lunedì 28 maggio 2012

Carnevale dei libri di scienza #8: i libri del destino


E' valsa sicuramente la pena di aspettare qualche giorno per vedere pubblicata l'edizione n. 8 del Carnevale dei Libri di Scienza: questo mese è toccato al bel blog Gattivity di Emanuela Zerbinatti ospitare la rassegna di recensioni ideata e gestita da Daniele Gouthier di Scienza Express.
Il tema del mese è davvero stimolante: i libri del destino, cioè quelli che in qualche modo hanno influenzato le carriere scientifiche dei blogger partecipanti.

Come sempre, un Carnevale con molti spunti interessanti.
Mr. Palomar ha partecipato con un ricordo un po' nostalgico (perdonatemi: sapete com'è, quando si raggiunge una certa età si diventa così) di Isaac Asimov e delle rubriche "matematico-ricreative" delle Scienze.

Appuntamento al prossimo mese sul blog "Evolve or die" di Patrizia Martellini: protagoniste saranno le piante.
Buona lettura e buon carnevale a tutti!

martedì 22 maggio 2012

Il "buon dottore" e il libro del destino

Frugando nella mia memoria alla ricerca del "libro del mio destino", sono giunto alla conclusione che più che un libro fu una rivista, anzi una sua particolare rubrica, a condizionarmi non poco nella scelta della facoltà universitaria (ingegneria) e a instillarmi l'amore per la disciplina che tuttora costituisce la mia professione, e cioè l'informatica.
Intorno al 1990, quando stavo per completare il liceo scientifico, una delle rubriche de "Le Scienze" era intitolata "(Ri)creazioni al calcolatore": era curata dal matematico e informatico canadese Alexander Dewdney, che aveva raccolto le pesantissime eredità di Martin Gardner e Douglas Hofstadter. Ricordo molto bene il piacere che provavo nel leggere quegli articoli riguardanti temi di matematica ricreativa, automi cellulari, algoritmi e giochi logici; e ricordo quanto il piacere si facesse ancora più intenso quando mi cimentavo nell'implementazione pratica al computer di quanto spiegato da Dewdney.


Ma lo so, una rivista non è un libro, e allora il mio cuore mi porta a scegliere un libro che non tratta né di matematica né di informatica, ma di astrofisica: "Il collasso dell'universo" di Isaac Asimov (Mondadori, 1977).  Lessi questo libro almeno due volte, da adolescente, rapito dall'inimitabile stile divulgativo del "buon dottore", rigoroso e al tempo stesso brillante.
Il tema centrale del saggio erano i buchi neri, ma la spiegazione si snodava gradualmente, partendo dalle particelle e dalle forze fondamentali della natura, introducendo a poco a poco i pianeti, le stelle, e arrivava all'argomento principale soltanto dopo aver creato una sufficiente tensione nel lettore: insomma più che un saggio divulgativo sembrava quasi di leggere un romanzo dalla trama avvincente.
Certamente questo libro ebbe su di me un forte ascendente, e contribuì a rafforzare la mia attrazione verso l'astronomia e la scienza in generale.
Ricordo bene anche una puntata di Mixer del 1989 in cui Minoli intervistava Asimov, e ricordo come nel 1992 la morte del grande divulgatore e scrittore mi addolorò molto.
Negli stessi anni in cui leggevo i saggi di Asimov, divorai anche molte delle sue opere di fantascienza, dal ciclo della Fondazione a "La fine dell'eternità": e anche queste letture hanno senza ombra di dubbio un posto d'onore tra i libri della mia vita.

mercoledì 16 maggio 2012

Mr Q. #2: Chicchi di grano, monete e fotoni

Secondo un'antica leggenda, un mercante indiano si presentò un giorno al palazzo reale, per presentargli un gioco di nuova invenzione. Condotto alla presenza del sovrano, il mercante  aprì una scatola ed estrasse una tavola con 64 caselle bianche e nere. Sistemò su metà delle caselle 32 statuine di legno e spiegò al re le principali regole del gioco.
- Come volete chiamare questo gioco? - domandò il sovrano
- Lo chiamerei "gioco degli scacchi", sire.
- Il gioco che avete inventato è davvero sublime. Per questa nobile invenzione meritate una lauta ricompensa. Ditemi, cosa desiderate? Un palazzo? Una provincia dell'impero? Qualsiasi cosa chiediate vi sarà concessa.
- Sire, non desidero altro che un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, due chicchi per la seconda, quattro chicchi per la terza, otto per la quarta, e così via, raddoppiando ogni volta fino ad arrivare all'ultima casella.
Il re rise.
- Soltanto questo? Ma potete avere molto di più. Davvero vi accontentate di questi pochi chicchi di grano?
Il mercante confermò il suo desiderio, e il re, meravigliato dalla modestia del mercante, ordinò ai servitori che fosse subito esaudito. Quando i matematici di corte fecero i conti, informarono il re che per accontentare il mercante non sarebbero bastati i raccolti di tutto l'impero per mille anni.
In effetti, il mercante aveva chiesto 20 = 1 chicchi per la prima casella, 21 = 2 per la seconda, 22 = 4 per la terza, e così via.  Il numero totale di chicchi è quindi 20 + 21 + 22 + 23 + ... + 263 = 264 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 (più di 18 miliardi di miliardi). Insomma, per accontentare il mercante, il re avrebbe dovuto consegnargli la produzione mondiale di grano di ben 3000 anni! 

Cosa ci insegna questa leggenda? A parte l'utile lezione che conviene sempre fare bene i conti prima di firmare qualsiasi contratto (e quindi la matematica serve), ci insegna che raddoppiando ripetutamente un numero si arriva molto rapidamente a quantità astronomiche.
Da ciò discende una curiosa conseguenza. Se volessimo dare un nome a ciascuno dei chicchi di grano guadagnati (almeno in teoria) dal furbo mercante, ci basterebbero 64 bit (cioè zeri e uni); in altri termini, mettendo in fila 64 bit si possono creare 18.446.744.073.709.551.615 diverse combinazioni.

In un computer classico, un registro da 64 bit può di volta in volta codificare un numero compreso tra 1 e 18.446.744.073.709.551.615.
In un computer quantistico, invece, un registro da 64 qubit contiene simultaneamente tutti quei numeri: tutti i chicchi di grano vinti dal mercante, nessuno escluso, sono nello stesso momento rappresentati in quel registro!
Se aggiungessimo nuovi qubit, il registro raddoppierebbe ogni volta la quantità di numeri rappresentabili, in una esplosiva escalation esponenziale (piaciuta l'allitterazione in e?).
Già un registro di soli 300 qubit conterrebbe in sè tanti numeri quante sono le particelle elementari nell'intero universo!

Non appena si va a leggere il contenuto del registro, però, questa coesistenza di numeri svanisce, un po' come i sogni che si dissolvono all'alba, e salta fuori uno e uno solo dei numeri che prima erano simultaneamente presenti in quei qubit.
Alcuni autori hanno proposto una metafora molto efficace: il bit classico è simile ad una moneta che viene lanciata e cade a terra mostrando una delle due facce; il qubit, invece, è paragonabile ad una moneta che, una volta lanciata, cade ma comincia a ruotare su se stessa, finché qualcuno non la fermi con la mano obbligandola ad esibire una delle due facce.



Gi studiosi di computazione quantistica si riferiscono a questa sorta di coabitazione di dati come "sovrapposizione", ma prima di loro erano i fisici quantistici a utilizzare questa parola.  I registri a qubit vengono infatti implementati nei computer quantistici tramite sistemi che obbediscono al fenomeno di sovrapposizione previsto dalla meccanica quantistica, del quale ho già accennato nel primo post di questa serie.
Un registro quantistico potrebbe, ad esempio, essere costituito da un fotone, che assume due possibili stati di polarizzazione (verticale o orizzontale).  Nella terminologia solitamente utilizzata in meccanica quantistica,  i due valori possono essere rappresentati rispettivamente con il simbolo |0> e con il simbolo |1>.
Supponiamo che un fotone polarizzato verticalmente venga fatto passare attraverso un polarizzatore posto a 45° rispetto alla verticale: se il fotone riesce a passare attraverso il polarizzatore, emergerà polarizzato diagonalmente a 45°. Questo stato particolare corrisponde in realtà ad una sovrapposizione degli stati di polarizzazione verticale e orizzontale. Secondo l'interpretazione a molti mondi, in metà degli universi il fotone avrà una polarizzazione verticale, e nell'altra metà presenterà una polarizzazione orizzontale.
Quando i due valori che si sovrappongono hanno la stessa probabilità di essere misurati, i fisici usano il simbolismo |0> + |1>.  Ma attenzione: quel segno + non indica una somma, ma appunto una sovrapposizione quantistica.  Per la verità, la sovrapposizione tra due stati equiprobabili |0> e |1>, dovrebbe essere indicata come
Questo perché nel simbolismo che rappresenta la sovrapposizione, i coefficienti dei due stati indicano le ampiezze degli stessi stati, e secondo la meccanica quantistica le rispettive probabilità sono uguali al modulo quadrato delle ampiezze. Dato che
 
la somme delle probabilità danno 1, cioè la certezza, come è giusto che sia.
Se le probabilità dei due stati sono diverse, possiamo esprimere la sovrapposizione con il simbolismo a|0> + b|1>, a condizione che sia  a2 + b2 = 1.

La meccanica quantistica, come ognuno sa, è una teoria strana, piena di fatti difficili da comprendere alla sola luce del buon senso. Tra le stranezze c'è anche il fatto che l'ampiezza associata ad uno stato può essere negativa. Non solo: i coefficienti possono addirittura essere numeri complessi. Ma non addentriamoci troppo in questi dettagli matematici.
Limitiamoci a prendere atto che sono perfettamente legittimi stati come - |0>, sovrapposizioni del tipo |0> - |1>, e così via.
Un modo efficace per rappresentare geometricamente i possibili valori di un qubit è la cosiddetta sfera di Bloch, sulla quale un qubit viene identificato come punto sulla superficie di una sfera di raggio unitario.

Così come i computer classici, anche i computer quantistici sono costituiti da circuiti logici, solo che in questo caso si tratta di circuiti che manipolano qubit anziché bit.
Vedremo nella prossima puntata come sono fatti questi circuiti logici, e ci avvicineremo al concetto di algoritmo quantistico.

martedì 15 maggio 2012

Ho fatto un sogno

Se cercate su Google la frase inglese "I dreamed a dream" ("Ho fatto un sogno"), troverete una valanga di risultati relativi all'omonima canzone, scritta nel 1980 da Claude-Michel Schönberg e inclusa nel musical "Le Misérables".  Troverete, in particolare, un sacco di riferimenti alla recente interpretazione di Susan Boyle, ma io preferisco proporvi la versione di Aretha Franklin:



Naturalmente, non è mia intenzione scrivere un post sulla canzone intitolata "I dreamed a dream"; mi interessa invece segnalare come lo stesso verso (anche se con il verbo "dreamed" in forma contratta) si trova all'interno del testo della tragedia "Romeo e Giulietta" di William Shakespeare (e da buon veronese, lasciatemi un po' commuovere nel citare quest'opera, e anche nel riportare qui sotto una locandina d'epoca).
Precisamente, nella scena 4 del primo atto, Mercuzio cerca di convincere l'amico Romeo ad andare alla festa dei Capuleti, ma Romeo dice che non andrà, a causa di un sogno che ha fatto. Mercuzio, anziché chiedere che cosa ha sognato, accusa i sognatori di essere menzogneri e ridicolizza le preoccupazioni dell'amico.


Romeo:         I dream’d a dream to-night.
Mercutio:      And so did I.
Romeo:         Well, what was yours?
Mercutio:      That dreamers often lie.
Romeo:         In bed asleep, while they do dream things true.
Mercutio:      O, then, I see Queen Mab hath been with you. She is the fairies’ midwife, and she comes...

Se desiderate una traduzione, ve ne propongo una mia:

Romeo:         Stanotte ho fatto un sogno.
Mercuzio:      Anch'io.
Romeo:         Ah sì? E che cosa hai sognato?
Mercuzio:      Che quelli che sognano spesso mentono.
Romeo:         Sì, stanno a letto a dormire. E sognano cose vere.
Mercuzio:      Oh, ma certo! La regina Mab è venuta a trovarti. Lei è la levatrice delle fate, e viene...

In italiano, purtroppo, si perde il gioco di parole (in inglese pun) legato al verbo inglese lie, che significa "mentire" ma anche "giacere".  Mercuzio vuole sostenere che i sogni sono spesso bugiardi (often lie), ma Romeo raccoglie al volo l'imbeccata riportando l'attività del sognare nel giusto luogo (in bed asleep) e ribadendo la veridicità del contenuto dei sogni.
La frase più celebre di questa scena, e anche quella più interessante dal punto di vista della logica, è la battuta di Mercuzio: That dreamers often lie.

Ricordate il paradosso del mentitore? Ne ho parlato più volte anche in questo blog (ad esempio in questo e in questo post). L'affermazione di Mercuzio sembra un'ulteriore versione della celebre antinomia.  Se tralasciamo per un attimo l'avverbio often, il senso della frase di Mercuzio è che i sogni mostrano (sempre) cose false. Ma il guaio è che, per sua stessa ammissione, questa verità Mercuzio l'ha sognata, e quindi è soggetta alla stessa infondatezza. Quindi non è vero che i sogni sono bugiardi, e da ciò consegue che lo stesso sogno di Mercuzio è da considerarsi attendibile: ma il sogno diceva che i sogni mentono, e quindi...

Eccoci ricaduti nella millenaria voragine logica che secondo la leggenda fece impazzire il filosofo Fileta, e che in tempi più recenti fu sottilmente riformulata da Gödel nel rivoluzionario teorema di incompletezza.
Forse che anche Shakespeare, spaventato dalle conseguenze paradossali della battuta di Mercuzio, inserì quell'avverbio often per attenuare la perentorietà dell'asserzione?

lunedì 14 maggio 2012

Carnevale della Matematica #49 su .mau.

Il Carnevale della Matematica è sempre un grande evento; quando poi ad ospitarlo è il Fondatore, cioè .mau. al secolo Maurizio Codogno, lo è ancora di più.

L'edizione numero 49 è dedicata al tema dei "numeri strani", ma accoglie molti contributi anche a tema libero (come i due di Mr. Palomar, dedicati al senso della matematica in "1Q84" di Murakami e alla prima puntata di un nuovo ciclo di post sulla computazione quantistica).

Il buon .mau. ha messo insieme una stuzzicante carrellata di post di grande interesse (compresi i suoi, come sempre in gran quantità e di gran qualità...). Se fossi in voi non mi perderei questo Carnevale per nulla al mondo!
E buona lettura!