lunedì 29 agosto 2011

Mozart gioca a dadi

Nel 1793 venne pubblicato, simultaneamente a Berlino e ad Amsterdam, un "Musikalisches Würfelspiel" ("Gioco di dadi musicale"), utilizzabile per comporre minuetti "senza la minima conoscenza della musica, tirando due dadi".
Il gioco ebbe subito un grandissimo successo: in pochi anni moltissime case editrici europee lo ristamparono, e vennero pubblicate versioni economiche e di lusso.

Il dettaglio più interessante è però rappresentato dall'autore di questo "divertimento": niente meno che Wolfgang Amadeus Mozart!
Tra la seconda metà del Settecento e l'inizio dell'Ottocento questo tipo di giochi musicali diventarono molto popolari in Europa, e oltre a Mozart anche altri compositori di grande rilevanza, come Carl Philip Emanuel Bach e Haydn ne furono attratti.

Il "Musikalisches Würfelspiel" mozartiano permetteva di comporre, in modo automatico, un minuetto strutturato secondo la forma tripartita in auge a quell'epoca: una prima parte, cioè il minuetto vero e proprio, una parte centrale detta "trio" perché originariamente era assegnata a tre strumenti solisti, e una terza parte che riproponeva il minuetto iniziale.
I minuetti e i trii dell'epoca erano costituiti tipicamente da 16 battute, e la loro struttura poteva basarsi su schemi abbastanza standard. Questa semplicità strutturale rappresentò per Mozart il requisito necessario per poter concepire l'idea di una composizione automatica.
Per comporre il minuetto, il gioco prevedeva l'utilizzo di una tabella con 11 righe e 16 colonne. In ognuna delle caselle risultanti era presente un numero da 1 a 176, che rimandava ad un libretto nel quale erano trascritte 176 battute composte da Mozart.
Le 16 colonne della tabella corrispondevano alle 16 battute del minuetto. Lanciando, per ciascuna delle 16 battute, due dadi e sottraendo 1 dal punteggio totale si otteneva un numero da 1 a 11. Consultando il libretto con il numero presente all'intersezione tra la colonna del numero di battuta e la riga determinata dal lancio dei dadi, si trovava la battuta mozartiana da utilizzare.
Seguendo questo procedimento il "giocatore" si ritrovava in mano un bel minuetto di 16 battute. E il trio da usare come parte centrale? Il procedimento era del tutto analogo, ma in questo caso la tabella da utilizzare aveva soltanto 6 righe, cosa che rendeva possibile utilizzare un solo dado.

Da notare che, lanciando due dadi, le 11 combinazioni possibili non hanno tutte la stessa probabilità: ad esempio il punteggio 7 è molto probabile, perché si ottiene con 6 diverse combinazioni, mentre il 2 o il 12 si ottengono con una sola combinazione. Alcuni minuetti, quindi, sono più probabili di altri, e non sappiamo se Mozart abbia tenuto conto di questo, ad esempio facendo corrispondere le battute "meglio riuscite" ai lanci di dadi più probabili.

La bravura di Mozart fu, in ogni caso, quella di scrivere battute che potessero adattarsi bene l'una con l'altra, cosa non banale anche in un contesto tonale come quello ovviamente scelto dal genio salisburghese.

Quanti possibili minuetti sono possibili con questo gioco? Per ognuna delle 16 battute del tema principale ci sono 11 battute possibili: quindi le combinazioni possibili sono in tutto 1116. Analogamente, il gioco consente la composizione di 616 trii. Poiché il minuetto come forma musicale tripartita è dato dalla combinazione di un minuetto e di un trio, abbiamo in tutto 1116 x 616 = 129.629.238.163.050.258.624.287.932.416 diverse composizioni possibili, cioè circa 129 miliardi di miliardi di miliardi!

Leggendo queste righe vi è venuta la voglia di giocare anche voi al "Musikalisches Würfelspiel" e comporre piacevolissimi minuetti mettendo insieme le battute del grande Amadeus? Andate all'indirizzo http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice: e buon divertimento!

lunedì 22 agosto 2011

Meraviglie possibili e impossibili con il cubo Soma

Nei giorni scorsi ho passato qualche giorno a Torino, città che in questo periodo offre numerosi spunti culturali di altissimo livello, in gran parte legati alla celebrazione dei 150 anni dell'unità d'Italia: proposte che uniscono l'antico con il moderno, in una meravigliosa dimostrazione di eccellenza italiana.
Nel corso delle mie esplorazioni torinesi, ho visitato la magnifica reggia della Venaria Reale, nella quale trova posto una specie di tempio del gioco al quale è stato dato il nome di "Fantacasino". Qui ho trovato, con mia grande sorpresa, un paio di rompicapi matematici realizzati in legno e offerti al divertimento dei visitatori: le torri di Hanoi (delle quali ho parlato in un mio precedente post) e il celebre cubo Soma.
Il cubo Soma fu inventato da un genio dei rompicapi matematici: il danese Piet Hein.
La vita di Hein sembra uscita da un romanzo: nacque a Copenhagen nel 1905 da una famiglia che tra i suoi antenati vanta un altro Piet Hein, l'eroe nazionale olandese che si distinse all'inizio del Seicento come comandante navale nella guerra degli Ottant'Anni.
Nel 1940, quando la Danimarca fu invasa dai nazisti, il nostro Piet Hein si arruolò come partigiano, e combattè a capo di un gruppo antinazista fino alla fine della guerra.
Si sposò quattro volte, ed ebbe cinque figli.
Nel corso della sua lunga vita, Hein fu matematico, fisico, ingegnere, progettista e inventore, ma anche divulgatore scientifico, poeta e scrittore.
Durante la sua milizia nella resistenza danese, inventò un particolare tipo di poesia breve, chiamato "gruk" o "grook", e pubblicò i suoi primi componimenti antinazisti sul quotidiano danese "Politiken", con lo pseudonimo "Kumbel Kumbel".
Un esempio di gruk? Eccolo:

La via della saggezza

La via della saggezza?
E' evidente
e molto semplice:
sbaglia,
sbaglia
e sbaglia ancora,
ma sempre meno,
meno
e meno.


Come matematico, studiò a fondo una particolare curva, chiamata "superellisse": una sorta di via di mezzo tra un'ellisse e un rettangolo. La superellisse è divenuta un marchio di fabbrica dell'architettura scandinava moderna, ma è stata utilizzata anche in molti oggetti di design e nella progettazione dello stadio Olimpico di Città del Messico.

A noi Piet Hein interessa soprattutto come inventore di giochi e rompicapi matematici, tra i più belli che siano mai stati creati. Il gioco dell'Hex, profondamente studiato dalla "beautiful mind" di John Nash e descritto dal grande Martin Gardner, è suo. Sono suoi anche giochi noti come TacTix, Nimbi, Tangloids, Morra, Tower, Polytaire, Qrazy Qube, Pyramystery.

L'idea del cubo Soma, probabilmente il suo gioco più celebre, gli venne nel 1936, mentre seguiva una lezione di fisica quantistica di Werner Heisenberg. Il grande fisico stava descrivendo uno spazio suddiviso in celle cubiche, e il giovane Hein si trovò a riflettere su quali forme possano essere costruite combinando insieme cubetti uniti tra di loro per una faccia.
Hein concentrò il proprio interesse sulle forme "irregolari", cioè sulle combinazioni di cubetti che presentano delle concavità. Ad esempio, con un solo cubetto o con due cubetti, non è possibile creare forme irregolari; con tre cubetti è possibile creare una sola forma irregolare, illustrata nella figura seguente:



E con quattro cubetti? Hein osservò che potevano essere costruite sei figure irregolari:



Ora, il bello deve ancora venire. Hein provò a contare i cubetti utilizzati per costruire queste sette figure: 3 per l'unica figura da 3 cubetti, 4x6=24 per le 6 figure da 4 cubetti, in tutto 27 cubetti.
Ma... 27 è il cubo di 3! La domanda nacque spontanea nella mente di Hein: non è che combinando opportunamente queste sette figure si possa ottenere un bel cubo 3x3x3?

Hein si mise al lavoro e trovò subito la risposta: sì, è possibile!
La soluzione non è unica: nel 1961 i matematici J. H. Conway e M. J. T. Guy hanno dimostrato che escludendo simmetrie e rotazioni il problema ammette 240 diverse soluzioni.
Certo, trovare il modo giusto di combinare i sette pezzi del cubo Soma non è per tutti facile, e la sfida è un rompicapo appassionante.




Con i sette pezzi base, oltre al cubo 3x3x3 che rappresenta la prima sfida per chi voglia cimentarsi con il rompicapo, è possibile costruire innumerevoli altre forme curiose. Nella figura a lato è illustrata una ipotetica "stanza del matematico", nella quale il tavolo, le sedie e il divano sono tutte figure che si possono ottenere a partire dai sette pezzi base.

Naturalmente non tutte le figure costituite da 27 cubetti possono essere costruite con i sette pezzi base: un po' come accade con i bidimensionali polimini, anche le costruzioni Soma si prestano a interessanti dimostrazioni di impossibilità.



Martin Gardner, nel suo classico "Enigmi e giochi matematici", mostra come le due forme illustrate nella figura seguente non possano essere costruite con i pezzi del cubo Soma.

Della seconda forma, Gardner propone anche una interessante dimostrazione di impossibilità.

Il cubo Soma assomiglia un po' al tangram e un po' ai rompicapi con i polimini (dei quali ho già accennato in questo blog in questo e in questo articolo), ma ha in più il pregio di essere tridimensionale.
Perché Hein scelse questo nome? "Soma" è il nome dell'immaginaria droga descritta da Aldous Huxley nel suo romanzo "Brave New World" ("Il mondo nuovo").
Concludo con un passo da questo romanzo:

...non un momento di riposo... non un momento per sedersi e pensare - ché se per qualche sfortunato caso una tal fessura di tempo si apre nella solida sostanza delle loro distrazioni, c'è sempre il Soma, il delizioso Soma...

domenica 21 agosto 2011

Carnevale della matematica #40: goto Popinga

Il Carnevale della Matematica di questo caldo agosto è stato ospitato dal magnifico e prezioso blog dell'amico Popinga ("Scienza e letteratura: terribilis est locus iste") .
La mia segnalazione arriva in ritardo, ma non poteva mancare data la ricchezza di contributi di questa edizione.
Il tema del mese, come sempre non vincolante, era particolarmente affascinante: "Quant'è bella geometria".
Quasi a voler compensare la prolificità del mese precedente, questa volta Mr. Palomar è stato particolarmente taccagno: solo due post, uno soltanto dei quali aveva un vero e proprio contenuto.
Per fortuna altri blogger hanno contribuito con articoli davvero interessanti, assolutamente da leggere: buon Carnevale a tutti!

sabato 6 agosto 2011

Un "mostruoso" fiocco di neve

Lo so, in giorni come questi di torrido sole, afa e zanzare, parlare di fiocchi di neve può sembrare anacronistico. Ma tant'è: non si può essere sempre in linea con la stagione; e poi, volete mettere: nei giorni di canicola è più piacevole parlare di neve piuttosto di climi tropicali, o no?
Ebbene, nel 1904, il matematico Helge van Koch,che non a caso era svedese, inventò una curva, oggi nota come "fiocco di neve di Koch", o anche "merletto di Koch", che i colleghi dell'epoca definirono una mostruosità matematica.
Costruire il fiocco di neve di Koch è molto semplice, almeno in teoria. Per prima cosa prendete un triangolo equilatero: per ognuno dei tre lati, dividete il lato in tre segmenti uguali e sostituite il segmento centrale con due segmenti identici che assieme al segmento eliminato costituirebbero un triangolo equilatero. Avrete ottenuto una sorta di stella di David, con 6 punte e 12 lati. Ripetete l'intera operazione per ciascuno dei lati della stella, ottenendo una stella ancora più frastagliata. Nella figura seguente sono mostrati i primi quattro passi della creazione del "mostro" di Koch; nell'animazione successiva è mostrato un numero maggiore di passi della costruzione.

Questo procedimento, proseguito all'infinito, tende verso quello che viene definito "fiocco di neve di Koch".
Perché la creatura del matematico svedese fu definita mostruosa? Alcune sue caratteristiche sono, a ben vedere, molto strane, se non addirittura paradossali.
In ogni passo della sua costruzione, come abbiamo visto, ciascun lato viene suddiviso in tre segmenti, uno dei quali è sostituito da due segmenti uguali: ciò significa che ad ogni iterazione la lunghezza totale aumenta di un fattore 4/3, e quindi il fiocco limite di Koch non può che avere una lunghezza infinita.
Nonostante la linea sia infinita, essa racchiude un'area ovviamente finita, e ciò può apparire, intuitivamente, una contraddizione in termini.

Altre proprietà esotiche della curva sono legate a considerazioni di analisi matematica più avanzate e meno intuitive: la curva è continua, ma non è derivabile in alcun punto.

Il merletto di Koch gode inoltre della stranissima proprietà dell'autosimilarità: ogni parte contiene infatti il tutto, cioè ingrandendo progressivamente un dettaglio si ritrova ogni volta l’immagine di partenza.
Ricordate il mio vecchio post sulla matematica di Ummagumma? Nella copertina "ricorsiva" di quel disco dei Pink Floyd, la foto appesa al muro si ritrovava l'intera scena della copertina complessiva, e così via, per due livelli successivi di profondità.
Nel merletto di Koch accade qualcosa di molto simile: ricorsione e autosimilarità sono concetti molto vicini.

Un'altra caratteristica esotica della curva di Koch è la sua dimensione.
Che cos'è la dimensione di una curva? La questione, per la verità, è molto profonda e non può essere esaurita in poche righe; cercherò comunque di fornire sull'argomento qualche indicazione intuitiva, non necessariamente rigorosa.
Qual è la dimensione di un segmento? Bè, ovviamente 1. E quella di un quadrato? Certamente 2. E quella di un cubo? Non può che essere 3.
Va bene, ma perché? Come di definisce, in generale, la dimensione di un oggetto geometrico? E qual è la dimensione del fiocco di neve di Koch?
Intuitivamente, qual è il quadrato più piccolo che possiamo usare per racchiudere interamente (o, come direbbero i matematici, "ricoprire") un segmento lungo un metro? Ovviamente un quadrato con la diagonale di un metro. E se disponessimo soltanto di quadrati con diagonale di mezzo metro, cioè pari alla diagonale iniziale divisa per N=2? Avremmo bisogno di M=2 quadrati, perché mettendone uno a fianco dell'altro le due diagonali si sommerebbero a raggiungere il metro di lunghezza del segmento da ricoprire. Analogamente, se avessimo soltanto quadrati con diagonale pari a 25 cm (N in questo caso è uguale a 4), avremmo bisogno di M=4 quadrati.
Ebbene, la dimensione dell'oggetto (in questo caso il nostro segmento) è l'esponente al quale dobbiamo elevare N per ottenere M. In questo caso, al variare della grandezza dei quadrati, N ed M sono sempre uguali tra loro, e l'unico esponente che lascia invariato qualsiasi numero è 1. La dimensione di un segmento è quindi 1, come ci aspettavamo.

Se ripetessimo la stessa operazione con un quadrato, otteremmo una dimensione sempre uguale a 2, com'è in effetti la dimensione che ci aspettiamo di assegnare ad un oggetto bidimensionale. E per un cubo si otterrebbe una dimensione 3, risultato del tutto prevedibile e per nulla sorprendente.

E per il fiocco di neve di Koch? Qui la faccenda diventa più strana, se proprio non vogliamo scomodare l'aggettivo "mostruoso".
Inoltre, prenderò in esame non l'intero fiocco di Koch, ma solo un terzo dell'intera curva chiusa: questa porzione corrisponde alla curva che evolve a partire da uno dei tre lati del triangolo iniziale. Quando si parla genericamente di "curva di Koch", si intende proprio questa porzione aperta dell'intero "fiocco".
La dimensione della curva aperta di Koch, comunque, è identica a quella del fiocco di neve di Koch: non spiegherò perché, ma, se potete, credetemi sulla parola.
Se il lato di partenza è lungo 1 metro, possiamo ricoprire la curva finale di Koch con un quadrato la cui diagonale è lunga 1 metro. Se però disponiamo di quadrati con diametro pari a un terzo di metro, allora avremo bisogno di 4 quadrati, come indicato in figura.

Volendo utilizzare quadrati ricoprenti ancora più piccoli, secondo un fattore di rimpicciolimento 3, dovremo sostituire ogni quadrato grande con 4 quadrati più piccoli, e così via indefinitamente.
Per la curva di Koch, quindi, N ed M stanno tra loro come 3 sta a 4. Ora, l’esponente al quale dobbiamo elevare 3 per ottenere 4 è pari a log(4) / log(3), che è circa uguale a 1,2619.
Quindi, per quanto strano ciò possa essere, non possiamo che concludere che la dimensione del fiocco di neve è D = 1,2619.

Esistono quindi oggetti, e il merletto di Koch ne è un rappresentante emblematico, la cui dimensione non è intera. Per giunta questi oggetti godono di quella diabolica proprietà nota come autosimilarità: prendendone un pezzetto si ritrova l'oggetto completo di partenza. E inoltre, come abbiamo visto, si tratta di curve non derivabili.
Caratteristiche troppo bizzarre perché non fossero giudicate "mostruose" dai matematici di un secolo fa. Il matematico francese Charles Hermite affermò addirittura di "ritrarsi con spavento e orrore da questa piaga lamentevole delle funzioni che non hanno derivata".
Oggi oggetti di questo genere non fanno più paura, e vengono chiamati frattali: il fiocco di Koch è, in effetti, una delle prime curve frattali che siano state descritte.