mercoledì 26 dicembre 2012

La ragazza che piegava la carta

Prendete un foglio di giornale, e piegatelo in due.
Facile? Sì, certo, ma adesso piegatelo a metà una seconda volta, e poi una terza, e una quarta.
Fatto? Ora, prendete della colla vinilica, e....  No, niente colla, e niente forbici: solo piegature.
Quante volte siete riusciti a piegare il foglio? Probabilmente sei, o, se siete particolarmente abili, forse sette. Quasi certamente non siete riusciti a fare di meglio.
- Bè - direte voi - il problema è che il foglio di giornale non è molto grande, e, dato che ad ogni piegatura l'area si dimezza, ci si ritrova ben presto con un oggetto così piccolo che non è possibile piegarlo ulteriormente.
Se la pensate così, procuratevi un foglio più grande, e ripetete l'operazione.

Se potessimo piegare una quarantina di volte un foglio di carta, riusciremmo a coprire la distanza tra la Terra e la Luna.
Ma è sufficiente disporre di un foglio abbastanza grande per riuscire a piegarlo per una tale quantità di volte?
Se vi siete procurati un foglio molto più grande di quello che avete utilizzato per il primo esperimento, potete provare voi stessi a verificare.

Tuttavia, molto probabilmente non riuscirete ad andare oltre le sette pieghe.
Perché? Semplicemente perché la difficoltà non risiede nell'ampiezza del foglio, ma nello spessore che si viene a creare dopo poche piegature. Ad ogni piega, infatti, così come l'area si dimezza, lo spessore raddoppia. Inoltre, piega dopo piega aumenta esponenzialmente il materiale che si "perde" a causa dell'arrotondamento in corrispondenza dell'estremità della piega.
Se utilizziamo carta dallo spessore di 0,3 mm, dopo appena 5 pieghe avremo ottenuto 25 = 32 strati, per uno spessore complessivo di 32 x 0,3 mm = 9,6 mm.  Dopo un'altra piega si hanno 64 strati e uno spessore di quasi 2 cm, mentre alla settima piega abbiamo ben 128 strati e quasi 4 cm. Spessori di questo tipo, indipendentemente dalla grandezza iniziale del foglio, ostacolano parecchio le operazioni di piegatura, fino a renderle praticamente impossibili.

Ma si sa, le cose impossibili rappresentano, per le persone audaci, sfide allettanti: nel gennaio 2002 una diciassettenne californiana, Britney Gallivan, per ottenere qualche credito in più a scuola, riuscì a piegare una striscia di carta stagnola per ben 12 volte. Ripeté poi l'impresa con una striscia di carta igienica, come possiamo vedere nella figura a lato.
La tecnica impiegata da Britney prevedeva di piegare la carta secondo direzioni alternate.

Britney fu la prima persona a comprendere i motivi profondi delle difficoltà insite nel piegare molte volte un foglio di carta, e dimostrò alcune formule che stabiliscono lo spessore iniziale della carta necessario per riuscire a ottenere un certo numero di piegature, tenendo conto della densità della carta e della tecnica utilizzata per la piegatura (direzioni alternate o direzione unica).

La storica impresa di Britney Gallivan è diventata famosa in tutto il mondo, almeno nella comunità scientifica. Nell'aprile 2005 la storia della ragazza che piegò un foglio di carta per dodici volte è stata menzionata in un episodio della serie "Numb3rs".
Lo so, state già armeggiando con un rotolo di carta igienica per riuscire a piegarlo tredici volte e battere il record di Britney. Bè, che dire? In bocca al lupo, e buone piegature!

lunedì 17 dicembre 2012

Carnevale della Matematica #56 su Scienza e Musica

Con ritardo (ma meglio tardi che mai) vi segnalo l'uscita del cinquantaseiesimo episodio del Carnevale della Matematica, ospitato per questa edizione pre-natalizia dall'ottimo blog "Scienza e Musica", curato da Leonardo Petrillo con il tema "Algebra, algebre e storia dell'algebra".
Leonardo ha fatto un lavoro davvero egregio, o dovrei forse dire monumentale, avendo confezionato un'edizione ricchissima di post e generosa di spunti sul tema del mese.

Mr. Palomar ha partecipato alla kermesse con gli ultimi tre post pubblicati: la terza puntata del ciclo sulle scale musicali e sui rapporti tra musica e matematica, l'edizione dicembrina della rubrica "Parole informatiche", e un piccolo omaggio a Isaac Asimov, tra i massimi maestri della divulgazione scientifica.


Complimenti a tutti i partecipanti e a Leonardo Petrillo, e appuntamento alla prossima edizione del Carnevale, che sarà ospitata da Matem@ticaMente con lo stuzzicante tema "Matematica e Nuove Tecnologie".

martedì 11 dicembre 2012

La scala "naturale" da Tolomeo a Zarlino

I miei diciannove lettori (mi perdoni il buon .mau. per questa "citazione", o furto di idea: se Manzoni ne aveva 25, Guareschi 23 e Codogno 21, non posso certo attribuirmene più di 19), dicevo, i miei pochi lettori si saranno chiesti che fine ha fatto il progetto di quella serie di post dedicati alla storia delle scale musicali da Pitagora ai giorni nostri.
Tranquilli, non me ne sono dimenticato: è solo che impegni e accadimenti vari hanno fatto sì che nelle ultime settimane la frequenza dei miei post sia un po' diminuita. Ma prometto di riprendere con il consueto ritmo (uhm, ritmo? bene, sono già entrato nell'atmosfera musicale...).

Chi ha avuto la pazienza di leggere i due atti iniziali di questa lenta storia a puntate, avrà constatato che il protagonista assoluto è stato finora Pitagora.
Il filosofo di Samo fu probabilmente il primo costruttore di scale musicali della storia. Partendo dal postulato che un intervallo di note è tanto più consonante quanto più semplice è il rapporto numerico al quale corrisponde, Pitagora concluse che i migliori intervalli non potevano che essere l'ottava (corrispondente al rapporto 2:1) e la quinta (3:2), e costruì quindi la sua scala muovendosi tra le note per quinte e ottave.
Il risultato fu una scala diatonica, cioè formata da sette note che si susseguono secondo uno schema che fa uso di due tipi di intervallo tra una nota e la sua successiva: il "tono", corrispondente al rapporto 9:8 o a 203,91 cent (ad esempio tra do e re), e la "limma", corrispondente al rapporto 256:243 o a 90,22 cent (ad esempio tra mi e fa).

I pregi della scala pitagorica sono evidenti. Prima di tutto, abbiamo soltanto questi due tipi di intervalli, e non è cosa da poco. Il salto esistente tra do e re è lo stesso che c'è tra re e mi, o tra fa e sol e tra la e si, mentre la distanza tra mi e fa è pari a quella tra si e do.
Inoltre, avendo costruito la scala sulla base degli intervalli di quinta e di ottava, Pitagora ha mantenuto questi intervalli associati ai rapporti semplici di 3:2 e 2:1, e quindi perfettamente consonanti.
Infine, questa scala consentì ai Greci di esplorare per primi le grandi potenzialità espressive della musica: si accorsero cioè che cambiando la nota di partenza della scala (ad esempio dal do al fa) e mantenendo la posizione relativa dei due intervalli di limma all'interno della scala, l'"atmosfera" musicale restava pressoché invariata, mentre collocando i due intervalli di limma in posizioni diverse da quella originaria si ottenevano "sapori" sorprendentemente diversi, che i Greci chiamarono "modi" musicali.
A fronte di questi punti di forza, la scala pitagorica mostra anche alcuni gravi difetti.
Il primo problema è quello del "cerchio che non si chiude", descritto ampiamento nel post precedente.
Un'altra lacuna è quella che ha condotto alla nascita della cosiddetta "scala naturale". Se gli intervalli di quinta e di ottava sono consonanti, quelli di terza e di sesta non lo sono, essendo espressi da rapporti non semplici (rispettivamente 81:64 e 27:16). Il rapporto pitagorica di terza, 81:64, è però molto vicino al rapporto semplice 5:4: era quindi inevitabile che ben presto cantanti e musicisti cominciasero a intonare la voce e gli strumenti in modo appunto "naturale", con la terza accordata secondo il rapporto di 5:4.
Infine, la scala pitagorica è affetta da un problema legato al cambio di tonalità: se uno strumento è accordato pitagoricamente in una certa tonalità, è probabile che diventi scordato se suonato in una tonalità diversa.

Nel 1558 il teorico musicale veneziano Gioseffo Zarlino, nel suo trattato "Le istituzioni harmoniche", costruì una scala nella quale risultavano basate su rapporti numerici semplici non soltanto l'ottava (2:1) e la quinta (3:2), ma anche la terza (5:4).
In realtà la teoria di Zarlino non era una novità assoluta, ma rappresentava la formalizzazione di idee che erano state proposte già nell'antichità, quindi ben prima dell'imporsi della tonalità sulla scena musicale.
Già nel quarto secolo a.C., infatti, il filosofo e scienziato tarantino Archita, che fu anche uomo di stato e stratega militare, abbozzò i principi della cosiddetta "intonazione naturale"; ma fu soprattutto Claudio Tolomeo, astronomo e geografo dell'età ellenistica, autore del celebre "Almagesto", fu il primo ad ammettere gli intervalli di terza e di sesta nel club esclusivo degli intervalli consonanti.

Rispetto al sistema pitagorico, il sistema "naturale" tolemaico-zarliniano conferma i rapporti semplici 2:1 per l'ottava, 3:2 per la quinta e 4:3 per la quarta, ma introduce il rapporto 5:4 per l'intervallo di terza.
Gli altri intervalli necessari per costruire la scala vengono ricavati di conseguenza.
L'intervallo di seconda maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il re) viene ricavato come differenza tra una quinta e una quarta, cioè (3:2):(4:3) = 9:8, che è lo stesso valore che aveva trovato Pitagora.
L'intervallo di sesta maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il la) è calcolato come somma di una quarta e una terza, cioè (4:3)*(5:4) = 5:3: qui Pitagora aveva invece trovato il rapporto 27:16, certamente meno semplice.
L'intervallo di settima maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il si) è ricavato come somma di una quinta e di una terza, cioè (3:2)*(5:4) = 15/8: anche in questo caso il sistema pitagorica prevedeva invece una frazione più complessa, e cioè 243:128.

L'appellativo di "naturale" che viene attribuito alla scala tolemaico-zarliniana ha sicuramente a che fare con la "semplicità" di questi rapporti, e quindi con la consonanza dei corrispondenti intervalli musicali, ma è anche giustificato da una connessione con la fisica, in particolare con il fenomeno degli armonici.
Supponiamo di suonare il tasto del do centrale su un pianoforte. L'onda sonora che viene emessa avrà una forma che è legata al timbro particolare del pianoforte: se producessimo la stessa nota con una tromba, o con una chitarra, o con la voce di un cantante, emetteremmo una forma d'onda diversa. Com'è possibile? L'onda generata è in realtà la somma di diverse onde "elementari", dette armonici, tutte caratterizzate dalla stessa semplicissima forma matematica (detta sinusoidale) e intonate sulle frequenze multiple della nota fondamentale; i timbri caratteristici dei vari strumenti, e quindi le diverse forma d'onda, dipendono unicamente dai diversi pesi attribuiti ai diversi armonici.
Torniamo al nostro do centrale del pianoforte,cioè il do3. Chiamiamo F la sua frequenza, che vale circa 261,6 hertz. I suoi armonici avranno frequenze multiple di F, cioè rispettivamente 2F = 523,2 hertz, 3F = 784,8 hertz, 4F = 1046,4 hertz, e così via. Ovviamente man mano che si sale nella successione degli armonici, l'ampiezza dell'onda corrispondente, cioè la sua intensità sonora, diminuirà rapidamente: se così non fosse, il nostro orecchio non percepirebbe la nota fondamentale come nettamente dominante rispetto agli armonici, il cui "compito" principale è contribuire al colore timbrico dell'insieme.

I primi cinque armonici del do3 sono i seguenti:
  • il primo armonico ha frequenza 2F, cioè dista un'ottava dalla nota fondamentale, ed è quindi un do4
  • il secondo armonico ha frequenza 3F =  2(3/2)F, cioè dista un'ottava più una quinta dalla nota fondamentale, ed è quindi un sol4
  • il terzo armonico ha frequenza 4F = 2*2F, cioè dista due ottave dalla nota fondamentale, ed è quindi un do5;
  • il quarto armonico ha frequenza 5F = 2*2(5/4)F, cioè dista due ottave più una terza dalla nota fondamentale, ed è quindi un mi5;
  • il quinto armonico ha frequenza 6F = 2*2*(3/2)F, cioè dista due ottave più una quinta dalla nota fondamentale, ed è quindi un sol5.
Come si può vedere, dalla struttura degli armonici emergono gli intervalli di quinta e di terza come fondamentali, e si può dire che in qualche modo la scala naturale di Tolomeo e Zarlino attinge i propri suoni dalla serie degli armonici naturali di una nota fondamentale. Nonostante tutta questa "naturalità", tuttavia, anche la scala di Tolomeo e Zarlino aveva le sue belle magagne, che analizzeremo per bene nel prossimo post di questa serie.

sabato 1 dicembre 2012

Parole informatiche: euristico

Tranquillizzo subito i filosofi, gli psicologi e gli studiosi di comunicazione: non intendo considerare il termine "euristico" come un'esclusiva dell'informatica, perché in effetti non lo è.
La parola deriva dal verbo greco εὑρίσκω, che significa "trovare", "scoprire".
Chi non conosce l'aneddoto secondo il quale il grande matematico Archimede si accorse, mentre faceva il bagno, che il volume di un corpo di forma irregolare poteva essere calcolato misurando il volume dell'acqua spostata dal corpo stesso una volta immerso, e per la soddisfazione gridò a squarciagola "eureka!" (in greco εὕρηκα)?
Ebbene, quella strana parola, che ha anche dato il nome ad un asteroide, a due film,  ad un poema di Edgar Allan Poe, ad una serie americana di fantascienza, e addirittura a undici città degli Stati Uniti, altro non è che il perfetto indicativo del sopra citato verbo εὑρίσκω, e significa quindi "ho trovato".

Il termine "euristico", quindi, ha a che fare con il "trovare" e con lo "scoprire".
Si parla infatti di metodo euristico, non solo in informatica, ma anche nell'ambito della filosofia e della psicologia, per indicare un approccio alla soluzione di un problema che non procede secondo un percorso predefinito, "a colpo sicuro", ma che si basa su procedimenti più creativi, innovativi, che di volta in volta si adattano alle circostanze e sono in grado di generare nuova conoscenza.

Su un terreno più specificamente informatico, l'approccio euristico si rivela utile quando il problema da risolvere non può essere affrontato con un metodo di "forza bruta", cioè quando l'esplorazione esaustiva di tutte le possibili soluzioni sarebbe impraticabile dal punto di vista dei tempi di esecuzione.
In questi casi noi informatici ricorriamo ad algoritmi euristici (come ad esempio quello descritto in un mio vecchio post), che, basandosi su una ricerca "intelligente" nello spazio delle soluzioni, riducono enormemente il tempo di calcolo. Siccome, come si sa, a questo mondo nulla è gratis, anche questo vantaggio in qualche modo lo dobbiamo pagare. In che modo? Rinunciando alla pretesa di arrivare necessariamente alla soluzione ottima, cioè la migliore di tutte in assoluto.
I metodi euristici hanno questa caratteristica fondamentale: non è detto che trovino sempre la soluzione migliore (come farebbe un algoritmo esatto, ma magari a costo di impiegarci miliardi di anni per trovarla).

giovedì 29 novembre 2012

Il desiderio di spiegare

Recentemente mi è capitato tra le mani un bellissimo saggio di Isaac Asimov che avevo letto tanti anni fa.
Già dal suo titolo, "Civiltà extraterrestri", quel libro del 1979 promette al lettore mondi affascinanti e sorprendenti rivelazioni.
E la grandezza di Asimov è che quello che promette, lo mantiene anche.
Sfogliando dopo molto tempo quel volumetto, una frase in particolare, tratta dall'introduzione, ha catturato la mia attenzione:

"Ardo dal desiderio di spiegare, e la mia massima soddisfazione è prendere qualcosa di ragionevolmente intricato e renderlo chiaro passo dopo passo. È il modo più facile per chiarire le cose a me stesso."

E' una specie di manifesto del modo di fare divulgazione di Asimov; ed è anche, per quel poco o nulla che può contare, una perfetta descrizione dell'origine del piacere che io stesso provo nel divulgare la scienza.
Può sembrare egoistico, ma io credo che il vero divulgatore sia, innanzitutto, uno che ha bisogno di spiegare le cose a se stesso, prima ancora che al pubblico.
Leggendo i saggi di Asimov, maestro di tutti i divulgatori scientifici, il lettore percepisce quel sottile piacere nel "prendere qualcosa di ragionevolmente intricato e renderlo chiaro passo dopo passo": ma l'intensità del piacere provato dal lettore è proporzionale alla capacità dell'autore di entusiasmare e appassionare.
E in Asimov (come d'altra parte in altri grandi divulgatori), è facile immaginare che questa passione ha origine proprio dal fatto che la spiegazione della "cosa intricata" ha entusiasmato, prima di qualsiasi lettore o ascoltatore, l'autore stesso.

Galileo scrisse "parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi". Ma la lezione di Asimov è che non basta parlare chiaro per essere buoni divulgatori (benché sia fondamentale): occorre anche avere sperimentato intimamente, dentro di sè, quel desiderio "ardente" di spiegare a se stessi qualcosa di apparentemente difficile, e aver poi provato quella grande soddisfazione che nasce dall'accorgersi di esserci riusciti.

mercoledì 14 novembre 2012

Carnevale della Matematica #55 su MaddMaths!

Devo fare in fretta a scrivere questo post: devo pubblicarlo prima che la mezzanotte giunga a sancire la fine di questo 14 novembre. Perché? Bè, perché il 14 è il giorno che ormai da tempo immemore è dedicato alle celebrazioni carnascialesche e matematiche, e pubblicizzare l'evento il giorno dopo non sarebbe cosa buona e giusta.
Tanto più che questa edizione del Carnevale della Matematica, la numero 55 per la precisione, è stata allestita con grande bravura e leggerezza calviniana dal buon Roberto Natalini di MaddMaths!
Se non fosse che tutti conosciamo le qualità di Roberto, verrebbe da dire che questo Carnevale è una piacevole sorpresa: invece mi limiterò a dire che questa edizione ha proposto molti notevoli contributi sul tema scelto, la "matematica sorprendente", nonché molti non meno interessanti post fuori tema.
Mr. Palomar ha contribuito con due post poco sorprendenti, cioè non a tema: la seconda puntata del ciclo sulle scale musicali, e l'edizione novembrina delle "Parole informatiche".
La prossima edizione del Carnevale della Matematica sarà ospitata dl blog Scienza e Musica di Leonardo Petrillo, con il tema "Algebra, algebre e storia dell'algebra".
Qui mi fermo, non prima di avervi caldamente invitato a leggere il Carnevale. Complimenti ancora a Roberto Natalini e a tutti i partecipanti, e buon Carnevale a tutti!

giovedì 1 novembre 2012

Parole informatiche: bit (e dintorni)

I termini che, nel linguaggio tecnico informatico, indicano le unità più piccole in cui può essere espressa l'informazione nascondono alcune divertenti curiosità etimologiche.
L'unità più piccola dell'informazione viene indicata con il termine "bit", che può essere considerato una contrazione dell'espressione "binary unit" ("unità binaria") quanto dell'espressione "binary digit" ("cifra binaria").
Questa duplice possibilità di lettura si collega al doppio significato di questa parola informatica.
Un bit è, infatti, prima di tutto, la quantità di informazione necessaria e sufficiente per distinguere tra due eventi possibili che hanno la stessa probabilità di verificarsi: ad esempio, l'esito del lancio di una moneta, che può essere "testa" oppure "croce", oppure lo stato di una lampadina, che può essere accesa o spenta, e così via.  Parlare di questa accezione del termine "bit" vuol dire parlare di teoria di informazione.
Se abbandoniamo questo complicato ambito ingegneristico e passiamo ad occuparci di semplici numeri, potremmo decidere di esprimerli secondo il sistema binario: allora utilizzeremo ancora il termine "bit" per indicare ciascuna delle cifre utilizzate per scrivere i numeri. Perché? Semplicemente perché ogni cifra può essere uno zero o un uno, per cui ritroviamo anche in questo caso il concetto di alternativa tra due possibili eventi (in questo caso valori) di uguale probabilità.
Ma il termine "bit" non è soltanto una contrazione di "binary unit" e "binary digit", visto che in lingua inglese "a bit" significa "un pezzettino", "un poco", come testimonia questa famosa canzone dei Supertramp.


Quale più azzeccato gioco di parola poteva essere scelto per indicare l'unità elementare dell'informazione?
Il primo a utilizzare il termine "bit" con significato informatico fu, nel 1948, il padre della teoria dell'informazione, Claude Shannon, il quale ne attribuì la creazione allo scienziato John Tukey, che pare abbia anche ideato il termine "software". Si racconta che durante un pranzo tra scienziati nell'inverno tra il 1943 e il 1944 vennero proposti vocaboli come "bigit" e "binit", ma alla fine Tukey ebbe l'idea fulminante: "Perché non lo chiamiamo semplicemente bit?".

Ogni informatico sa che una combinazione più bit, ad esempio utilizzabile per codificare un carattere di testo, costituisce un byte.
Ma da dove viene quest'altra parola? Bè, se "bit" significa "pezzettino", da un pezzettino a un boccone il passo e breve, e, guarda caso, in inglese "boccone" si traduce "bite". La stretta somiglianza tra i due termini "bit" e "bite", poi, rappresentò un motivo in più per scegliere questa parola per indicare una combinazione di otto bit.
Dato che tipicamente un byte contiene otto bit, un termine che possiamo considerare più o meno sinonimo di "byte" è "octet" (in italiano "ottetto"): non ci sorprende il fatto che in Francia il termine "byte" sia pressoché inutilizzato, e i colleghi informatici d'oltralpe preferiscano parlare di "octets".
La parola "byte" fu coniata nel 1956 dall'informatico Werner Buchholz, durante la progettazione di Stretch, il primo computer a transistor prodotto dalla IBM.

Se un boccone corrisponde a otto bit, come possiamo chiamare una combinazione di quattro bit? Ovvio: bocconcino. Se la parola "bite" ("boccone") fu volutamente storpiata in "byte", analogamente il termine "nibble" ("bocconcino") venne deformata in "nybble".
Il primo utilizzo della parola "nybble" risale al 1977, da parte di un gruppo di ricerca attivo in Citibank per formulare un protocollo standard di comunicazione.
Un "nybble" (o "nibble", dato che è molto comune anche la dizione con la "i" normale) rappresenta la metà di un byte, ed è spesso utilizzato per codificare una cifra esadecimale oppure una cifra in codice BCD (Binary-Coded Decimal).

Raccogliendo da internet altri vocaboli indicanti combinazioni di bit di varia lunghezza, ho provato a stilare la seguente curiosa tabellina (ho escluso però i termini che indicano combinazioni di bit la cui lunghezza dipende dallo specifico computer sul quale vengono utilizzate).


1 bit
sniff
2 bit
crumb, quad, quarter, tayste, tydbit, morsel, semi-nybble
4 bit
nybble
5 bit
nickle, nickel
10 bit
deckle, dyme
16 bit
playte, plate
32 bit
dynner, dinner, quadlet

domenica 28 ottobre 2012

Pitagora e il cerchio che non si chiude

Come scrive il fisico Andrea Frova nel suo bel libro "Armonia celeste e dodecafonia" (Rizzoli, 2006), "in un'ottava si hanno infinite frequenze e in linea di principio si potrebbe far musica usandole tutte. Per varie ragioni - se non altro per il fatto che un gran numero di strumenti sono a note fisse - occorre porsi il problema di suddividere l'ottava in un certo numero di gradi discreti."
Questa esigenza fu sentita già dai Greci, e nel post "Pitagora e la scoperta della musica", avevo mostrato come il filosofo di Samo, procedendo per intervalli di quinta, caratterizzati quindi da un rapporto di 3/2 tra le altezze delle due note, aveva costruito una scala di sette suoni diversi, che abbiamo battezzato con i nomi delle note musicali: do, re, mi, fa, sol, la, si.

Nel corso del procedimento, sfruttando il fatto che l'intervallo di ottava è caratterizzato da un rapporto di 2:1 tra le altezze delle due note, Pitagora aveva diviso più volte le altezze ottenute per 2, allo scopo di riportare i suoni via via costruiti all'interno di una unica ottava. La scala risultante conteneva così le note che vanno dal do1 al do2.
La quinta e l'ottava sono quindi i due intervalli fondamentali nella costruzione della scala pitagorica. Un altro intervallo che emerge da questo schema è quello di quarta, caratterizzato da un rapporto di 4:3. Questo intervallo lo troviamo ad esempio tra il primo e il quarto grado della scala (nel nostro esempio basato sul do, tra do1 e fa1), oppure tra il quinto e l'ottavo (tra sol1 e do2), e in generale tra due note qualsiasi separate da quattro gradi.
Perché Pitagora si basò sugli intervalli di quinta e di ottava (e conseguentemente, di quarta) per costruire la sua scala? Evidentemente perché già nella tradizione musicale greca questi intervalli erano considerati consonanti, cioè era ritenuta piacevole la sensazione che si provava nell'ascoltare simultaneamente due note separate tra loro da uno di questi intervalli.  Basando la costruzione della scala su questi intervalli, Pitagora voleva far sì che suonando insieme più note della scala l'effetto uditivo fosse gradevole.
La grande scoperta che Pitagora ritenne di avere compiuto era la corrispondenza tra la sensazione di consonanza tra note e i rapporti numerici semplici tra le altezze delle note stesse.

I numeri coinvolti nei rapporti che caratterizzano i tre intervalli di ottava, quinta e quarta (2:1, 3:2; 4:3) sono infatti semplicemente i primi quattro numeri naturali: 1, 2, 3 e 4.  Questo non può far pensare alla cosidetta tetraktýs, il "quartetto" sacro che veniva rappresentato graficamente sotto forma di triangolo equilatero di lato quattro e che riconduceva alla somma magica 1+2+3+4 = 10.
All'interno della setta pitagorica, l'importanza di questo simbolo era tale che su di essa i discepoli prestavano giuramento e la scuola stessa era intitolata al sacro triangolo.
I quattro livelli venivano collegati ai quattro elementi che i presocratici consideravano i principi cosmici fondamentali: Fuoco, Aria, Acqua, Terra.

La connotazione religiosa di questo simbolo triangolare non era limitata ai pitagorici, ma si ritrova anche in molti culti orientali.
Vale la pena ricordare anche come il triangolo sacro ai pitagorici sia strettamente collegato ad un quadrato latino come quello indicato nella figura a fianco: oltre ad essere un quadrato latino, cioè ad avere su ogni riga e su ogni colonna tutti i numeri da 1 a 4, è anche simile ad un quadrato magico, perché la somma dei numeri su ogni riga, su ogni colonna e su ciascuna delle due diagonali dà come risultato 10 (a rigore, non si tratta di un vero quadrato magico perché le cifre utilizzate non sono distinte, ma ognuna si ripete quattro volte).

Ma torniamo alla scala musicale pitagorica. In "Pitagora e la scoperta della musica" avevo osservato che le note della scala risultano disposte in modo piuttosto uniforme. Ciò equivale a dire che gli intervalli tra due note consecutive sono di due soli tipi: il tono, che corrisponde al rapporto 9:8, e la limma, che corrisponde al rapporto 256:243.
Per sommare tra loro due intervalli è necessario moltiplicare tra loro i rapporti corrispondenti ai due intervalli: ad esempio, un intervallo pari a due limme corrisponde al rapporto (256:243) x (256:243) ≈ 1,1099, che è diverso dal rapporto associato al tono, pari a 9/8 ≈ 1,125.

Per poter trattare gli intervalli mediante addizioni anziché moltiplicazioni, qualcuno (precisamente il matematico inglese Alexander Ellis nel 1885) ha pensato di usare i logaritmi, dato che il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei rispettivi logaritmi. Introducendo una unità chiamata cent, e fissando convenzionalmente a 1200 cent l'ampiezza di una ottava, il numero di cent legato a un certo intervallo è uguale a 1200 * log2R, dove R è il rapporto corrispondente all'intervallo considerato.
In questo modo, si ottiene che il tono è pari a 1200 * log2(9/8) ≈ 203,91 cent e la limma è pari a 1200 * log2(256:243) ≈ 90,22 cent. Il fatto che un intervallo di un tono non eguagli un intervallo di due limme si traduce a questo punto nel fatto che i 203,91 cent che formano un tono non sono il doppio dei 90,22 cent della limma.
La definizione logaritmica degli intervalli musicali è più facile da comprendere, in quanto consente di comporre gli intervalli in modo additivo anziché moltiplicativo. Ma non è questo l'unico motivo per preferire i cent ai rapporti: la nostra percezione delle altezze sonore è approssimativamente logaritmica, allo stesso modo della risposta del nostro orecchio alle intensità sonore.

Mi piace allora riproporre l'ultima tabellina del post "Pitagora e la scoperta della musica" esprimendo gli intervalli non solo come rapporti ma anche con l'indicazione (approssimata) dei cent.
Come si vede dalla tabella, una quinta corrisponde a circa 702 cent, e una quarta a circa 498 cent.


NOTE
do1
re1
mi1
fa1
sol1
la1
si1
do2
RAPPORTI
1
9:8 = 1,125
81:64 = 1,266
4:3 = 1,333
3:2 = 1,5
27:16 = 1,687
243:128 = 1,898
2:1 = 2
CENT
0
203,91
407,82
498,04
701,95
905,86
1109,77
1200






Scrivevo poco fa che due limme non fanno esattamente un tono. Due limme equivalgono a circa 180,44 cent, e la differenza dai circa 203,91 che compongono un tono equivale approssimativamente a 23,47 cent: questo intervallo, percepibile da un orecchio musicalmente sensibile, viene detto comma pitagorico.
Questo errore è lo stesso che si ottiene ad esempio salendo di dodici quinte e scendendo poi di sette ottave.
Infatti, secondo il sistema pitagorico, dodici quinte equivalgono a 12*701,95 = 8423,4 cent, mentre sette ottave sono 7 * 1200 = 8400 cent: ritroviamo come differenza quei 23,4 cent che costituiscono il comma pitagorico.
In sostanza, non riusciamo a chiudere il cerchio delle quinte, almeno dopo 12 passi.
Forse ce la possiamo fare con un numero più alto di passi? Ad esempio, intorno al 40 a.C. il cinese King Fang si accorse che un intervallo di 53 quinte è molto vicino ad un intervallo di 31 ottave: ma anche in questo caso si ha un errore, pari a 53*701,95 - 31*1200 = 37203,35 - 37200 = 3,35 cent.
In generale, il cerchio non si chiuderà mai, semplicemente perché non esistono due numeri interi m e n tali per cui:
Più che un cerchio delle quinte, quindi, nella scala pitagorica abbiamo una "spirale delle quinte", che non si chiude mai in entrambe le direzioni.
Se fissiamo m=1 e risolviamo l'equazione precedente in n, otteniamo n = log23 - 1 ≈ 0,585, che è ovviamente un numero irrazionale: curiosamente il grande incubo di Pitagora, l'esistenza dei numeri irrazionali, è alla base del fenomeno del comma, cioè del principale difetto della sua scala musicale.

Il perfido comma pitagorico salta fuori ovunque quando si analizza la scala del filosofo di Samo. Torniamo al famoso cerchio delle quinte che abbiamo usato per costruire la scala: di quinta in quinta avevamo attraversato le note fa, do, sol, re, la, mi e si. Partendo dal si e procedendo ancora per quinte, si cominciano a toccare delle note che i musicisti chiamano di solito "accidentate", cioè le note con il segno del diesis.
Dopo il si, otteniamo una nota compresa tra il fa e il sol, che chiamiamo fa# (fa diesis); poi, successivamente, otteniamo do#, sol#, re#, la#, mi#, e così via.
Ma facciamo i conti per vedere cosa succede di preciso. Se aggiungiamo i 701,95 cent tipici di una quinta ai 1109,77 cent del si1, abbiamo 1811,77 cent. Sottraendo 1200 cent per scendere di un'ottava, otteniamo una nota di 611,77 cent, che si trova tra il fa e il sol e chiamiamo quindi fa#.  Precisamente, l'intervallo tra il fa e il fa# è pari a 113,73 cent, che non è la stessa cosa dei 90,22 cent che caratterizzano la limma.
Qual è la differenza tra i due intervalli? Guarda un po', sono sempre quei 23 cent che formano il famigerato comma pitagorico.
La morale della favola è che la limma interviene nella scala pitagorica come intervallo di separazione tra note che formano la scala stessa, ad esempio tra mi e fa e tra si e do, e per questo viene chiamata anche "semitono diatonico".  Invece,  gli intervalli tra una nota e la propria versione alterata con un diesis (ad esempio tra fa e fa#, oppure tra do e do#) sono più grandi, e vengono detti "semitoni cromatici".
La differenza tra i due tipi di semitoni è uguale a un comma pitagorico.

Lo stesso intervallo che esiste tra una nota e la propria versione con diesis lo ritroviamo, a ritroso, tra la nota stessa e la propria versione alterata con un bemolle. Ad esempio, tra un solb e un sol abbiamo un intervallo pari a un semitono cromatico, cioè 113,73 cent.  La nota solb, in particolare, corrisponde a 588,22 cent.
Cosa comporta questo fatto? Ad esempio, che solb e fa# non sono la stessa nota (588,22 cent 611,77 cent), e in particolare il fa# risulta più acuto del solb.  Ancora una volta, l'intervallo tra le due note è pari a un comma pitagorico.
La scala pitagorica con diesis e bemolli, quindi, richiederebbe 21 note, disposte nell'ordine seguente:
dob-si, reb-do#, re, mib-re#, fab-mi, fa-mi#, solb-fa#, sol, lab-sol#, la, sib-la#, dob-si.
E' come se sulla tastiera di un pianoforte, venissero sdoppiati non soltanto tutti i tasti neri, che come è noto corrispondono alle note alterate, ma anche i tasti bianchi che distano di un semitono: complicatissime tastiere "enarmoniche" di questo tipo vennero realmente costruite nel Cinquecento, come illustrato nella figura sopra.

domenica 21 ottobre 2012

Carnevale dei Libri di Scienza #13 su BiblioBredaBlog

Tocca  a BiblioBredaBlog, il blog della Biblioteca di Breda di Piave (TV) e dei suoi gruppi di volontari, l'onere e l'onore di aprire il secondo anno di vita del Carnevale dei Libri di Scienza.
Il tema di questa edizione numero 13 è certamente affascinante, e molto caro anche a Mr. Palomar le scienze nella letteratura.
La Biblioteca di Breda dedica da molti anni una particolare attenzione ai temi della divulgazione scientifica, attraverso iniziative di varie tipo, e questo Carnevale è la tappa recente di questo percorso di sensibilizzazione.
Le recensioni segnalate per questa edizione non sono numerosissime, ma forniscono spunti interessanti: dalla trilogia "Queste oscure materie" di Philip Pullman proposta da Knedliky al classico "Flatlandia" di Edwin Abbott recensito da Taccuino 22, dall'omaggio a Isaac Asimov del blog di Rosa Maria Mistretta ai racconti di "Paura della matematica" segnalati da Scienza Express. Mr. Palomar ha contribuito con il suo post su "La vita istruzioni per l'uso" di Georges Perec. Mi ha fatto piacere trovare segnalati, all'interno del Carnevale, anche li stuzzicanti post che Alessandro Aquilano aveva scritto qualche mese fa sul romanzo di Perec.
Complimenti a BiblioBredaBlog e a tutti i partecipanti, e buona lettura!

martedì 16 ottobre 2012

Il grande quadrato di Perec

Nel mio vecchio post "La matematica di Ummagumma (Parte 2)" citavo il celebre romanzo "La vita istruzioni per l'uso" di Georges Perec, costruito sopra un quadrato greco-latino 10x10.
Riprendo l'argomento dopo più di un anno e mezzo perché recentemente ho ripreso in mano il libro, e leggendo le sue pagine l'urgenza di fare chiarezza sui suoi presupposti combinatori si faceva sempre più impellente. Sapevo che Perec stesso aveva spiegato le basi matematiche del romanzo nei suoi appunti di lavoro, e in effetti il libro "Specie di spazi", edito da Bollati Boringhieri, raccoglie, tra il resto, anche queste note; ma dopo avere scovato questo volume, mi sono imbattuto anche in un sito (francese, ovviamente) che mi ha ulteriormente aiutato a soddisfare le mie curiosità.
Ma procediamo un passo alla volta.
Perec pubblicò il libro nel 1978, dedicandolo alla memoria di Raymond Queneau. Italo Calvino apprezzò grandemente l'opera di Perec, considerandola come un punto di svolta nella storia del romanzo, e indicandola anzi come notevole esempio di "iperromanzo". Anche molti altri autori italiani accolsero il romanzo di Perec come un vero capolavoro.

Come già ricordavo nel post dell'anno scorso, il libro è costituito da 99 capitoli, ognuno dei quali rappresenta l'istantanea di una stanza di un condominio di dieci piani. Perec stesso scrisse:
Immagino uno stabile parigino cui sia stata tolta la facciata... in modo che, dal pianterreno alle soffitte, tutte le stanze che si trovano sulla parte anteriore dell'edificio siano immediatamente e simultaneamente visibili.

Perec descrive ogni stanza in modo estremamente particolareggiato, soffermandosi spesso su dettagli legati ai suoi inquilini di oggi e di ieri, alle loro storie, alle loro passioni, alle loro vite.
Quella che può apparire, all'inizio della lettura, come maniacale pedanteria, diviene ben presto uno stile necessario, piacevole, irrinunciabile, funzionale al graduale dipanarsi della complessa trama.


Ma non temete: non vi parlerò dell'intricato puzzle dei personaggi e delle loro storie, un po' per non guastarvi la sorpresa e un po' perché non basterebbero dieci post per dare una pallida idea della trama.

Riprenderò invece il tema del quadrato greco-latino, che nel vecchio post avevo soltanto accennato: chi volesse intraprendere la lettura di questa monumentale opera senza trascurare i suoi aspetti matematici troverà probabilmente molto utile il sito francese e le chiavi di lettura che mi accingo a fornire.

Nella pagina dedicata ai contraintes (vincoli) sono riportati i 42 elenchi di 10 elementi ciascuno che Perec compose per utilizzarli come "vincoli narrativi". Come potete vedere, ci sono due elenchi di autori che possono essere citati (citation 1 e citation 2), un elenco di epoche (époque), uno di animali (animaux), uno di sentimenti (sentiments), e così via.  In ognuno degli elenchi gli elementi sono identificati dalle lettere a, b, c, ..., j.
Ogni elenco è contrassegnato da un codice, riportato nella colonna id e formato da una lettera (A oppure B oppure C) e da una cifra (da 0 a 9). Se trascuriamo la differenza tra lettere maiuscole e minuscole, gli elenchi risultano riuniti in 21 coppie: ad esempio, i primi due elenchi, rispettivamente contenenti posizioni (position) e attività (activité), sono accoppiati e contrassegnati dal codice 1A/1a.

E' a questo punto che entra in scena il quadrato greco-latino 10x10: esso è rappresentato nella pagina l'immeuble, e le sue caselle corrispondono alle stanze del condominio parigino (e quindi ai capitoli del romanzo).
Come i miei lettori probabilmente già sanno, un quadrato greco-latino è una scacchiera quadrata che contiene, in ogni casella, una coppia di simboli, in modo tale che ogni simbolo compaia esattamente una volta in ogni riga e in ogni colonna, e che ogni coppia compaia esattamente una volta nell'intera scacchiera.
Originariamente era consuetudine usare coppie formate da una lettera greca e una lettera latina, da cui il nome di questo oggetto matematico.
Esistono quadrati greco-latini di lato n per ogni n maggiore di 2 e diverso da 6. Quello che Perec impiegò è descritto dallo stesso scrittore, in "Specie di spazi, come un "bi-quadrato latino ortogonale d'ordine 10 (quello di cui Eulero congetturò la non esistenza, ma che fu scoperto nel 1960 da Bose, Parker e Shrikhande)."

Ogni casella del quadrato greco-latino 10x10 corrisponde ad una delle stanze del condominio, e quindi a uno dei capitoli del romanzo.
Ora, per ciascuna delle coppie di elenchi definite sopra (ad esempio l'elenco di posizioni e quello di attività), Perec si servì di questo quadrato latino per assegnare ad ogni stanza (e quindi ad ogni capitolo) una coppia di valori tra quelli ammessi dagli elenchi.
Ad esempio, consideriamo la casella associata al capitolo 58, intitolato Réol,1: se vi clicchiamo sopra, troviamo il dettaglio relativo a questo capitolo, e scopriamo che il quadrato ha stabilito "inginocchiato" (agenouillé) come posizione, e "leggere, scrivere" (lire, écrire) come attività.
Ecco allora che il capitolo 12 del libro contiene,in effetti, riferimenti all'essere inginocchiato e alle attività del leggere e dello scrivere:
"Olivier Gratiolet è seduto davanti a un tavolino pieghevole coperto da un drappo verde, sta leggendo. La figlia Isabelle, che ha tredici anni, è inginocchiata sul pavimento di legno..."

Lo stesso procedimento va ripetuto per tutte le altre coppie di elenchi, così da riempire le caselle del quadrato greco-latino con coppie di valori estratti dagli elenchi predefiniti e utilizzarle poi nei rispettivi capitoli come vincoli narrativi.
Perec ha allestito il suo enorme puzzle narrativo vincolando la scrittura tramite questo vertiginoso macchinario combinatorio, studiato in modo tale da distribuire i vincoli in modo equilibrato.
Ho descritto il funzionamento solo in superficie: studiando più a fondo la macchina di Perec si scoprono altre particolarità, eccezioni e raffinatezze che non potrebbero essere descritte in queste poche righe.

Anche il modo in cui i capitoli del libro sono distribuiti sulle caselle del quadrato 10x10 non è casuale, e costituisce un ulteriore vincolo: se guardate ancora la pagina l'immeuble, vi accorgete che si passa sempre da un capitolo al successivo compiendo una spostamento che nel gioco degli scacchi corrisponde la mossa del cavallo (due caselle in avanti e una a lato).
La ricerca di un percorso che visita tutte le caselle della matrice, ciascuna una e una sola volta, utilizzando ad ogni passo la mossa del cavallo, è un problema classico di topologia, noto come problema del "giro di cavallo", che di fatto è un caso particolare del problema del cammino hamiltoniano.
Perec ha utilizzato in questo caso una delle innumerevoli soluzioni esistenti su una scacchiera 10x10, ma ha commesso (volutamente o no?) un errore nel passaggio dalla casella 65 alla casella 66, come potete facilmente constatare nella pagina l'immeuble.
In questa pagina trovate una possibile correzione al giro di cavallo di Perec.

Con queste poche note ho soltanto scalfito la superficie dell'intricato mondo combinatorio di Perec.
Non vorrei che queste considerazioni sugli aspetti matematici del romanzo fossero prese come unica o principale chiave di lettura dell'opera di Perec, che rimane, principalmente, un'opera letteraria di altissimo livello.  I numerosi appigli matematici non fanno del romanzo di Perec un arido puzzle senza anima: al contrario rendono ancora più affascinante ed enigmatica un'opera che viene considerata tra i massimi capolavori del Novecento.

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