mercoledì 31 dicembre 2014

I primi quattro anni di Mr. Palomar

Gli antichi Greci (soprattutto nel periodo ellenistico) utilizzavano, come scala cronologica per gli avvenimenti storici, l'Olimpiade: il periodo di quattro anni che intercorreva tra due celebrazioni dei Giochi Olimpici.
Ecco: stasera, se così posso dire, termina la prima Olimpiade di Mr. Palomar.
Quattro anni fa, infatti, cioè la mattina del primo gennaio del 2011, mi saltava in mente di iniziare a tenere un blog, e da allora, per vostra sfortuna, non mi sono ancora deciso a smettere.
Devo dire che questo blog, iniziato un po' per scherzo, ha acquisito un significato per me sempre più grande. Sì, Mr. Palomar mi ha dato molto: in primo luogo mi ha permesso di entrare a far parte di una cerchia di blogger che mi onorano della loro amicizia, e in secondo luogo mi ha regalato moltissime soddisfazioni che quattro anni fa non mi sarei lontanamente nemmeno sognato.
Non intendo fare di questo post di fine anno una specie di autocelebrazione, ma mi piace ricordare che senza Mr. Palomar, per esempio, oggi non potrei dire di aver parlato di matematica e Debussy a Radio 3 Scienza o del Mozart combinatorio su Radio 24, non avrei una rubrica di matematica ricreativa sulla rivista Coelum Astronomia, e non avrei mai scritto un e-book dal titolo "La matematica dei Pink Floyd".
Se queste e molte altre cose molto stimolanti sono accadute, lo devo principalmente ai lettori di questo blog, che stranamente continuano a seguirmi. Un blog come questo ha un motivo di esistere soprattutto in quanto costituisce occasione di condivisione con la comunità dei propri lettori.
Grazie di cuore, quindi, a tutti voi che amate leggere queste pagine, per la vostra attenzione e per la vostra fedeltà.
E visto che oggi è l'ultimo dell'anno, auguro a tutti un 2015 ricco di serenità, creatività ed entusiasmo.
Il 2014, per me (non esito a dirlo), è stato l'anno più favoloso della mia vita. Si è aperto in maniera esaltante con l'uscita del mio libro, e si è concluso con un meraviglioso avvenimento che per importanza supera il precedente di svariati ordini di grandezza: la nascita di mio figlio Alberto.
A lui, in particolare, e a mia moglie Donata, va il mio ringraziamento più grande, per il regalo straordinario che mi hanno fatto, e il mio augurio più speciale per un 2015 felice e sereno.

lunedì 15 dicembre 2014

Carnevale della Matematica #80 su Pitagora e dintorni

Non avete ancora letto il Carnevale della Matematica n. 80? No? E cosa aspettate?
Già, perché questo Carnevale dicembrino, che fa da preludio alle imminenti festività di fine anno, è davvero ricco di sorprese.
Flavio Ubaldini, anche noto come Dioniso Dionisi, lo ha confezionato con perizia sul suo blog Pitagora e dintorni, mettendo insieme contributi di altissimo interesse.
Il tema, "Matematica e irrazionalità", si ricollega all'e-book appena uscito per la collana Altramatematica di 40K, del quale lo stesso Flavio è autore. Lasciamo allo stesso Dioniso il compito di introdurlo:

È una sorta di seconda parte del mio primo ebook. Si intitola "La Musica dell'irrazionale" ed è una storia di scoperte, trame e intrighi tra gli allievi della scuola di Pitagora.

Sicuramente una recensione di questo consigliatissimo libro uscirà prossimamente su questo blog.
Ma torniamo al Carnevale. Non contento di avere raccolto una sostanziosa carrellata di segnalazioni, il buon Flavio si è inventato una vera genialata, che entra dritta filata nella gloriosa storia del Carnevale e che lascio descrivere direttamente a lui (o meglio, ai suoi due ormai classici personaggi dialoganti):

- E poi, ispirandomi a Popinga, ho anche creato le melodie in codice per i carnevali della matematica.
- Melodie in codice? Musica e numeri? La cosa si fa interessante. Forse potrei anche perdonarla.
- Ah, bene! Ecco l'idea.


Ovviamente l'idea la trovate spiegata nel Carnevale stesso. Vi anticipo soltanto che, grazie alla trovata di Dioniso, ogni Carnevale avrà la sua firma musicale: non solo potremo leggerlo, ma lo potremo anche... cantare, o suonare.
Buona lettura, quindi, e buon ascolto! Vi ricordo che il prossimo Carnevale della Matematica, il numero 81, sarà ospitato da Leonardo Petrillo nel suo blog Scienza e Musica, con il tema "Storia, Personaggi e Applicazioni dell'Analisi Matematica".

domenica 30 novembre 2014

Algoritmi golosi

Hieronymus Bosch, Sette peccati capitali, Gola
Nel sesto canto dell'Inferno, Dante incontra i golosi, flagellati da una piova etterna, maladetta, fredda e greve. 
La pioggia cade incessante, con intensità sempre uguale, mista a neve e grandine, e il fango che si forma al suolo è maleodorante.

Forse anche un ipotetico inferno degli informatici avrebbe un girone dei golosi: ma in questo caso a essere puniti non sarebbero gli ingordi di cibi e bevande, ma i progettisti di algoritmi che non si sono saputi trattenere dall'utilizzo di metodologie "golose", o "greedy".

Un algoritmo goloso è un metodo per risolvere un problema attraverso una serie di passi, ciascuno dei quali mira a espandere la soluzione parziale fino a quel momento costruita, con lo scopo di arrivare infine a una soluzione completa: a ogni passo, l'algoritmo goloso compie la propria scelta in modo "ingordo", perseguendo cioè il massimo guadagno possibile, senza ovviamente violare le regole del problema.

Vediamo un esempio. Supponiamo di avere una macchina distributrice di bevande in grado di dare il resto. Ogni volta che la macchinetta deve dare il resto, deve prendere decisioni inerenti a quali monete utilizzare per arrivare alla somma da restituire. L'obiettivo è quello di utilizzare ogni volta il numero più basso possibile di monete. Immaginiamo, per semplicità, che la macchina disponga sempre di quantità infinite di monete da 1 euro, 10 cent e 1 cent.
Un algoritmo goloso, in questo caso, potrebbe funzionare a ogni passo come segue:
1. calcola quanto manca al raggiungimento della somma da restituire;
2. seleziona, tra le monete con valore minore della somma che manca, quella con valore più alto;
3. emetti una moneta del tipo selezionato.
Se, per esempio, deve essere erogato un resto di 1,12 euro, la macchina sceglierà, al primo passo, di consegnare una moneta da 1 euro. Al secondo passo, dato che mancano 12 cent, la macchina selezionerà una moneta da 10 cent. Gli ultimi due passi comporteranno entrambi l'emissione di una moneta da 1 cent.
Tutto bene, direte voi. Anche noi, dovendo pagare 1,12 euro e disponendo di questi tagli, avremmo scelto questa combinazione. Sì, però abbiamo visto un caso fortunato, in cui l'algoritmo goloso perviene a una soluzione completa soddisfacente.
Cosa accadrebbe se invece di monete da 1 euro, 10 cent e 1 cent, la macchina disponesse di monete da 1 cent, 15 cent e 25 cent, e dovesse consegnare un resto di 30 cent? Per colpa del suo modo di pensare ingordo, sceglierebbe di erogare dapprima una moneta da 25 euro, e poi sarebbe costretta a snocciolare una dopo l'altra cinque monete da 1 cent. Si tratta della soluzione migliore? No, perché fa uso di ben sei monete, quando due monete da 15 cent avrebbero risolto il problema molto più brillantemente.
E non ditemi che le monete da 15 e da 25 cent non esistono: non è questo il punto.
Gli algoritmi golosi, in generale, non garantiscono il successo nel trovare la soluzione ottima di un problema. Anzi, possiamo dire che il  più delle volte falliscono miseramente.

Un altro esempio? Immaginate che quattro uomini, Aldo, Bernardo, Carlo e Damiano, equipaggiati con una torcia, debbano attraversare di notte un ponte pericolante. Non più di due persone alla volta possono passare sul ponte, e ogni uomo o coppia che si avventura deve avere con sè la torcia. La torcia, inoltre, deve essere portata avanti e indietro, e non può essere lanciata da un capo all'altro del ponte. Aldo impiega 1 minuto ad attraversare il ponte, Bernardo ci mette 2 minuti, Carlo 5 minuti, e Damiano 10 minuti. Una coppia impiegherà il tempo imposto dall'attraversatore più lento.
Qual è, per i quattro uomini, il modo più veloce di attraversare il ponte?

Se gli uomini decidono di risolvere il problema adottando un approccio greedy, saranno inviate al di là del ponte le due persone più veloci, cioè Aldo e Bernardo, che impiegheranno 2 minuti. Il più veloce dei due, cioè Aldo, tornerà con la torcia in un minuto. Di nuovo partiranno i due uomini più veloci disponibili, cioè Aldo e Carlo, che arriveranno al di là del ponte in 5 minuti. Tornerà di nuovo Aldo con la torcia, impiegando 1 minuto. Infine sarà la volta di Aldo e Damiano, che giungeranno a destinazione in 10 minuti. Il tempo complessivo sarà quindi di 19 minuti.
Secondo voi è il modo più veloce di attraversare il ponte, cioè è la soluzione ottimale del problema? Provate a investigare: scoprirete che non lo è: esiste una soluzione migliore, e quindi la "golosità algoritmica" ha messo a grave rischio i quattro uomini (ricordate che il ponte era pericolante, e ogni minuto risparmiato era prezioso).

Non si devono confondere gli algoritmi greedy con gli algoritmi di discesa: è vero che anche in questo secondo caso si tratta di procedure che, a ogni passo, scelgono la via che appare più conveniente, senza guardare alla globalità del problema, ma i due scenari sono molto diversi.
Il "passo" di un algoritmo greedy serve a espandere la soluzione fino a quel momento costruita: aggiunge, per così dire, un mattone al muro in costruzione, ma il muro completo, che può essere definito una soluzione, sarà pronto soltanto alla fine dell'algoritmo.
Nel problema del resto, ogni passo corrisponde a una delle monete erogate. Nel problema del ponte, ogni passo è un attraversamento.
Gli algoritmi di discesa, invece, costruiscono a ogni passo una soluzione completa, e cercano di migliorarla costruendone un'altra che differisce dalla precedente per qualche particolare. In questa transizione effettuano una scelta che, in un certo senso, è miope, cioè cerca di massimizzare un qualche "profitto". Anche in questo tipo di metodologia la scarsa lungimiranza può portare su strade poco promettenti, è vero: ma in generale si tratta di un approccio molto importante nella risoluzione dei problemi di ottimizzazione, che con alcune correzioni e accorgimenti particolari può condurre a risultati interessanti. Nel vecchio post Mosse tabu avevo accennato a una di queste importanti correzioni.

domenica 16 novembre 2014

Carnevale della Matematica #79 sul Coniglio Mannaro

Annuncio in ritardo il Carnevale della Matematica n. 79, ospitato dal sontuoso e sempre stimolante blog Il Coniglio Mannaro di Spartaco Mencaroni: sono già passati due giorni, è vero, ma sono fiducioso che il Coniglio mi perdonerà.
Dopo sei mesi torna alla ribalta un numero primo, il 79 appunto, e per l'occasione il Sommo Popinga ha indicato un nuovo verso della sua Poesia Gaussiana: senza posa.
Il tema scelto da Spartaco per l'occasione era di quelli davvero affascinanti: matematica e libertà.
Come afferma lo stesso Mencaroni, il verso gaussiano ben si adatta all'argomento carnevalizio:

Una scelta di termini decisamente appropriata, se pensiamo agli sforzi che l'uomo ha fatto, e che continua a compiere, per la ricerca o la riconquista della propria libertà.

Quanto all'ancora più suggestivo legame tra libertà e matematica, bè, qui Spartaco si produce in un excursus storico molto interessante, del quale riporto solo l'inizio:

La storia parte da lontano ed ha molto a che fare con il rapporto fra umanesimo e scienza. In genere si tende a far coincidere l'avvio di questo dialogo con il Rinascimento, considerato un'epoca in cui il risveglio e il fermento della società occidentale costituiscono il periodo prodromico della nascita del pensiero moderno. L'uomo medioevale si desta da una sorta di (presunto) sonno della ragione, popolato di pensiero magico, credenze superstiziose, bestiari e orripilari; riscopre la cultura tardo antica, liberandola dalle pastoie delle interpretazioni dottrinali scolastiche ed iniziando così la sua marcia trionfale verso il pensiero laico e razionale.

Come sempre, il post carnevalesco mette in evidenza numerosissimi contributi, provenienti da diversi colleghi blogger.
Basterebbero loro, oltre alla bravura di Spartaco nel presentarli, a rendere il Carnevale meritevole di essere letto. Ma un evento speciale, avvenuto da pochi giorni, rende ancora più singolare il Carnevale novembrino: lo stesso Mencaroni, annuncia l'uscita del nuovo librino di Altramatematica, scritto da lui medesimo assieme a Roberto Zanasi.
Il titolo del libro è Matematica e gioco d'azzardo, che dice già molto sull'argomento (attualissimo) che viene trattato: prima o poi su questo blog uscirà una recensione dell'e-book.

Ringrazio Spartaco per avere segnalato le tre parti (1, 2, 3) del mio multi-post sui libri infiniti, oltre all'articolo su Charles Bachman.
Congratulazioni a lui e a tutti gli autori dei post segnalati!
Il prossimo Carnevale, quello che fa da preludio alle feste natalizie, sarà organizzato dal blog Pitagora e dintorni dell'amico Flavio Ubaldini.
Buona lettura a tutti!

martedì 11 novembre 2014

Il weekend di Altramatematica

Si annuncia un lungo e straordinario fine settimana per la collana Altramatematica di 40K.
Giovedì, infatti, parte Bookcity Milano, iniziativa che comprende moltissimi eventi di interesse librario, tra i quali segnalo la presentazione dell'ottimo Matematica in pausa caffè di Maurizio Codogno.
Cosa c'entra Altramatematica? Bè, in occasione dell'iniziativa milanese, la casa editrice 40K ha deciso di vendere tutti gli e-book della collana a soli 99 centesimi! La promozione durerà da domani mercoledì 12 fino a domenica 16 compresa.
Si tratta di un'occasione davvero da non perdere. Tenete presente che tutti i titoli della collana saranno scontati, anche il teatrale Partition, che solitamente è venduto a 2,99 euro.
Come ha suggerito l'amico Flavio Ubaldini, acquistando tutti i librini risparmierete ben 12 euro. Mica male, no?
Ma il weekend di Altramatematica non si ferma alla promozione (che pure non è poco). Come già annunciato, venerdì 14 novembre, alle ore 21, presso l'Auditorium di Villa Olivi a Breda di Piave, presenterò il mio e-book La matematica dei Pink Floyd, in una serata (a ingresso libero) che offrirà molte sorprese.

E non è finita qui: domani uscirà un nuovo librino della collana: il dodicesimo, e l'unico che resterà a prezzo pieno. Di che cosa si tratta? Solo poche ore di pazienza, lo saprete domani!
Catapultatevi sugli store online, allora: l'occasione è ghiotta!

domenica 9 novembre 2014

I premi Turing: Charles Bachman


Charles Bachman (da http://amturing.acm.org)
Che cos'è l'informatica?  Cercate il termine su un qualsiasi dizionario: con ogni probabilità, troverete definizioni del tipo "La scienza che si occupa dell’ordinamento, del trattamento e della trasmissione delle informazioni per mezzo dell’elaborazione elettronica" (questa è tratta dal Le Monnier).
In ogni caso, è pressoché certo che all'interno della definizione troviate la parola  "informazione" (lo stesso vocabolo "informatica" è la contrazione di "informazione automatica"). Se gli informatici hanno soprattutto a che fare con informazioni, è evidente che uno delle loro necessità principali sia quella di immagazzinare queste informazioni da qualche parte.

I database (o le “basi di dati”, se preferite la dizione italiana, ormai un po’ desueta), sono una delle più importanti risposte escogitate per soddisfare questo bisogno. Esistono molti tipi di database, ma la categoria di gran lunga più utilizzata è quella dei database relazionali. 
Uno dei primi ricercatori a occuparsi dell’argomento fu l’americano Charles Bachman, classe 1924, premio Turing 1973. 
Il padre di Charles era un allenatore di squadre universitarie di football, e negli anni dell’infanzia di Charles si spostò molto tra gli atenei americani, portando con sé la famiglia. Nel 1944 Charles si arruolò nell’esercito e combatté fino alla fine della guerra nel teatro del Pacifico. Nel 1950 si laureò in ingegneria meccanica presso l’Università della Pennsylvania. Negli anni successivi fu ingaggiato da una compagnia chimica per lavorare su alcuni problemi di ricerca operativa, e fu in questa occasione che ebbe le sue prime esperienze con i computer. 
Da allora in poi, il suo percorso di ricerca e sviluppo si svolse interamente presso aziende piuttosto che in ambito accademico. Nel 1960, presso la General Electric, cominciò la sua lunga e onorata carriera di ricercatore nell’ambito dei database progettando IDS ("Integrated Data Store"), uno dei primi e più famosi sistemi di gestione di dati della storia.
IDS implementava una serie di tecnologie innovative che rappresentarono per molti anni il punto di riferimento nell'ambito dei database. Ci volle molto tempo prima di vedere emergere altri sistemi che potessero competere con quello progettato da Bachman.

Charles Bachman
Il contributo più noto di Bachman riguarda però i diagrammi che portano il suo nome: schemi utilizzati per descrivere la struttura di un database relazionale come una rete che collega tra di loro diverse “relazioni”. Una relazione è un insieme di “tuple” (d1, d2, ..., dn), ciascuna delle quali è una sequenza di m attributi (dove m è un numero naturale). I valori ammessi per gli attributi di una tupla possono appartenere a insiemi diversi, ma la sequenza di domini ammessi è la stessa per tutte le tuple di una stessa relazione.
Il modo più intuitivo per raffigurarci mentalmente una relazione è vederla come una tabella: le sue tuple sono le righe, mentre gli attributi (ciascuno con il suo dominio) che compongono le tuple corrispondono alle colonne. Una relazione serve astrattamente per rappresentare un’entità, e più concretamente per contenere dei dati. Per esempio, una relazione “Impiegati” potrebbe servire per descrivere gli impiegati di un’azienda, ciascuno corrispondente a una tupla, e ciascuna tupla potrebbe essere formata da una sequenza di attributi (nome, cognome, numero di matricola, mansione, stipendio, e così via). 

In un database, e qui tocchiamo il punto critico, vi sono sempre dei legami tra una relazione e l’altra. Supponiamo che oltre alla relazione “Impiegati” il database contenga una relazione “Dipartimenti”: è naturale pensare che tra le due relazioni sussista un legame, allo scopo di stabilire a quale dipartimento appartiene ciascun impiegato, cioè a quale tupla della relazione “Dipartimenti” sia associata ogni tupla della relazione “Impiegati”.


Le figure qui a fianco sono tratte da uno degli articoli fondamentali di Bachman, intitolato Data structure diagrams, e pubblicato nel 1969.
Le due relazioni (o entità) “Dipartimenti” e “Impiegati” sono mostrate come rettangoli che vengono poi collegati tra di loro. La freccia serve a indicare graficamente tale collegamento, e rappresenta l'idea che ogni impiegato è assegnato a uno dei dipartimenti.
In generale, i collegamenti tra entità possono essere caratterizzati da diversi tipi di cardinalità: il tipo più comune è quello 1 a n (un dipartimento contiene n impiegati), ma esistono anche collegamenti 1 a 1, e n a n.

Charles Bachman fu così, verso la fine degli anni Sessanta, uno dei pionieri dei diagrammi che descrivono la struttura di un database relazionale. 
A partire dal 1976, soprattutto in seguito ai lavori dell'informatico Peter Chen, i modelli di questo tipo vengono chiamati “diagrammi entità-relazioni”, o diagrammi E-R. Ma attenzione: qui la parola “relazione” indica i legami tra le relazioni (come quello tra impiegati e dipartimenti), e non le relazioni stesse, che invece sono denominate “entità”. Questa confusione terminologica è stata fonte di mille fraintendimenti. Si noti però che in inglese i termini sono ben distinti: “relation” è l’insieme di tuple che corrisponde a un entità e viene implementato da una tabella, e “relationship” è l’associazione che lega due relazioni, o due entità o tabelle.

Il premio Turing fu assegnato a Charles Bachman nel 1973 per i suoi “eccezionali contributi alla tecnologia dei database”. Le sue ricerche pionieristiche riguardanti la modellizzazione dei database sono state, in effetti, di enorme importanza per lo sviluppo dei potentissimi sistemi oggi disponibili.
Nella storia del prestigioso riconoscimento, Bachman fu il primo vincitore privo di un dottorato, il primo ingegnere (e non matematico), e il primo ricercatore industriale non accademico.
Pare che dopo essere stato insignito, Bachman si interessò molto alla vita di Alan Turing, e fece persino la conoscenza di Sara Turing, l'anziana madre del grande matematico.

lunedì 3 novembre 2014

Come costruire un libro infinito (terza parte)

Jean Paul Delahaye
Per chi si fosse perso le prime due puntate di questo blog multiplo sui libri infiniti, ecco la prima e la seconda. Nella seconda parte accennavo alle caratteristiche paradossali di alcuni dei libri descritti da Jean Paul Delahaye.

Per esempio, aprendo a caso il libro Q, legato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1, troviamo con certezza due pagine nere a sinistra e a destra: questo volume sembra possedere più pagine nere-abisso del libro R, associato all'insieme dei numeri reali inclusi nello stesso intervallo.

Possiamo costruire un altro libro alquanto bizzarro togliendo al libro Q la prima e l'ultima pagina: il libro Q' che otteniamo sembra non contenere alcuna pagina stampata, quando invece ne contiene infinite.
D'altro canto, un libro infinito non può essere privo di pagine leggibili: anzi, per definizione, ne deve contenere in quantità infinita. Le pagine stampate del libro Q', infatti, ci sono, e sono appunto infinite, ma non è possibile trovarle aprendo il libro: sono, paradossalmente, pagine segrete, del tutto impenetrabili ai nostri occhi.

Anche il libro R è, a modo suo, paradossale. Aprendolo a caso, come abbiamo già visto, troviamo una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Ogni pagina stampata, in effetti, è sempre preceduta e seguita da pagine nere: i testi del libro sono tutti isolati e sconnessi gli uni dagli altri.

Una versione tridimensionale dell'insieme di Cantor
Un altro libro infinito paradossale riflette la struttura del frattale noto come "insieme di Cantor". Partendo dall'intervallo [0, 1], lo si divide in tre parti uguali e si scarta quella centrale. Quindi, per ciascuno degli intervalli rimasti, si ripete il procedimento, e così via ad infinitum.
Questo processo di eliminazione continua produce, al limite, un insieme che si dimostra essere di misura nulla e tuttavia formato da un'infinità di numeri. Non solo: si tratta di un'infinità non numerabile.
Detto diversamente: le pagine del libro di Cantor, che chiamiamo C, sono infinite  quanto i numeri reali, e non soltanto come i numeri interi. Aprendo il libro a caso, si trovano sempre due pagine stampate, ma subito prima e subito dopo vi sono pagine nere. Il libro è molto strano: sembra essere composto da coppie di pagine leggibili, isolate e circondate da pagine nere-abisso. Come il libro R, con la differenza che ogni pagina isolata è stata, per così dire, sdoppiata. Ma anche questo è paradossale, perché in realtà C ha meno pagine di R.

Questa ubriacatura di libri paradossali fa venire alla mente il paradosso del bibliotecario. In una grande biblioteca venivano prodotti molti cataloghi del posseduto: uno elencava i libri in italiano, un altro quelli in inglese, un altro ancora i volumi di matematica, e così via. I cataloghi venivano classificati dal bibliotecario come libri ordinari, e come tali erano disposti sui normali scaffali della biblioteca e catalogati al pari degli altri volumi.
Un giorno il bibliotecario si accorse che alcuni dei cataloghi erano elencati in se stessi (per esempio l'elenco dei volumi in italiano e quello dei volumi stampati nell'anno in corso), e altri (per esempio quello dei libri in inglese e quello dei libri di matematica) non lo erano. Per approfondire la curiosa questione, il bibliotecario decise allora di stilare due ulteriori cataloghi: quello dei cataloghi  elencati in se stessi e quello dei cataloghi non elencati in se stessi. I problemi del bibliotecario iniziarono non appena si domandò se quest'ultimo volume dovesse o no includere se stesso.
Infatti, supponiamo che il catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi contenga anche se stesso: ma allora il catalogo stesso è elencato in se stesso, e come tale non dovrebbe comparire nella sua stessa lista. Viceversa, supponiamo che questo elenco non contenga se stesso: se ciò accade, si tratta di un catalogo che dovrebbe comparire nella lista dei cataloghi non elencati in se stessi, quindi l'elenco dovrebbe autoincludersi.
Non c'è via d'uscita: siamo di fronte a un paradosso, un po' come quello del famoso barbiere di Russell o quello del mentitore cretese.

A parte il carattere paradossale, cosa c'entra la storiella del bibliotecario con i libri infiniti? Nella versione classica, che è quella che ho raccontato, nulla. Ma esiste una versione alternativa della storia ambientata in una biblioteca che comprende tutti i libri possibili: anche quelli mai esistiti, impossibili, impensabili. In una simile vertiginosa e infinita biblioteca, anche il fatidico catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi, per quanto contraddittorio, deve essere presente.

Da http://www.vallesabbianews.it
Qui a essere infinito non è il singolo libro, ma la biblioteca, e parlando di biblioteche infinite non può non tornare in mente La biblioteca di Babele. Non a caso, in questo racconto Borges allude un paio di volte al paradosso del bibliotecario:

Come tutti gli uomini della Biblioteca, in gioventù io ho viaggiato; ho peregrinato in cerca di un libro, forse del catalogo dei cataloghi; ora che i miei occhi quasi non possono decifrare ciò che scrivo, mi preparo a morire a poche leghe dall'esagono in cui nacqui.

Non vi sono, nella vasta Biblioteca, due soli libri identici. (…) i suoi scaffali registrano tutte le possibili combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero, anche se vastissimo, non infinito), cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della Biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione della falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo autentico, (…)

D'accordo, nella Biblioteca di Babele si parla di una biblioteca infinita, ma, come già ricordato nella prima parte di questo post, è Borges stesso a osservare come una biblioteca infinita sia perfettamente equivalente a un unico libro infinito, formato da un numero infinito di fogli infinitamente sottili.
Anche un libro infinito, come quelli descritti da Delahaye, potrebbe ospitare in sè tutti i libri della Biblioteca di Babele, i suoi cataloghi, i cataloghi dei cataloghi, e così via.
La questione interessante, sostiene il matematico francese, consiste casomai nell'analizzare i diversi modi in cui un libro infinito può contenere informazione. Da questo punto di vista, Delahaye individua quattro diverse tipologie di libro infinito:
1. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero fisso di caratteri (o pixel di immagini);
2. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero finito ma variabile di caratteri (o pixel di immagini);
3. libri infiniti in cui ogni pagina contiene una infinità numerabile di caratteri (o pixel di immagini);
4. libri infiniti in cui ogni pagina è assimilabile a una porzione del piano cartesiano, sulla quale si possono disegnare testi e immagini in modo infinitamente fine.
Ciascuna di queste famiglie di libro infinito è caratterizzata da situazioni e conseguenze diverse, che Delahaye sviscera in dettaglio.
E qui mi fermo, stavolta definitivamente. Il lettore troverà senz'altro ulteriori spunti di approfondimento sul citato libro di Delahay, e ovviamente anche sui testi letterari da me citati in questi tre post.
Ve lo posso assicurare: sono tutti libri finiti, quindi li potete leggere dall'inizio alla fine tranquillamente, senza pericolo di perdervi nei vertiginosi meandri dell'infinito.

lunedì 27 ottobre 2014

La matematica dei Pink Floyd a Breda di Piave

In un autunno entusiasticamente floydiano, grazie all'imminente uscita del nuovo album The endless river (anticipato dal singolo Louder than words), non potevo tralasciare di parlare ancora un po' di matematica e Pink Floyd.
Per questo, venerdì 14 novembre presenterò il mio libro La matematica dei Pink Floyd a Breda di Piave, in provincia di Treviso.
La serata, intitolata La matematica è rock, si svolgerà presso l'Auditorium di Villa Olivi, in Piazza Olivi, con inizio alle ore 21 e ingresso libero.
L'evento fa parte della rassegna intitolata Suggestioni d'autunno, organizzata dalla Biblioteca Comunale di Breda di Piave.
La serata vedrà anche la presenza del chitarrista Stefano Zamuner, che proporrà alcuni momenti musicali ispirati alla musica dei Pink Floyd, e di Christian Stradiotto, che leggerà alcuni passi del mio libro.
Introdurrà la presentazione Sandra Fedrigo.
Oltre alla musica e alla lettura, la serata proporrà anche immagini e filmati.
Come nella recente presentazione a Guanzate, non parlerò soltanto di matematica nei Pink Floyd, ma anche di spunti matematici legati ad altri protagonisti del rock.
Ringrazio la Biblioteca di Breda di Piave per la bella opportunità.
Mi raccomando, non mancate!

venerdì 17 ottobre 2014

Carnevale della Matematica #78 su Crescere Creativamente

Spero che i miei lettori mi perdoneranno per il timing di questo post, che non è esattamente dei migliori: ma il Carnevale della Matematica è appuntamento così importante che non è possibile dimenticarlo. Meglio ritardare di qualche giorno, ma saltare un'edizione no, non sia mai.
L'edizione numero 78 è stata ospitata dal blog Crescere Creativamente di Rosalba Cocco, con l'interessante tema "Disegnate la matematica".

Come riporta la stessa maestra Rosalba:

"Disegnate la matematica" è il tema proposto ed è la consegna che ho impartito ai miei alunni di classe seconda durante l'attività della scorsa settimana. Non è facile per i bambini piccoli rappresentare i numeri, per quanto questi ultimi vengano presentati tramite oggetti, quindi con l'idea di renderli aderenti alla realtà, essi sono comunque un'astrazione. Perfino nei semplici problemi che prendono spunto da situazioni pratiche, sono percepiti dai bambino come distanti. Una cosa è sicuramente vera: i bambini sono più abituati a ragionare sul linguaggio a conoscere nomi e concetti relativi alla lingua, meno abituati al ragionamento sui concetti di quantità

Eppure i disegni che i bambini hanno consegnato e che hanno impreziosito la carrellata carnevalesca sono tutti molto belli, così come lo sono i numerosi contributi presentati, alcuni dei quali anche a tema.
Questo blog ha partecipato con la seconda parte del post Come costruire un libro infinito (attenzione, è in arrivo la terza e ultima parte).

Vi ricordo l'appuntamento con il prossimo Carnevale, il numero 79: sul magnifico blog Il Coniglio mannaro del grande Spartaco Mencaroni, con il suggestivo tema "Matematica e libertà".
(Ohibò: 79 è primo, e quindi il Sommo Popinga e il Fondatore .mau. hanno dovuto inventare per l'occasione il nome in codice gaussiano, che è Senza posa.)
Spartaco ha introdotto il prossimo Carnevale d'autunno con un post che a suo dire rappresenta una sommessa introduzione, un richiamo ancora vago, in anticipazione di una qualche sorpresa. Attendiamo con curiosità. Per adesso, complimenti a Rosalba e a tutti i partecipanti del Carnevale d'ottobre, e lunga vita al Carnevale!

martedì 7 ottobre 2014

Come costruire un libro infinito (seconda parte)

Nella prima parte di questo post (uscita ormai più d'un mese fa: perdonatemi il ritardo con cui esce questa sezione finale), riportavo l'"assioma dei libri infiniti" così come formulato da Jean Paul Delahaye:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Ciascuno dei libri infiniti che rispettano l'assioma di Delahaye è quindi associato a un sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1].
Ovviamente questa ipotesi è piuttosto difficile da immaginare, perché stiamo parlando di sottoinsieme infiniti, e ciò significa che dobbiamo figurarci nella mente fogli infinitamente sottili, cosa non certo intuitiva.
D'altra parte, fa notare Delahaye nel suo libro (che, per inciso, non è infinito), non si capisce perché  fogli di spessore infinitesimale debbano essere più assurdi rispetto a istanti di tempo di durata infinitesimale, che in fisica sono del tutto normali.

Come la mettiamo però con il fatto che ogni foglio ha due facce, cioè due pagine? È presto detto. Se x è il numero reale appartenente all'intervallo [0,1], la pagina anteriore, cioè il recto, sarà associata a un numero indicato come x_, mentre la pagina posteriore, cioè il retro, sarà legata a un numero denotato come x+.

Prendiamo ora E oppure una sua parte (ovvero un plico di fogli del nostro libro infinito). Tale insieme avrà un estremo inferiore inf(E) e un estremo superiore sup(E). Può accadere che l'estremo inferiore appartenga a E, oppure no. E analogamente per l'estremo superiore.
Per esempio, consideriamo il libro infinito associato all'insieme A = {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. L'estremo superiore di questo insieme è uguale a 1: dato che esso appartiene all'insieme A stesso, lo chiamiamo massimo di A.
L'estremo inferiore è invece 0, ma questo numero non fa parte di A, e quindi possiamo dire che A non ha un minimo.
Quali sono le conseguenze per il nostro libro infinito? Visto da sopra, il libro non presenta una pagina specifica, cosa che accadrebbe se invece l'insieme A avesse un minimo. Per convenzione, Delahaye immagina che il plico di fogli appaia completamente nero, o, più poeticamente, nero-abisso, come se l'insieme infinito di fogli sottostanti producesse, a causa della trasparenza della carta, una sorta di infinita sovrapposizione del contenuto nero stampato.
In altre parole, nessuna pagina è la prima pagina di questo mostruoso libro infinito. Un'ultima pagina, invece, ce l'ha, ed è la pagina associata al numero 1+.

Delahaye suggerisce che, quando il lettore trova, in un punto qualsiasi del libro, una pagina stampata, sulla sinistra o sulla destra, può sempre umettarsi leggermente il dito e voltare la pagina: all'indietro se si tratta di una pagina sulla sinistra, o in avanti se si tratta di una pagina sulla destra. Detto altrimenti, il lettore può staccare la pagina dal plico cui appartiene, osservandone la parte opposta.
Torniamo al nostro libro A. Umettando ripetutamente il dito e andando dall'ultima pagina a ritroso verso l'inizio, si sfilano in sequenza le pagine 1+ , 1_ , 1/2+, 1/2_, 1/3+, 1/3_, ... Tutte queste pagine appaiono stampate, cioè non sono nero-abisso. Solo la copertina iniziale è completamente nera: possiamo immaginare che le pagine, mano a mano che ci si avvicina all'inizio, diventino sempre più sottili, tendendo all'infinitamente sottile!

Il libro A sembra quindi un supporto perfetto per una storia che ha un finale ma che non ha un inizio preciso.
Viceversa, un libro complementare ad A è un libro che inizia ma non finisce: per esempio il libro infinito associato all'insieme B ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}, che ha come unica pagina nero-abisso la sua ultima pagina.
Il libro A può essere modificato aggiungendo, davanti alla copertina, una pagina corrispondente allo 0: otteniamo così il libro associato a A' = {0} U {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. Il primo foglio di questo libro può essere voltato inumidendo il dito, ma dopo aver compiuto questa operazione il lettore si troverà davanti la pagina 0+ a sinistra e una pagina nero-abisso a destra. Questa vertiginosa pagina nera nasconde in realtà l'insieme di fogli corrispondente all'insieme dei numeri reali A.

Un interessante libro infinito è quello associato all'insieme C ={..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1- 1/3, 1-1/4, 1-1/5, ...}, che presenta le due copertine completamente nere, ma nessun'altra pagina in questo volume è nero-abisso. Il foglio 1/2 si trova a metà tra un'infinità di pagine e un'altra infinità di pagine.
Come osserva Delahaye, tutto sommato si tratta di un libro infinito dalla struttura abbastanza semplice.
Un libro certamente più affascinante è quello legato all'insieme D = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}. Questa volta, al centro del libro c'è un doppio accumulo di fogli: se il lettore riuscisse ad aprirlo esattamente nel mezzo, troverebbe a sinistra un plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di massimo {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...}, e a destra un altro plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di minimo {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.
Finché il lettore non riesce a operare questa delicata e precisissima apertura del volume, potrebbe pensare di avere a che fare con il libro corrispondente all'insieme D' = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {1/2} U {..., 1/2+1/5, 1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.

I due libri D e D' sono topologicamente diversi, mentre può accadere che diversi insiemi infiniti corrispondano in realtà a libri indistinguibili tra loro, in quanto perfettamente equivalenti dal punto di vista topologico. Tanto per fare un esempio banale, {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} e {2, 4, 6, ..., 2n, ...} generano libri infiniti indistinguibili l'uno dall'altro.

Il libro R è il libro infinito associato all'insieme di tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Com'è fatto questo volume? Possedendo un minimo, 0,  e un massimo, 1, le copertine sono entrambe stampate. Tuttavia, girando la prima pagina, troveremo sulla sinistra una pagina stampata e sulla destra una pagina nero-abisso, dato che non esiste il minimo dei numeri reali positivi. In modo analogo, partendo dall'ultima pagina e tornando indietro, ci imbattiamo subito in una pagina leggibile sulla destra, e in una pagina nero-abisso sulla sinistra.
In generale, aprendo il libro a caso, scopriremo sempre, sui due lati, una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Il fatto che la pagina nera si trovi a sinistra o a destra dipende dal tipo di separazione che operiamo aprendo il libro casualmente. La separazione può infatti essere del tipo [0, x[ e [x, 1] oppure del tipo [0, x] e ]x, 1]. Nel primo caso troveremo la pagina nera sulla sinistra, mentre nel secondo caso la osserveremo sulla destra.

Un altro libro infinito descritto da Delahaye è quello Q, associato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1. Com'è noto, i numeri razionali sono quelli della forma p/q, dove p e q sono numeri interi, con p compreso strettamente tra 0 e q, e q diverso da zero. 
Come accade per il libro R, anche Q ha le due copertine stampate, e quando si gira il primo foglio, oppure l'ultimo all'indietro, si trova una pagina completamente nera. Però, sfogliando il libro Q, può accadere a un certo punto di trovare entrambe le pagine di color nero-abisso. Perché? Per il fatto che alcuni sottoinsiemi superiormente limitati dell'insieme dei numeri razionali non hanno l'estremo superiore.
Questo può apparire un paradosso: il libro Q sembra presentare più pagine nere del libro R, quasi come se il libro Q fosse più infinito del libro R (cosa paradossale visto che l'insieme dei reali, che ha la potenza del continuo, è in realtà più "numeroso" dell'insieme dei razionali, che è "soltanto" numerabile).

Non solo: abbiamo visto che aprendo a caso il libro R, ci troviamo sempre a che fare con una pagina leggibile e una pagina nero-abisso. Cosa accade se invece apriamo a caso il libro Q?
Per rispondere a questa domanda, dobbiamo definire rigorosamente l'operazione di apertura a caso di un libro infinito. Tale operazione equivale a estrarre a caso un numero reale x compreso tra 0 e 1, e mettere a sinistra tutti i fogli il cui numero è minore di x, e a destra tutti i fogli il cui numero è maggiore di x. Se x stesso corrisponde a un foglio presente nel libro, si fa testa o croce per decidere se il foglio x deve essere posizionato a destra o a sinistra.
Ora, visto che i numeri razionali costituiscono una porzione trascurabile nell'insieme dei numeri reali, se apriamo a caso il libro Q, sorteggeremo con una probabilità del 100% un numero x irrazionale, il che significa che sia a destra che a sinistra vedremo il mostruoso colore nero-abisso.

Bene. Per adesso può bastare. La terza parte del post concluderà questo strano viaggio attraverso i libri senza fine: oggetti vertiginosi e paradossali, che soltanto due cose meravigliosamente folli come la matematica e la letteratura potevano concepire.

giovedì 18 settembre 2014

"La matematica dei Pink Floyd" al Festival "Frontiere letterarie" (continua)

Ancora qualche parola, anzi, qualche immagine tratta dai manifesti e dai pieghevoli del festival "Frontiere Letterarie".
Segnatevelo sulle agende: venerdì 26 settembre, ore 21, alla Biblioteca Comunale di Guanzate, in provincia di Como. Ingresso libero.
Il programma dettagliate lo trovate sul sito del Festival.
Parlerò de "La matematica dei Pink Floyd", certo, ma ve li farò anche ascoltare e vedere, i Pink Floyd. No, non saranno presenti Waters e Gilmour (almeno, non credo), ma qualche sorpresa ci sarà, promesso!





lunedì 15 settembre 2014

"La matematica dei Pink Floyd" al Festival "Frontiere letterarie"

Da tarthiev.deviantart.com
L'autunno 2014 si preannuncia molto interessante per gli appassionati dei Pink Floyd. A parte la grande mostra "The Pink Floyd Exhibition", che doveva essere inaugurata il 19 settembre e invece è stata rinviata a tempo indeterminato, i fan sono in ansia per l'uscita del nuovo disco "The endless river", prevista per il mese di ottobre.
Gli esperti sono divisi tra chi sostiene che si tratterà di una raccolta di scarti e chi giura che il nuovo album non potrà che essere un capolavoro.
Un fatto è certo: si tornerà a parlare molto di Pink Floyd (non che si sia mai smesso, a dire il vero), e d'altra parte anche le voci di Wikipedia sulla band britannica sono state modificate per segnalare che i Pink Floyd non sono stati una rock band, ma sono una rock band. Adesso, nel 2014.

E proprio per sottolineare questo momento floydiano, venerdì 26 settembre sarò a Guanzate, in provincia di Como, per parlare del mio e-book "La matematica dei Pink Floyd", nell'ambito del Festival "Frontiere Letterarie".
L'evento avrà luogo presso la Biblioteca Comunale, in via delle Rimembranze 3, con inizio alle ore 21 e ingresso libero.

Come suggerisce il sito del Festival:
attraverso immagini e ascolti, Paolo Alessandrini farà contenti sia gli appassionati dei Pink Floyd rivelando aspetti inediti della loro band preferita, sia i più aperti tra gli appassionati di matematica.

Parlerò non soltanto di matematica nei Pink Floyd, ma anche di spunti matematici legati ad altri protagonisti del rock.
Il Festival è organizzato da una quindicina di Comuni disseminati tra il Varesotto, la provincia di Como e il Canton Ticino. L'edizione 2014, che si aprirà venerdì prossimo e durerà fino a fine novembre, è la settima, e il suo suggestivo tema è “Di tutti i colori”. 
La serata di venerdì 26 sarà decisamente di colore rosa. Anzi, pink: come la copertina del mio librino.
Non mancate!

domenica 14 settembre 2014

Carnevale della Matematica #77

All’alba melodioso.
(77 secondo la Poesia Gaussiana del Sommo Popinga)


Benvenuti all'edizione numero 77 del glorioso Carnevale della Matematica, la terza ospitata da Mr. Palomar.

Come vuole la tradizione carnevalizia, si comincia con alcune curiosità legate al numero 77.
La fattorizzazione è 7 × 11 (da cui il verso gaussiano riportato all'inizio di questo post). Dato che la somma dei divisori di 77 è minore del numero stesso, siamo di fronte a un numero difettivo. Poiché i fattori 7 e 11 sono numeri primi della forma 4t+3, con t intero, cioè sono primi gaussiani, possiamo anche dire che 77 è un numero di Blum.
Il 77 è anche un numero che fa parte di una successione di Ulam, in cui ogni termine è esprimibile, in modo univoco, come somma di due membri precedenti e distinti della successione: un esempio di successione di Ulam comprendente 77 è : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, ecc.
Il nostro 77 ha anche le caratteristica di essere la somma di tre quadrati consecutivi (4×4 + 5×5 + 6×6) e dei primi otto numeri primi (2+3+5+7+11+13+17+19).
È anche il più grande numero che non può essere espresso come somma di numeri distinti i cui reciproci sommano a 1.

Passando a curiosità non matematiche, pare che durante la seconda guerra mondiale il numero 77 fosse utilizzato spesso come parola d'ordine nelle regioni scandinave: il modo alquanto peculiare in cui il numero viene pronunciato nella lingua svedese consentiva infatti di discriminare immediatamente tra persone svedesi, norvegesi e tedesche.
Venendo a storie più recenti e nostrane, il Settantasette è stato un movimento politico italiano attivo, appunto a partire dal 1977, nell'ambito della sinistra extraparlamentare.
Se nella Smorfia napoletana il nostro numero simboleggia cose tentatrici, come le gambe delle donne o i diavoli, in alcune religioni, come l'Islam e il Cristianesimo, questo numero acquisice valenze più ultraterrene. Secondo alcune credenze numerologiche, infatti, il numero viene associato a Gesù Cristo, e settantasette furono anche, secondo i vangeli, le generazioni che trascorsero tra Adamo e Gesù.
In ambito musicale, 77 è anche l'anno di debutto della celebre rock band americana dei Talking Heads. Nel loro primo album (che s'intitolava appunto Talking Heads: 77) compariva Psycho killer, divenuta poi una delle canzoni più famose del gruppo.


Il tema che ho proposto per questo Carnevale settembrino è Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa.
In che modo la matematica può incutere paura, suscitare un senso di vertigine, o suggerire idee mostruose? Non stiamo forse parlando della scienza apollinea per eccellenza? Dello studio delle forme perfette, dell'armonia dei numeri, in cui ogni cosa è, per definizione, coerente, equilibrata e rassicurante?
Chi conosce bene la matematica sa che non è così, forse perché l'ambito della matematica non coincide esattamente con la realtà. Certamente vi sono aspetti del reale che non possono essere descritti compiutamente in forma matematica, ma specularmente esistono anche aree della matematica che sfuggono a ogni tentativo di ricondurle a categorie reali, e in questo senso suscitano vertigine e sconcerto. L'infinito e i paradossi logici sono due esempi ovvi.
Ma questo è forse un discorso che ci porterebbe troppo lontano: meglio rientrare su binari più facili. Mi limito a dire che per illustrare questo Carnevale ho scelto alcune opere di Oscar Reutersvärd, un artista svedese noto per i suoi disegni di figure tridimensionali "impossibili" (tra le quali il celebre triangolo di Penrose, "scoperto" in realtà da Reutersvärd). Ho tratto le illustrazioni seguenti dal blog Impossible world di Vlad Alexeev. Spero che anche a voi queste figure paradossali appaiano un poco mostruose e incutano un pizzico di spavento e di vertigine.


Alcuni dei post che mi sono stati segnalati sono, in effetti, perfettamente in sintonia con l'argomento proposto, ma com'è ormai noto anche i contributi fuori tema sono più che benvenuti. Per questo ho pensato di non suddividere il Carnevale in due parti come avevo fatto nelle precedenti edizioni, e di presentare tutti i contibuti in un'unica sequenza.

Partiamo dal Coniglio Mannaro, ovvero dal bravissimo Spartaco Mencaroni: medico, mirabile narratore appassionato di matematica, nonché autore dei Racconti matematici pubblicati da 40K.
Il Coniglio propone Il naufragio del Perroquet, un racconto in due parti (questa è la prima, e questa la seconda), che si accorda perfettamente con il tema del Carnevale.
Le parole dello stesso autore descrivono molto bene non solo il racconto che introducono, ma più in generale il modo in cui la matematica e la logica stesse possono diventare spaventose:

Cos'è l'orrore? Possiamo darne un gran numero di definizioni, basandoci sulle nostre più sottili angosce, magari generate dal ricordo di esperienze passate. Una dimensione soggettiva, insomma, che non si può separare dal concetto stesso di paura. Ma esiste anche un orrore oggettivo, inconfutabile, a cui nessuno può resistere: ed è quello che ci assale quando la realtà, che siamo abituati a ritenere logica e indissolubile, vacilla.
Paradossi, fenomeni inspiegabili, distorsioni temporali... sono spesso l'ingrediente più gustoso delle finzioni più riuscite: ma le stesse cose ci spaventano a morte se diventano parte inconfutabile della realtà. Quando lo stesso strumento principe della ragione, la logica matematica, ci conduce a distorsioni impossibili, inaccettabili, innaturali, allora...
Beh, a quel punto, il panico è inevitabile.


Anche Flavio Ubaldini, trombonista e matematico anche noto come Dioniso, ha a che fare con i librini di Altramatematica, avendo scritto l'imperdibile La musica dei numeri. E anche il suo contributo al carnevale settembrino è di tipo narrativo: direttamente dall'ottimo blog Pitagora e dintorni, ecco a voi La scala del diavolo, una gustosissima storia ambientata in un'aula universitaria, con un imprevisto risvolto "mostruoso":

Quella notte Maria stentò ad addormentarsi. E, nel dormiveglia, cominciò a vedere il volto del suo salvatore delle ultime file. Lo vedeva bello e raggiante. Ma, improvvisamente, da quel volto spuntarono due folti baffi. E la luce che emanava si spense. Per essere rimpiazzata dall'oscurità del volto gignante del professore.
- Continua ma non derivabile, continua ma non derivabile - diceva il professore con voce beffarda e potente. Poi il tono si fece sempre più cavernoso e il volto s'infuocò.



Roberto Zanasi, anche lui autore di un pregevole blog (Gli studenti di oggi) ma anche di un e-book della sopra citata collana (Un punto fermo, che senza dubbio merita una lettura), contribuisce al Carnevale affrontando, con rigore e grande capacità divulgativa, una delle questioni più controverse della matematica, e cioè Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?
Eccovi un assaggio:

Eh, la famosa regola del prodotto (e della divisione) dei segni dice che meno per meno fa più, ma perché è così? Perché il prodotto di due numeri negativi deve essere positivo? Perché non negativo al quadrato, per dire? (No, ok, vabbé).


Il Carnevale della Matematica non sarebbe il Carnevale della Matematica se non vi partecipassero quei tre geniali simpaticoni dei Rudi Mathematici. Per amor di completezza, anche loro sono autori di uno dei bei librini matematici di 40K, precisamente quello intitolato Di 28 ce n'è 1. E poi sono loro che scrivono su Le Scienze e sul relativo blog Rudi Matematici (senza acca). Il bello è che nel segnalarmi i loro generosi contributi, i Rudi quasi si scusano per il fatto che (dicono loro) non hanno granché da proporre. Eppure i loro post sono numerosi e, come sempre, di eccelsa brillantezza.
Il primo, Sembra facile..., è uno di quei pezzi un po' ostici del Capo, che si occupa di tutti i miti del gioco d'azzardo in modo alternativo.
I Compleanni sono un grande classico dei Rudi. 21 Agosto 1789 – Buon Compleanno, Augustin!
celebra l'anniversario della nascita di Cauchy: personaggio moderatamente antipatico, che però ha dato un contributo davvero grande allo sviluppo della matematica, tra le altre cose insegnando a molti altri grandi matematici. Non perdetevi questo articolo, che, com'è peraltro normale nei Compleanni dei Rudi, riesce mirabilmente a collegare tra di loro argomenti che per ogni comune mortale sarebbero inconciliabili, come il David Letterman Show, le macchine da scrivere, il progresso culturale, e appunto Cauchy.
Sempre dal blog de Le Scienze, i Rudi segnalano anche l'affascinante Un classico al quadrato (o al cubo): i Cubi di Platone, ovvero il problema classico del mese, che ha riscosso grande successo tra i loro lettori.
A proposito di problemi, ecco anche la soluzione del problema di agosto pubblicato su Le Scienze 552 (Wimbledon 2.0) (che, ancora una volta, si è dimostrato aperto a varie interpretazioni e così anche a varie strade risolutive):

Ma vi rendete conto? Rudy che non sa neppure che a Wimbledon è assolutamente irrinunciabile vestire di bianco! Dobbiamo davvero vederle tutte, in questa vita faticosa.
Oddio, va riconosciuto a Rudy che, a ben vedere, non è che si trattasse davvero di Wimbledon: anche perché, se si fosse trattato davvero del praticello inglese, assai difficilmente avremmo visto Alice arrivare in quattro e quattr’otto in finale. Era solo un torneuccio condominiale da nome un po’ troppo altisonante… e se vi pare un’esagerazione, tenete sempre bene a mente, per favore, che molte delle cose che vi raccontiamo non hanno necessariamente una relazione diretta con la realtà. In altri termini, non crediate che, solo perchè avete letto il pezzo su Le Scienze a inizio mese, voi possiate affermare senza tema di smentita che Alice Riddle è una furia con la racchetta anche nel mondo reale. A dirla tutta, non sappiamo neppure se la vera Alice ce l’abbia, una racchetta…

Dato che nel precedente Carnevale non era stato possibile segnalare l'uscita del numero agostano di RM, l'autorevole e insostituibile "Rivista fondata nell'altro millennio", mi ritrovo immeritatamente l'onore di segnalare due numeri anziché uno soltanto: il numero 187 e l'appena uscito numero 188.


Mauro Merlotti, autore del blog Zibaldone scientifico, ha bene interpretato il tema proposto parlando di due argomenti matematici che sicuramente spalancano scenari vertiginosi e spaventosi: i frattali e i grandi numeri. Il suo contributo è appunto intitolato Grandi numeri. Mauro me lo ha presentato con queste parole:

Visto che l’argomento è “Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa”, mi è venuto spontaneo parlare di frattali e “grandi numeri” che ho sempre ritenuto essere un argomento affascinante. Ho visto che anche Mr. Palomar ha pubblicato qualche cosa in merito l’anno scorso. 


Dal pregevole blog Al tamburo riparato, Leonardo Petrillo propone Di gruppi e mostri (matematici), un ecellente contributo che potrei definire deliziosamente mostruoso, sul tema della teoria dei gruppi e in particolare del gruppo Mostro M, con le sue inaspettate connessioni con la teoria dei numeri:

La storia del gruppo Mostro M (o gruppo di Fischer-Griess) ha inizio nel 1973, quando Bernd Fischer e Robert Griess ipotizzarono l'esistenza di un gruppo che potesse essere visto in ben 196.883 dimensioni. In sostanza, si può immaginare il gruppo Mostro come un incredibile fiocco di neve con circa 8 · 1053 simmetrie in uno spazio di 196.883 dimensioni.


Andrea di Science4fun partecipa alla rassegna carnascialesca con Il pane cade sempre dalla parte della marmellata?
Vi chiedete cosa c'entra con il tema del Carnevale? Come mi scrive lo stesso autore: più vertigine di così!
L'articolo, molto interessante e divertente, cerca di fare chiarezza su una delle questioni più studiate dai fisici golosi:

È opinione diffusa che la fetta di pane cada atterrando sempre della parte della marmellata. Si tratta di una delle più famose leggi di Murphy, ma è davvero così o si tratta solamente dell’effetto del caso, magari amplificato da qualche frase aneddotica?


Non si potrebbe celebrare degnamente il Carnevale senza il suo padre fondatore, Maurizio .mau. Codogno. Ah, sì, è vero: anche .mau. è autore di uno dei librini di Altramatematica (Matematica e infinito), ed è anche il curatore della collana. Com'è suo costume, Maurizio contribuisce alla sua creatura carnevalesca con generosità.
Per cominciare, sulle Notiziole ha presentato un divertente Gioco per ferragosto: Duzzle!

Scopo del gioco, come spiegato nella finestra pop-up iniziale, è quello di rimettere in ordine crescente i numeri da 1 a 25 disposti in un quadrato 5×5. Quello che si può fare è spingere una riga o una colonna: un numero uscirà fuori dal quadrato e prenderà il posto lasciato libero dagli altri che si sono mossi.

Inoltre, .mau. ci regala alcune delle sue illuminanti e incisive recensioni.
La dea delle piccole vittorie è un romanzo di Yannick Grannec, in cui Gödel viene visto con gli occhi della moglie... ma non solo.
Paradoxes from A to Z di Michael Clark è un libro che raccoglie un gran numero di paradossi, matematici ma anche filosofici o linguistici o legali, da quelli classici a quelli più recenti. A parere del recensore (e traduttore) .mau. l'edizione inglese è meglio di quella italiana.
In Musing of the Masters, Raymond George Ayoub ha raccolto diciassette saggi di matematici che non trattano di matematica in senso stretto, ma piuttosto del lato umanistico della matematica.

Sul Post, Codogno ci offre i consueti e appetitosi Problemini per ferragosto, e ci fornisce anche le relative soluzioni.
Induzione alla rovescia è invece un interessantissimo post che spiega perché il classico metodo di induzione, utilizzato per dimostrare che una certa proprietà vale per tutti i numeri interi, e normalmente applicato in senso crescente, può essere impiegato anche al contrario:

Un’induzione alla rovescia non può funzionare: che senso avrebbe tornare all’indietro, se dobbiamo arrivare fino all’infinito? Infinito meno uno che cos’è? Beh: esiste un caso in cui si fa effettivamente induzione all’indietro! 

Volete sapere qual è questo caso? Be', leggete il post, no?


Il contributo di Annalisa Santi, dal blog Matetango, si intitola John Nash, tra genio e follia.
Con le parole stesse dell'autrice:
Giusto per cercare un aggancio si potrebbe dire che John Nash  ha dimostrato che proprio la matematica gli ha permesso di uscire dal tunnel della schizofrenia paranoide, questa sì "mostruosa, spaventosa, vertiginosa"!  Nash ha sostenuto infatti che: "La matematica, il calcolo e i computer sono stati la medicina che mi ha riportato ad un'idea più razionale e logica, aiutandomi a rifiutare il pensiero e l'orientamento allucinatori. La matematica è curativa e in America viene usata nella terapia occupazionale al posto dei farmaci. Con ottimi risultati!"



Roberto Natalini mi fa sapere che "Maddmaths! ha parecchio dormito in agosto". Ma non credetegli. I contributi di questo sito sono sempre abbondanti e di elevatissimo livello qualitativo.
Il primo è anche in tema: in occasione del convegno Infinite Wallace / Wallace infini, che si tiene in questi giorni a Parigi, il sito Images des Mathématiques ha chiesto a Roberto Natalini, che tra le altre cose è co-coordinatore, con Andrea Firrincieli, del sito Archivio DFW Italia, di scrivere un breve articolo sulle connessioni tra David Foster Wallace e la matematica. Il risultato è Gli infiniti scherzi matematici di David Foster Wallace.

Il secondo contributo è Il momento giusto per andare in pensione a cura di Stefano Pisani, Maya Briani, Andrea Pascucci. In tempi di crisi economica, le ansie dei lavoratori si appuntano non solo sull’attualità ma anche sul futuro. La questione pensionistica, su cui arrivano con cadenza praticamente quotidiana notizie non esattamente incoraggianti, è stata affrontata da un gruppo italo-spagnolo di matematici che ha elaborato un modello che potrebbe aiutare a rispondere alla domanda: quando è il momento migliore per andare in pensione?
Stefano Pisani è l'autore dell'interessante La matematica al servizio della pallavolo italiana. Nei Mondiali di pallavolo maschile che gli azzurri avevano un’arma in più: i numeri. E non stiamo parlando dei numeri degli schemi o delle loro altezze, ma dell’applicazione al gioco degli atleti di modelli matematici sviluppati dal Moxoff, spin-off del Politecnico di Milano
Infine, Congresso Internazionale dei Matematici: non solo Mirzakhani è l'intervento di Ciro Ciliberto, professore ordinario di geometria superiore all'Università di Tor Vergata e presidente dell'UMI, sul recente congresso internazionale dei matematici di Seoul. 


Dal sempre stimolante blog Dropsea, Gianluigi Filippelli partecipa con quattro contributi.
La congettura di Rota tratta della congettura enunciata nel 1970 da Gian-Carlo Rota sulle matroidi, degli oggetti matematici a metà strada tra le matrici e gli insiemi.
La matematica delle lacrime è la piccola storia di un modello matematico che descrive il fluido lacrimale all'interno degli occhi.
Dagli equilibri di Nash ai comportamenti collettivi è un post di grande interesse: sfruttando come spunto ispirativo il Godel Research Prize vinto da un suo ex compagno di classe, Filippelli discorre degli equilibri di Nash azzardando un possibile legame con lo studio dei comportamenti collettivi.
Racconti matematici è invece una recensione dell'omonima raccolta di racconti curata da Claudio Bartocci.

Per concludere la carrellata dei contributi, anche questo blog ha cercato di immergersi in un'atmosfera di vertigine matematica. In Come costruire un libro infinito (prima parte) suggerisco qualche idea su come potrebbe essere fatto un libro infinito, sfruttando alcuni assist offerti non da matematici, ma da scrittori, come Michael Ende, Jorge Luis Borges e Raymond Queneau. Ma il bello deve ancora venire, e arriverà appunto tra pochi giorni, nella seconda parte del post.

E siamo arrivati in fondo. La prossima edizione uscirà tra un mese sul blog Crescere creativamente di Maestra Rosalba, con il tema "Disegnate la matematica". Il nome in codice sarà il merlo canta allegro.
Ecco, il Carnevale è davvero finito. Lasciatemi ringraziare di cuore tutti i partecipanti. Evviva il Carnevale della Matematica!

La citazione matematica del sabato (#10)

Io odio l'algebra. John Conway (grande matematico inglese, che ho citato, ad esempio, in questo post )