sabato 30 agosto 2014

Come costruire un libro infinito (prima parte)

Da insularomana.wordpress.com
Sarà di certo capitato anche a voi di immergervi rapiti nelle pagine di un libro, divorarle con avidità e godimento e, una volta giunti alla fine, pensare: “L’unico difetto di questo libro è che è troppo breve”. Oppure: “Avrei desiderato che l’ultima pagina non arrivasse mai”. O semplicemente: “Peccato che sia finito”.
Già, perché se un libro viene finito, cioè terminato, vuol dire che è finito, cioè che non è infinito. D’altra parte, credo che né io né voi abbiamo mai avvistato libri infiniti.
Eppure, l’idea di un libro senza fine è talmente forte e densa di implicazioni affascinanti e vertiginose che molti l’hanno in qualche modo affrontata. Ma come realizzare un libro infinito?


Libri ciclici (infinito metaforico)

Esiste un trucco per farlo in modo molto semplice: con qualche artificio si fa in modo che il lettore, arrivato in fondo al libro, riparta dall’inizio. Una struttura ciclica, quindi. O, se preferite, un’applicazione libresca dei corsi e ricorsi storici di Gianbattista Vico o del concetto nietzschiano dell’eterno ritorno.
Solo che in questo modo non si realizza veramente un libro infinito, ma piuttosto un libro illimitato, un po’ come una circonferenza, che non ha inizio né fine, ma nemmeno una lunghezza infinita.
L’artificio del libro ciclico fu realmente utilizzato dallo scrittore irlandese James Joyce nella sua ultima e più complessa opera, pubblicata nel 1939 con il titolo Finnegans wake: il testo si apre infatti con la frase

riverrun, past Eve and Adam's...

che in realtà è la seconda parte della frase che conclude il libro:

A way a lone a last a loved a long the

Un altro esempio di libro ciclico lo troviamo nel romanzo La storia infinita, pubblicato nel 1979 dallo scrittore tedesco Michael Ende. Il libro ha una struttura molto complessa e una trama estremamente intricata e suggestiva. La versione cinematografica del 1984, diretta da Wolfgang Petersen, sebbene molto coinvolgente, piena di magnifici effetti speciali e impreziosita da una bella colonna sonora, sacrificava molto della ricchezza e della profondità del testo originale. Per la cronaca, Ende si inferocì dopo aver visto la pellicola, e affermò: "Auguro la peste ai produttori. M'hanno ingannato. Quello che mi hanno fatto è una sozzura a livello umano, un tradimento a livello artistico."



Nel romanzo, La storia infinita è il titolo di tre libri diversi:
1. il libro scritto da Ende, nel quale sono narrate, in color rosso rubino, le vicende del mondo reale e, in color verde-azzurro, quelle del regno di Fantàsia;
2. il libro rubato dal ragazzino Bastiano in un negozio di antiquariato, in cui sono raccontate soltanto le vicende di Fantàsia;
3. il libro scritto dal Vecchio della Montagna Vagante, in cui sono descritte, in color verde-azzurro, le vicende del mondo reale e, in color rosso rubino, quelle del regno di Fantàsia.

Michael Ende (1929-1995)
Da http://alleszeichnen.blogspot.it
Come in un gioco di scatole cinesi, il primo libro contiene il secondo, e il secondo contiene il terzo. Il terzo libro sarebbe identico al primo, se non fosse per l'inversione speculare dei colori in cui sono scritte le vicende reali e quelle del regno di Fantàsia. Verso la fine della fantasiosa e affascinante vicenda del romanzo, l'Infanta Imperatrice trova, sulla sommità di un'alta torre, la dimora del Vecchio, il quale è intento nella stesura del terzo libro.
L'Imperatrice chiede al Vecchio di leggere il libro.
Lui, pur riluttante, esegue l'ordine, innescando così la Fine Infinita, un vertiginoso ciclo ricorsivo senza fine:  tutti gli avvenimenti della Storia Infinita si ripetono, a partire dal furto del libro da parte di Bastiano.
Il ragazzino, allora, comprendendo di essere rimasto intrappolato in un loop senza fine, pronuncia il nome "Fiordiluna", che magicamente funziona come condizione di terminazione del ciclo infinito: qualcosa di analogo all'"ordine di procedere a un risveglio" nell'Abate cruento di Elio.

Anche lo scrittore argentino Jorge Luis Borges ha immaginato spesso libri pseudo-infiniti dalla struttura ciclica. Nel celebre racconto La biblioteca di Babele descrive un libro fisicamente ciclico: un gran libro circolare dalla costola continua, che gira tutto attorno alla parete di una stanza di forma circolare. Successivamente si apprenderà che questo libro ciclico è Dio.
L’immagine del volume circolare ritorna anche in un altro racconto famoso, Il giardino dei sentieri che si biforcano, che ho già citato in un vecchio post riguardante la computazione quantistica.
La vicenda narrata è quella del professore cinese Yu Tsun, spia in Inghilterra al servizio della Germania durante la prima guerra mondiale. Yu Tsun è il discendente di Ts'ui Pen, noto per avere scritto un enorme romanzo e per avere costruito un labirinto infinito, che nessuno è mai riuscito a ritrovare. Stephen Albert, uno studioso di letteratura cinese gli svela la verità, contenuta in una lettera vergata dallo stesso antenato di Yu Tsun:

Prima di ritrovare questa lettera, m'ero chiesto in che modo un libro potesse essere infinito.
Non potrei pensare che a un volume ciclico, circolare: un volume la cui ultima pagina fosse identica alla prima, con la possibilità di continuare indefinitamente.
Mi rammentai anche della notte centrale delle Mille e una notte, dove la regina Shahrazad (per una magica distrazione del copista) si mette a raccontare testualmente la storia delle Mille e una notte, a rischio di tornare un'altra volta alla notte in cui racconta, e così all'infinito. Pensai anche a un'opera platonica, ereditaria, da trasmettersi di padre in figlio, e alla quale ogni nuovo individuo avrebbe aggiunto un capitolo, emagari corretto, con zelo pietoso, le pagine dei padri. Queste congetture mi attrassero; ma nessuna sembrava corrispondere, sia pure in modo remoto, ai contraddittori capitoli di Ts'ui Pen.



Raymond Queneau (1903 – 1976)
Libri combinatori (infinito potenziale)

Alla fine Albert svela la verità a Yu Tsun: libro e labirinto sono in realtà la stessa cosa, e costituiscono il "giardino dei sentieri che si biforcano" del titolo. Non un labirinto infinito nello spa
zio, quindi, ma un romanzo labirintico che cerca di descrivere tutte le conseguenze future di un evento a più livelli, in una ramificazione vertiginosa e potenzialmente infinita.

Potenzialmente, appunto. Potrei soffermarmi sulle molte complesse strutture combinatorie esplorate nel Novecento da alcuni scrittori, primi fra tutti Raymond Queneau nei suoi Cent mille milliards de poèmes: un insieme di dieci sonetti ciascuno dei quali occupa una pagina ed è formato da 14 versi. Ogni pagina è tagliata in strisce orizzontali, ciascuna delle quali contiene un verso: le combinazioni che si vengono a creare sono quindi 1014, appunto i centomila miliardi del titolo.


Libri veramente infiniti (infinito attuale)

Se la ciclicità è poco più di un trucco per rappresentare l'infinito, anche le strutture combinatorie, per quanto ardite e mostruosamente ramificate, non possono che tendere all'infinito, senza mai raggiungerlo davvero.
Per forza, direte voi: mica vorrai costruire un libro veramente infinito!
Non fisicamente, certo, ma almeno concettualmente forse una strada esiste, e a questo proposito il solito Borges ha indicato alcuni spunti interessanti.
Il racconto La biblioteca di Babele termina con la seguente vertiginosa visione:

Letizia Alvarez de Toledo ha osservato che la vasta Biblioteca è inutile: a rigore, basterebbe un solo volume, di formato comune, stampato in corpo nove o dieci, e composto d’un numero infinito di fogli infinitamente sottili (Cavalieri, al principio del secolo XVII, affermò che in ogni corpo solido è la sovrapposizione di un numero infinito di piani). Il maneggio di questo serico vademecum non sarebbe comodo: ogni foglio apparente si sdoppierebbe in altri simili; l’inconcepibile foglio centrale non avrebbe rovescio.

Il principio di Cavalieri, cui Borges fa riferimento, attribuisce una astratta plausibilità a un’idea di libro infinito che ovviamente rimane impossibile dal punto di vista concreto: come sarebbe possibile, infatti, realizzare un volume di spessore finito costituito da un numero infinito di pagine infinitamente sottili?
Ammettendo comunque che l’operazione sia possibile, è chiaro che un siffatto libro sarebbe un vero libro infinito, e potrebbe quindi raccogliere in sé l’intero contenuto di una biblioteca infinita come quella descritta da Borges nella prima parte del racconto.

Jorge Luis Borges (1899 - 1986) - da http://quadernodizaffiro.blogspot.it
L’idea del libro infinito deve avere ossessionato a lungo il grande scrittore argentino, e non dobbiamo stupirci di ritrovarla anche in un’altra storia, scritta qualche anno più tardi, e significativamente intitolata Il libro di sabbia.
Il racconto fa parte della raccolta omonima del 1975, che contiene anche il racconto Tigri blu.
Nella vicenda raccontata da Borges, il protagonista riceve uno strano libro da un venditore di bibbie:

Mi disse che il suo libro si chiamava il Libro di Sabbia, perché quel libro e la sabbia non hanno né principio né fine. Mi disse di cercare la prima pagina.
Con la mano sinistra sopra il frontespizio, cercai la prima pagina con il pollice quasi incollato all'indice. Tutto fu inutile: tra il frontespizio e la mano si interponevano sempre nuovi fogli. Era come se sorgessero dal libro.
«Adesso cerchi la fine.»
Fallii di nuovo; riuscii appena a balbettare con una voce che non era la mia:
«Non è possibile.»
Sempre sottovoce, il venditore di bibbie mi disse:
«Non è possibile, ma è. Il numero di pagine di questo libro è esattamente infinito. Nessuna è la prima, nessuna è l'ultima. Non so perché siano numerate in questo modo arbitrario. Forse per suggerire che i termini di una serie infinita ammettono qualsiasi numero.

Ben presto il libro diviene un tormento insostenibile per il protagonista, il quale decide alla fine di disfarsene abbandonandolo sugli scaffali di una biblioteca.

Verso la fine dell'estate capii che il libro era mostruoso. A nulla valse considerare che non meno mostruoso ero io, che lo percepivo con occhi e lo palpavo con dieci dita provviste di unghie. Sentii che era un oggetto da incubo, una cosa oscena che infamava e corrompeva la realtà.
Pensai al fuoco, ma ebbi paura che la combustione di un libro infinito fosse altrettanto infinita e soffocasse con il fumo il pianeta.
Ricordai di avere letto che il luogo migliore per nascondere una foglia è un bosco. Prima di andare in pensione lavoravo nella Biblioteca Nazionale, che conserva novecentomila libri; so che a destra del vestibolo una scala curva si immerge nello scantinato, dove si trovano i periodici e le carte geografiche. Approfittai di una distrazione degli impiegati per perdere il Libro di Sabbia in uno di quegli umidi scaffali. Cercai di non osservare né a che altezza né a che distanza dalla porta.
Provo un po' di sollievo, ma non voglio nemmeno passare per via México.

Libri come quelli sognati da Borges nella Biblioteca di Babele e nel Libro di sabbia sono, per così dire, veramente infiniti, nel senso che la nozione di infinito che racchiudono non è soltanto una metafora, come nel caso dei libri ciclici, o una potenzialità, come nei libri combinatori alla Queneau. Qui ci si confronta invece con un infinito matematico "attuale".
Si direbbe che l'infinito del primo libro descritto da Borges abbia la potenza del continuo (come i numeri reali), mentre il secondo sembra essere numerabile (come i numeri interi).
Nel bellissimo saggio Jeux finis et infinis del 2010 (edito in Italia da Dedalo nel 2012 col titolo Giochi finiti e infiniti), il matematico francese Jean Paul Delahaye ha fornito una definizione rigorosa di un libro infinito alla Borges.
Quello che Delahaye chiama l'"assioma dei libri infiniti" stabilisce infatti che:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Questo principio consente di immaginare una grande varietà di libri infiniti, dato che a ogni sottoinsieme infinito dell'insieme dei reali compresi tra 0 e 1 corrisponde un libro infinito ben preciso, con proprie caratteristiche legate alle peculiarità del sottoinsieme stesso.
Vedremo nella seconda parte di questo post come sono fatti questi strani, affascinanti e mostruosi libri infiniti.

sabato 16 agosto 2014

Carnevale della Matematica #76 su Notiziole di .mau.

Cosa fare in queste fresche e piovose giornate di metà agosto, che assomigliano più ad un umido e nebbioso ottobre che al nostro ideale di estate? Come trascorrere il tempo, visto che il meteo non invita a impiegarlo all'aperto, sulle spiagge o in passeggiate al lago o in montagna?
La risposta è ovvia: si legga il Carnevale della Matematica n. 76, ospitato dal Fondatore .mau. (anche noto come Maurizio Codogno) sulle sue Notiziole (con nome in codice Canta, canta nella luce).
Non tragga in inganno la relativa brevità del testo del post carnevalesco: i rimandi ai contributi sono numerosi e si ramificano in una meravigliosa fioritura di articoli, recensioni e materiale vario. Insomma, le vostre vacanze saranno piacevoli anche se il tempo è pessimo e dovete stare rintanati in casa: e meno male che c'è il Carnevale, quello che si festeggia in ogni mese dell'anno! (per inciso, perdonate il ritardo con cui recensisco la rassegna carnevalesca, ma chi conosce questo blog sa che accade spesso: non che essere recidivi renda meno grave il delitto, ma almeno lo rende meno sorprendente).
Il tema del Carnevale ferragostano di quest'anno, guarda un po', era "Matematica estiva", e come sempre alcuni dei partecipanti si sono adeguati e altri no (il sottoscritto, per esempio, no).
La rassegna, udite udite, si apre con un contributo proveniente proprio dal blog che state leggendo: quello su Edsger Dijkstra, per la serie dei premi Turing. Tutti gli altri suggerimenti sono di grande interesse, comprese alcune recensioni dei "librini" di Altramatematica, tra cui quelle proposte da Mr. Palomar.
Complimenti dunque a tutti i contributori nonché all'illustre "facilitatore" .mau.
L'appuntamento è al prossimo mese, quando il prestigioso evento carnevalizio sarà ospitato nientemeno che da questo blog. Proprio così: le pagine di Mr. Palomar accoglieranno il Carnevale della Matematica n. 77, con nome gaussian-popinghiano All’alba melodioso e con il tema Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa.
Buon Carnevale a tutti!

martedì 12 agosto 2014

Il calendario, la matematica e il Giorno del Giudizio

A tutti noi è capitato, almeno una volta nella vita, di conoscere dal vivo una persona, o un gruppo di persone, che ci erano note soltanto in modo indiretto: per esempio attraverso l'immagine diffusa dai mass media, o anche soltanto tramite le loro opere (nel caso si tratti di autori, artisti, scienziati, e così via).
Può succedere poi che il personaggio con il quale ci troviamo a tu per tu sia molto famoso, oppure qualcuno che apprezziamo molto, magari al punto di considerarci suoi fans. Quando ciò accade, l'incontro può diventare davvero memorabile, o per lo meno molto piacevole.

Per esempio, in quel territorio, a me molto caro, che sta all'intersezione tra la divulgazione scientifica e la matematica ricreativa, abitano tre persone che io stimo particolarmente, e che rispondono al nome di Rudi Mathematici.
Io i Rudi li avevo conosciuti inizialmente leggendo Le Scienze: per quei pochi che non lo sanno, da ormai sei anni sono gli autori di una quasi loro omonima rubrica di matematica ricreativa (loro forse non vorrebbero che io lo dicessi, ma in qualche modo le loro pagine raccolgono l'eredità dello spazio che fu di gente come Martin Gardner, Douglas Hofstadter e Ian Stewart).
 
La loro prestigiosa firma, una e trina, l'ho ritrovata poco tempo dopo anche sulla mitica "rivista fondata nell'altro millennio", vale a dire l'irrinunciabile e solluccheroso mensile in formato PDF che potete scaricare dal loro sito o ricevere comodamente per e-mail.
Leggendo le pagine de Le Scienze, quelle della loro rivista online, e (non dimentichiamocene) del loro "blog d'autore" ho sempre più apprezzato (o, dovrei forse ammettere, "invidiato"?) il loro modo speciale e inimitabile di raccontare la matematica.
Non avrei mai immaginato che a un certo punto (è accaduto poco più di un anno fa), qualcuno mi avrebbe chiesto di rinnovare la rubrica che, molti anni prima, i Rudi avevano curato sulla gloriosa rivista di astronomia Coelum: è così che ora, immeritatamente, scrivo di matematica ricreativa sull'ultima pagina di quel mensile.
Incoraggiato da questo incredibile avvenimento, qualche mese fa presi un po' di coraggio e osai chiedere ai miei idoli di rispondere a qualche domanda per questo blog: con grande gentilezza loro accettarono, e ne uscì questa intervista.
Lo scorso 11 maggio, l'apoteosi: a Torino, durante il Salone del Libro, finalmente incontrai di persona 2/3 dei mitici Rudi Mathematici. Come potete immaginare, un incontro che viene a maturarsi attraverso tappe di questo tipo diviene particolarmente significativo

Un altro motivo di affinità tra i sommi Rudi e il sottoscritto è il fatto di essere entrambi (forse dovrei dire tutti e quattro?) autori della collana Altramatematica di 40K.
Già, perché anche i Rudi hanno scritto uno dei librini della prestigiosa serie di e-book, intitolato Di 28 ce n'è 1.
Il titolo lascia intendere che si tratta di un libro sul calendario, o meglio, sulle questioni matematiche, spesso molto curiose e anche divertenti, che riguardano i calendari.
Per introdurlo, non c'è niente di meglio del "trailer" degli stessi autori:
Dalle Calende Greche (che non esistono) al 30 Febbraio (che invece è esistito); dalle invidie degli imperatori romani che volevano mesi non meno lunghi di quelli dei loro predecessori alle complicate decisioni conciliari sulla Pasqua e sull’Epatta; dalla cancellazione occidentale di dieci giorni nel 1582, alla proibizione orientale dei calendari nel Giappone medievale; dalla Genesi che cita la settimana nei suoi primi versi, al Giorno del Giudizio (inventato da un matematico). Un viaggio per scoprire quale sia il giorno bisestile (no, non è il 29 Febbraio), o perché la Rivoluzione d’Ottobre sia capitata a Novembre, o, più semplicemente, per scoprire quanto sia difficile contare anche solo da 1 a 365.

Inutile dire che il libro è scritto davvero bene, come i Rudi sanno fare, e si lascia leggere con grande facilità e piacevolezza. Scorrendo le sue pagine (elettroniche, ovviamente) si scoprono cose davvero interessanti: per esempio la storia del 30 febbraio (che è davvero esistito in una certa nazione e in un certo anno), il millenario dilemma tra calendari solari, lunari, lunisolari e chi più ne ha più ne metta, o l'algoritmo del Giorno del Giudizio, inventato da quel geniaccio di John Conway, e comodissimo per determinare in che giorno della settimana cada una certa data.
Insomma, cosa aspettate a scaricarlo e a leggerlo? La vostra estate sarà molto più ricca e gradevole.

Colgo l'occasione per elogiare e ringraziare di cuore i Rudi per aver promosso il loro libro senza mai dimenticare i titoli di tutti i "colleghi di collana", e di avere quindi citato anche il sottoscritto sul blog de Le Scienze e sull'ultimo numero della rivista che prende il nome dallo stesso trio, dove mi hanno voluto dedicare una recensione per me bellissima, della quale cito le ultime (per me commoventi) parole:
La matematica sta dappertutto, nella mente irrequieta di Barrett, nell’obiettivo del fotografo di Ummagumma, ma anche nella matita smozzicata dello scolaro, nella scarpa del centravanti in televisione, nella Luna che tramonta a Ovest e nel DNA della portinaia che rientra dal supermercato. Paolo Alessandrini l’ha tirata fuori dai Pink Floyd, e il merito è tutto suo: molto più che di Barrett, Waters, Gilmour, Wright e Mason
.

Non contenti, i Rudi hanno menzionato tutti gli autori di Altramatematica addirittura sulle sacre pagine cartacee della rivista di divulgazione scientifica più importante d'Italia. Prova ne è l'immagine qui a fianco, tratta dal numero di luglio, di fronte alla quale ancora oggi, diverse settimane dopo, mi scopro ancora incredulo, e mi chiedo se sono proprio io quell'Alessandrini che viene citato, oppure se si tratti, molto più probabilmente, di un omonimo autore di libri di "matematica pop". Che strana coincidenza, però!

martedì 5 agosto 2014

La narrativa di "Altramatematica"

L'estate è per molti una stagione tradizionalmente dedicata a passatempi rilassati, a occupazioni che distolgano la mente, a letture non impegnative. E quando si dice "letture non impegnative", il più delle volte si intendono romanzi e racconti, non saggi. Insomma, narrativa.
Secondo queste premesse, la tanto amata (almeno da me e dagli amici autori) collana Altramatematica si direbbe una collana poco estiva. Ma non è affatto vero. A parte il fatto che (per fortuna) molti lettori prediligono libri di divulgazione anche nella stagione estiva, Altramatematica vanta, tra tanti e-book di saggistica, anche tre titoli di narrativa. Del terzo scriverò più avanti: qui vorrei parlarvi dei primi due.

Il primo, Partition, è, per essere precisi, un testo teatrale, scritto da Ira Hauptman e tradotto da Martha Fabbri per 40K. La trama ruota attorno all'incontro che esattamente un secolo fa, a Cambridge, segnò la storia della matematica del Novecento: il matematico inglese Godfrey Harold Hardy conobbe l'indiano Srinivasa Ramanujan, in quello che il primo definì "l'unico incidente romantico" della sua vita.
La pièce di Hauptman è un bellissimo esempio di teatro matematico, che si legge molto piacevolmente: ai due protagonisti si affiancano Alfred Billington, amico di Hardy; e un Pierre de Fermat in versione del tutto inedita e fantasiosa.

Se al teatro preferite i racconti, ma non volete rinunciare allo sfondo matematico, non potete perdervi Racconti matematici, di Spartaco Mencaroni. Per chi non lo sapesse, Spartaco è un medico specializzato in medicina preventiva, ma la sua grande passione è la scrittura. Il suo blog Il coniglio mannaro è una vera miniera di idee geniali, di storie ricche di perizia compositiva, di fantasia e di grande apertura intellettuale. Fatevi ogni tanto un giro su quel blog: non vi deluderà.
Il librino che Spartaco ha pubblicato per Altramatematica contiene due racconti: il primo, intitolato Sulle fragili ali della bellezza, tratta la vertiginosa idea dell'infinito matematico, osservandola con gli occhi di un professore del Settecento che non riesce a comprendere il nuovo (per l'epoca) concetto degli infinitesimi, e per questo motivo rischia di diventare pazzo. Il secondo racconto è, a mio modesto parere, un piccolo capolavoro: in un contesto simil-fantascientifico, è l'avventurosa storia dell'esplorazione di una struttura frattale, detta spugna di Menger. Detto così sembra cosa noiosa, quando in realtà la storia lascia davvero senza fiato e conquista il lettore con sapiente ritmo e intelligenza narrativa. Come recita il trailer: "Immergiti in un racconto matematico, ma fai attenzione, potresti non trovare più l'uscita!"
Buone letture (matematiche) sotto l'ombrellone!