosa di ancora più sorprendente: i numeri di questa sequenza sono esattamente i numeri che costituiscono la dodicesima riga del famoso "triangolo di Pascal", più noto in Italia come "triangolo di Tartaglia".

      Mi sembra di sentire le voci dei miei lettori: "Ah, sì, il triangolo di Tartaglia! Me lo ricordo, l'ho studiato al liceo. Ma non mi ricordo più come si costruisce, e tantomeno a che cosa serve..."
      Come si costruisce il triangolo è presto detto. La prima riga è formata dal solo numero 1, mentre ogni numero delle righe inferiori è generato come somma dei due numeri superiori. Se il numero si trova ad uno degli estremi della riga, ed è quindi sovrastato soltanto da un 1, è anch'esso semplicemente un 1.
      Ma a cosa serve questo strano triangolo? L'utilizzo più frequente è legato alla determinazione dei coefficienti dello sviluppo di un binomio (a+b) elevato a una potenza qualsiasi.
      Se devo calcolare (a+b) elevato alla 12, trovo la dodicesima riga del triangolo (quella che inizia con 1, 11, 55, ...) e leggo i numeri che la formano: ecco, questi sono i coefficienti che mi servono.
      Il matematico bresciano Nicolò Fontana, detto il Tartaglia per la sua balbuzie, descrisse il celebre triangolo nel suo General trattato di numeri et misure che uscì nel del 1556: molto prima del Traité du triangle arithmétique di Blaise Pascal, pubblicato nel 1665. Eppure, al di fuori dell'Italia, il triangolo dei coefficienti delle potenze del binomio viene chiamato triangolo di Pascal. La cosa strana è che Pascal fu l'ultimo di una lunga serie di matematici che si interessarono all'argomento: prima di lui ci fu Tartaglia, certo, ma anche il buon bresciano non fu un vero pioniere del triangolo, dato che nei secoli precedenti questo oggetto era stato già descritto e analizzato da matematici indiani, persiani, cinesi e tedeschi.

      Tornando alla musica, accennavo poco fa che i numeri che quantificano le possibili scale, in funzione del numero di note costitutive della scala, si trovano disposti in bella evidenza sulla dodicesima riga del triangolo.
      Perché proprio la dodicesima? Bè, è evidente: abbiamo ricavato le scale dalle partizioni del numero 12, cioè dai possibili modi di scrivere il 12 come somma di interi positivi. E questo non per un mio sfizio arbitrario, ma per il fatto che il sistema equabile suddivide l'ottava in 12 semitoni uguali. Se i semitoni di un'ottava fossero stati 8, saremmo ricaduti nella nona riga del celebre triangolo: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. E così via.

      Non deve stupire che il triangolo di Tartaglia racchiuda in sé questa sequenza numerica di interesse musicale.

      Non so se questa connessione tra musica e matematica sia stata già osservata da altri in precedenza. Ma è un dato di fatto che il triangolo di Tartaglia sia una miniera di infinite regolarità e sorprendenti connessioni.
      La fascinazione di Tartaglia per il "suo" triangolo, così come quella di Pascal e di molti altri ricercatori, fu proprio legata all'inaspettata ricchezza che si sprigiona dalle righe del triangolo: numeri triangolari, tetraedrici, pentatopici, poligonali, di Fibonacci, di Catalan, si possono trovare tutti all'interno del triangolo (sapendoli cercare, ovvio). E perfino i frattali sono connessi a questa semplice struttura.

      Ma non divaghiamo: quando si comincia a navigare tra i numeri del triangolo di Tartaglia il rischio di perdersi, di naufragare e di approdare a chissà quale costa è molto alto, mentre la "piccola "scoperta" di cui volevo parlarvi riguardava soltanto un legame tra le scale musicali e i numeri del triangolo. E' una piccola e semplice connessione, anche se a me pare davvero meravigliosa.

      giovedì 14 maggio 2015

      Carnevale della matematica #85 su Notiziole di .mau.

      Stranamente questo mese riesco a segnalare l'uscita del Carnevale della Matematica il giorno stesso.
      D'altra parte il Carnevale non ha certo bisogno di un Mr. Palomar qualsiasi che lo promuova, dato che è giunto ormai alla veneranda età di ottantacinque edizioni in salute perfetta e anzi via via migliore.
      Il "facilitatore" di maggio è il Fondatore stesso della gloriosa celebrazione, Maurizio Codogno detto .mau., che ospita il Carnevale sulle sue Notiziole, regalandoci una carrellata di grande interesse e confezionata con maestria.

      Mi si conceda un piccolo appunto, di carattere campanilista e nostalgico: non è stato menzionato che il numero dell'edizione, 85, corrisponde all'anno dello scudetto dell'Hellas Verona (come sapete sono nato nella città di Romeo e Giulietta), del quale, guarda caso, ricorre il trentennale proprio in questi giorni. Ma pazienza (ovviamente scherzavo).
      Per il resto, il Carnevale merita una lettura, a partire dalla sbarazzina citazione gaussiana ("zampettando tra i cespugli”), accompagnata dalla sua brava versione musicale.

      Il contributo di questo blog al Carnevale di maggio è uno e bino, e corrisponde al mio bi-post sul numero delle scale musicali esistenti.Come riportato nel post carnevalizio:

      La faccenda è, ovviamente, essenzialmente matematica, ma anche strettamente collegata alla storia della musica del Novecento, in particolare alla ricerca di Olivier Messiaen e ai suoi “modi a trasposizione limitata”.

      Dunque complimenti a .mau. e a tutti i partecipanti. E appuntamento a giugno con il Carnevale numero 86, che sarà ospitato da Spartaco Mencaroni sul suo blog Il coniglio mannaro, con il tema "Matematica, amore e fantasia".

      lunedì 11 maggio 2015

      Quante scale musicali esistono? (seconda parte)

      Nella prima parte di questo post ho raccontato come sia possibile "contare" le scale musicali possibili. Il conteggio finale è contenuto nella tabella che ho riportato alla fine del post precedente, e che per comodità ripropongo di seguito: le scale in tutto risultano essere 2048.


      La "cardinalità" di una scala, cioè il numero di note che essa contiene, può variare tra 1 e 12, perché 12 sono i semitoni di un'ottava, ovvero gli intervalli più piccoli ammessi dal sistema occidentale equabile.
      Per ogni possibile cardinalità della scala, come ho mostrato nella prima parte, esiste un certo numero di possibili partizioni del 12, ovvero modi di sommare più numeri per ottenere un totale di 12, il che equivale a dire che esiste un certo numero di modi di suddividere l'ottava in più intervalli, ciascuno formato da uno o più semitoni. Per complicare le cose, da ogni partizione possono derivare, in generale, più note, perché è importante anche l'ordine in cui si succedono gli intervalli che suddividono l'ottava.

      Per esempio, abbiamo un'unica scala costituita da una nota, che naturalmente è di ben scarso interesse pratico:


      Con due suoni abbiamo invece 6 possibili partizioni, e 11 scale in tutto:


      Le scale di tre note sono in tutto 55, e originano da 12 possibili partizioni:


      Esistono poi 15 partizioni di cardinalità 4, e le scale possibili sono in tutto 165:


      Con un numero di note compreso tra 1 e 4 possiamo costruire scale il cui valore musicale è abbastanza limitato. Potendo invece disporre di cinque suoni possiamo finalmente costruire qualcosa di molto più interessante. In tutto le partizioni sono 13, e le scale possibili 330:


      Per esempio la scala pentatonica cinese, caratterizzata dagli intervalli (2, 2, 3, 2, 3), rappresenta una delle 10 permutazioni dell'ultima partizione indicata.

      Anche le scale di sei note sono musicalmente molto importanti. In questo caso abbiamo 11 partizioni e 462 scale possibili:


      In questa famiglia rientra, per esempio, la scala esatonale di Debussy (di cui ho parlato su Radio 3 Scienza nel 2012): essa corrisponde alla partizione (2, 2, 2, 2, 2, 2), che ammette un'unica permutazione. Anche la scala blues è formata da sei note: essa è caratterizzata dagli intervalli 3, 2, 1, 1, 3, 2, che derivano da una delle 90 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 3, 3).

      Le scale eptafoniche, formate cioè da sette note, sono le più usate nella tradizione musicale occidentale moderna. Anche in questo caso abbiamo 462 scale possibili, ma le partizioni di origine sono 7:


      Particolare importanza assumono le scale associate alle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2): due di esse, corrispondenti alle permutazioni (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1) e (2, 1, 2, 2, 1, 2, 2), prendono rispettivamente il nome di scala diatonica maggiore e scala diatonica minore. Quasi tutta la musica che avete finora ascoltato si basa su queste due scale. Tutte le altre 2046 scale sono di gran lunga meno utilizzate.
      Scale formate da otto note sono state impiegate nel Novecento da molti compositori colti e da jazzisti. In tutto abbiamo 5 partizioni e 330 scale possibili:


      Una di esse è la cosiddetta scala alternata, associata alla permutazione (2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1), una delle 70 possibili della partizione (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2).
      Con nove note le partizioni scendono a 3, per un totale di 165 scale:


      Le scale di dieci note sono in tutto 55, derivanti da 2 possibili partizioni:


      Con undici note abbiamo una sola partizioni e 11 scale possibili:


      Infine, volendo impiegare tutte e 12 le note di un'ottava, abbiamo una sola scala possibile: la scala cromatica o dodecafonica, tanto cara a Shoenberg e ai suoi adepti:


      Tuttavia, come facevo notare, il conteggio che ho effettuato, e che ci ha portato al numero complessivo di 2048, non tiene conto del fatto che ogni scala può, a sua volta, essere trasposta da un'ottava di riferimento a un'altra, il che moltiplicherebbe di molto il numero di scale possibili.
      Prendiamo una scala qualsiasi, per esempio quella associata alla partizione 12 = 6 + 6, che abbiamo visto essere una soltanto. Supponiamo che la nostra ottava di riferimento sia quella che inizia con il do centrale del pianoforte (che chiamerò Do4, per indicare che appartiene all'ottava del pianoforte convenzionalmente etichettata con il numero 4). La nostra scala di due note sarà quindi formata dal Do4 e dalla nota che si trova 6 semitoni più in alto, cioè il Fa#4.
      Cosa succede se l'ottava di riferimento viene traslata di un semitono verso l'acuto? Le due note della scala saranno il Do#4 e il Sol4. E se l'ottava di riferimento fosse invece esattamente un'ottava più in alto rispetto al primo caso? Le note diventerebbero Do5 e Fa#5: i nomi delle note sono gli stessi del primo caso, ma all'ottava superiore.

      Quale conclusione possiamo trarre da questi ragionamenti? Ognuna delle 2048 scale può essere agganciata a una arbitraria ottava, ragion per cui il numero reale delle possibili scale dovrebbe essere 2048 moltiplicato per il numero di note possibili, o per lo meno per il numero delle note che possiamo suonare su un pianoforte.
      Il numero che otterremmo in questo modo sarebbe davvero molto grande. Per fortuna possiamo ridurre questa quantità assumendo per convenzione che note caratterizzate dallo stesso nome (benché su ottave diverse) vengono considerate la stessa nota: grazie a tale ipotesi, la prima e la seconda scala descritte poco sopra (Do4 - Fa#4 e Do#4 - Sol4) sono effettivamente scale diverse, mentre la terza scala (Do5 - Fa#5) viene considerata equivalente alla prima, anche se traslata di un'ottava.
      Questo sembra autorizzarci ad affermare che il numero reale delle possibili scale musicali è dato semplicemente da 2048 moltiplicato per 12 (che sono le note comprese all'interno di una singola ottava), cioè da 24576. Ma siamo certi della correttezza di questa conclusione?

      Analizziamo meglio la questione. Riconsideriamo la scala vista prima, corrispondente alla partizione 12 = 6 + 6, cioè la scala Do4 - Fa#4. Se la trasponiamo di 6 semitoni più in alto, otteniamo la scala Fa#4 - Do5. Dato che abbiamo stabilito convenzionalmente che Do5 e Do4 sono la stessa nota, abbiamo in realtà ritrovato la scala di partenza, cioè Do4 - Fa#4.
      Questo significa che non necessariamente ognuna delle 2048 scale genera 12 scale distinte, perché in alcuni casi (come quello appena visto) tra le 12 traslazioni si trovano dei doppioni, cioè si incontra più volte la stessa scala.

      Il fenomeno matematico che ho descritto è strettamente legato ai "modi a trasposizione limitata" studiati da Olivier Messiaen. In generale, un modo a trasposizione limitata è una scala, cioè un insieme di note di un'ottava, che rimane invariato se le note costitutive vengono tutte trasposte verso l'alto o verso il basso di un certo numero di semitoni.
      Si può facilmente dimostrare che questa proprietà viene soddisfatta da una scala se e solo se essa è associata a una partizione dell'ottava in cui gli intervalli sono raggruppati in parti uguali dell'ottava stessa.
      Per esempio, la partizione 12 = 6 + 6, come abbiamo visto, dà sicuramente origine a un modo a trasposizione limitata, e in effetti ci troviamo in presenza di due parti uguali dell'ottava.
      Ma otteniamo ugualmente modi a trasposizione limitata se al posto di uno o di entrambi i 6 mettiamo un gruppo di intervalli che copre complessivamente sei semitoni, ovvero 1+5, 5+1, 2+4, 4+2, 1+4+1, 1+1+4, 4+1+1, 1+3+2, 3+2+1, 2+1+3, 1+2+3, 2+3+1, 3+1+2, 2+2+1+1, 1+1+2+2, 1+2+2+1, 1+2+1+2, 2+1+2+1, 2+1+1+2, 1+1+3+1, 1+1+1+3, 1+3+1+1, 3+1+1+1, 1+1+1+2+1, 1+1+1+1+2, 1+1+2+1+1, 1+2+1+1+1, oppure 2+1+1+1+1.
      Le altre partizioni che generano modi a trasposizione limitata sono le seguenti:
      • 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1;12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
      • 12 = 3 + 3 + 3 + 3, e tutte le altre partizioni che si possono ottenere da questa sostituendo uno o più 3 con 1+2, o con 2+1;
      • 12 = 4 + 4 + 4, e tutte le altre partizioni che si possono ottenere da questa sostituendo uno o più 4 con 1+3, o con 3+1, o con 2+1+1, o con 1+2+1, o con 1+1+2;
      • 12 = 12.
      Tra tutte queste scale, matematicamente a trasposizione limitata, nel suo libro "Technique de mon langage musical", Messiaen evidenziò le sette da lui preferite, che meglio si adattavano alla sua sensibilità compositiva:
      • Primo modo: 12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (2 trasposizioni possibili)
      • Secondo modo: 12 = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 oppure 12 = 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 (3 trasposizioni possibili)
      • Terzo modo: 12 = 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 (4 trasposizioni possibili)
      • Quarto modo: 12 = 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 (6 trasposizioni possibili)
      • Quinto modo: 12 = 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 oppure 12 = 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 (6 trasposizioni possibili)
      • Sesto modo: 12 = 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 oppure 12 = 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 (6 trasposizioni possibili)
      • Settimo modo: 12 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 (6 trasposizioni possibili)
      Di seguito i sette modi a trasposizione limitata di Messiaen sono mostrati tramite notazione musicale:



      Dalle considerazioni esposte in questi due post, così pure come in quello che pubblicai qualche tempo fa, appare chiaro quanto forte sia stato il legame tra Olivier Messiaen e la matematica. Non sorprenderà quindi scoprire che il compositore francese era amico dei fratelli Cartan, in particolare Jean, anche lui compositore, ed Henri, illustre matematico.
      Henri Cartan, uno dei componenti del gruppo di matematici francesi che nel secolo scorso utilizzarono il nome fittizio e illustre di Nicolas Bourbaki, morì nel 2008 alla veneranda età di 104 anni, mentre il fratello Jean ebbe un destino diametralmente opposto: si spense giovanissimo nel 1932, a causa della tubercolosi.
      La foto a lato mostra la famiglia Cartan al completo: in piedi il padre dei Cartan, Élie Joseph Cartan, anche lui matematico, quindi Henri Cartan e la madre; in primo piano, il fratelli Louis, Helene (che diventò anche lei matematica) e Jean.

      Geometrie pallonare da Uruguay 1930 a Russia 2018

      Vi serve un'idea per ingannare il tempo nell'attesa delle semifinali e della finale di Russia 2018? Eccovi accontentati: un post sul...