lunedì 23 maggio 2011

Carnevale della Matematica

Forse immeritatamente, da "absolute beginner", Mr. Palomar ha partecipato alle ultime cinque edizioni del prestigioso Carnevale della Matematica, iniziativa creata da .mau. sul modello del Carnival of Mathematics.


Il Carnevale della Matematica è un bellissima idea per raccogliere i blogger italiani di divulgazione matematica: ogni mese, precisamente il giorno 14 (la scelta del giorno non è certo casuale, e non serve che io spieghi il perché), uno dei blogger pubblica un post che raccoglie e recensisce i post che gli altri blogger hanno scritto nel mese trascorso e che gli hanno segnalato.
Ogni mese viene fissato un tema, che non è tuttavia vincolante ai fini della partecipazione al Carnevale.
L'iniziativa permette così di far conoscere nuovi blog di matematica agli appassionati e di divulgare con maggiore efficacia articoli che altrimenti rischierebbero di restare inosservati.

Finora, nonostante la maggior parte dei miei post siano stati recensiti e segnalati nei primi cinque Carnevali del 2011, non avevo mai pubblicato post che pubblicizzassero a loro volta l'iniziativa carnascialesca.
Rimedio adesso, con grave ritardo, ringraziando gli amici bloggers che hanno curato finora i Carnevali, sempre con impeccabili puntualità, precisione e brillantezza; e li ringrazio in particolare per avermi sempre volentieri ospitato.

Riporto qui i link ai cinque Carnevali che sono stati pubblicati tra gennaio e maggio, e che hanno recensito articoli di Mr. Palomar:

Carnevale di gennaio, ospitato da .mau.

Carnevale di febbraio, ospitato da Rangle

Carnevale di marzo, ospitato da Pi greco quadro

Carnevale di aprile, ospitato dai Rudi Matematici

Carnevale di maggio, ospitato da Dropsea

giovedì 19 maggio 2011

Numeri

Non sono certo un fan di Raf, ma appena ho visto, esposto nella vetrina di un negozio di dischi, il suo nuovo album intitolato "Numeri", ho subito pensato che, nel blog che ha esplorato alcuni strani legami tra matematica e musica pop, un seppur minimo accenno doveva esserci.
Nel testo della canzone che dà il nome al disco le voci di Nathalie, Frankie HI-NRG MC e Raf affastellano, un po' disordinatamente, nozioni matematiche varie, mescolate a improbabili rime, notizie da Istat e autocitazioni autoironiche:

Primi, perfetti, reali, razionali,
Oppure dispari, complessi, perduti, dimenticati.
Siamo numeri, siam ricchi e poveri, ma siamo solo numeri,
Siam donne e uomini, siam numeri di tutti i generi.
Espressi in indici, riassunti in medie
Sempre in numero un po' superiore a quello delle sedie.
60 milioni di cui 1/3 lavora, 1 su 30 sta a casa,
1 su 1000 non la trova.
Tu contane 8, il nono è povero
E per l'erario ogni 1000 di loro c'è un ultramilionario.
Ma la gente che dà i numeri, che fa i numeri è frequente
Superi chi ha i numeri e due scrupoli.
Forse solo oggi lo sappiamo per davvero
Cos'è rimasto di quelli anni '80: lo 0.


lunedì 16 maggio 2011

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 3

Nella seconda parte di questo post vi parlavo di una procedura ricorsiva in grado di generare tutti i numeri da 0 a 63 come stringhe binarie, oppure, il che è la stessa cosa, tutti i 64 esagrammi dell'I Ching, cioè tutte le combinazioni di 6 linee, intere e spezzate.
Ecco un esempio, in linguaggio Java.

package iching;

public class IChing {

public static void main(String[] args)
{
String[] iching;
int length = 6;
iching = create_string(length);
for (int i = 0; i <= (int)Math.pow(2,length)-1; i++)
{
System.out.println(i+1 + " - " + iching[i]);
}
}

public static String[] create_string(int length)
{
String[] substr = new String[(int)Math.pow(2,length-1)];
String[] str = new String[(int)Math.pow(2,length)];

if (length==1)
{
str[0] = ":";
str[1] = "|";
return str;
}
else
{
substr = create_string(length-1);
for (int i = 0; i <= (int)Math.pow(2,length-1)-1; i++)
{
str[i] = ":" + substr[i];
str[i+(int)Math.pow(2,length-1)] = "|" + substr[i];
}
return str;
}
}
}
Se avete la possibilità di eseguire questo programmino Java, provate: il risultato che otterrete saranno i 64 esagrammi dell'I Ching, nell'ordine di Shao Yung, e rappresentati con i due simboli ":" e "|", che corrispondono rispettivamente alla linea spezzata e alla linea continua. Se nel codice del programma sostituite i due simboli rispettivamente con lo zero e l'uno, l'output sarà costituito dai numeri da 0 a 63 in notazione binaria.
Non mi soffermo sui dettagli del codice. Per chi conosce Java non sarà difficile orientarsi tra le istruzioni. Chi non lo conosce non si perderà granché: un programma è molto meno importante dell'algoritmo di cui esso rappresenta la traduzione in uno specifico linguaggio. E dell'algoritmo che crea queste combinazioni abbiamo già discusso abbastanza nelle prime due parti: se ne parlassi ancora diventerei davvero noioso.

Come ho cercato di dimostrare in questi post, i rapporti tra l'I Ching e la matematica sono molto stretti, e numerosi articoli e libri sono stati scritti per esplorare questo connubio: è davvero sorprendente constatare quanto questo antichissimo testo sia intriso di matematica a tutti i livelli.
Sempre Gardner racconta che nel 1934, in un libro scritto da un certo Z.D. Sung, venne proposto un modo interessante per associare gli 8 trigrammi agli angoli di un cubo.

Notiamo che in questa figura viene utilizzata una convenzione opposta a quella che avevamo fin qui proposto: alla linea intera è infatti associato lo zero, e a quella spezzata è associato l'uno. Ma si tratta appunto di una semplice convenzione: l'una o l'altra sono ugualmente valide.
Ciò che conta è che alle 3 dimensioni del cubo corrispondono le cifre di un numero binario di 3 cifre: ad esempio all'asse X corrisponde la terza cifra, quella più a sinistra.
Poiché si tratta di cifre appunto binarie, esse possono assumere solo due valori. Ad esempio, se ci spostiamo nella direzione dell'asse X, la terza cifra passa dal valore 0 al valore 1.
Notate anche che i trigrammi reciprocamente complementari sono disposti agli angoli diametralmente opposti del cubo: ad esempio il trigramma costituito da tre linee intere, associato all'angolo del cubo etichettato con il numero 111, si trova nella posizione opposta al trigramma dalle tre linee spezzate, cioè all'angolo del cubo contraddistinto dal numero 000.

D'accordo, abbiamo imparato che un cubo può dare ospitalità agli otto trigrammi. E se volessimo fare altrettanto con combinazioni più lunghe, ad esempio tetragrammi? Il principio è del tutto analogo. Se un cubo, che è una figura tridimensionale, è adatto a rappresentare combinazioni di tre linee (o bit), allora per raffigurare sequenze di 4 cifre binarie abbiamo bisogno di un cubo nello spazio a 4 dimensioni, cioè di un ipercubo.

Se potessimo immaginare una simile figura, scopriremmo che i suoi angoli sono 16, esattamente come le possibili combinazioni di 4 bit.
Nel 1954, il grande pittore spagnolo Salvador Dalí realizzò un dipinto che raffigura una crocifissione, intitolato "Corpus Hypercubus" (vedi figura a lato).
Nel dipinto, Cristo non appare inchiodato ad una tradizionale croce, ma sospeso in aria e come appoggiato ad una strana struttura che vuole rappresentare lo "sviluppo" tridimensionale di un ipercubo a quattro dimensioni, così come un normale cubo può essere sviluppato su un piano nel modo raffigurato qui sotto.

Passando da 4 a 6 dimensioni, il cubo diventa un iper-iper-iper-cubo, con ben 64 angoli, che possono essere utilizzati per ospitare tutti i 64 esagrammi dell'I Ching.



Anche se è al di fuori delle nostre possibilità immaginare, anche lontanamente, una simile mostruosità geometrica, possiamo tuttavia provare a figurarci di spostarci da un iper-iper-iper-angolo all'altro di questo iper-iper-iper-cubo, muovendoci sui suoi iper-iper-iper-spigoli, così come possiamo fare con il normale cubo dei trigrammi di Z.D. Sung. Il nostro spostamento corrisponde al passaggio da un esagramma ad un altro, che differisce dal primo per una sola delle sue 6 cifre binarie: esattamente ciò che accade quando, interrogando l'oracolo cinese, viene sorteggiato un esagramma con una linea "mutante".
Che cosa intendiamo per linea mutante? Ogni linea dell'I Ching, indipendentemente dal fatto che sia intera o spezzata, può essere fissa oppure mutante. In quest'ultimo caso essa tende al suo opposto: in altri termini, se è intera, essa "tende" ad una linea spezzata, e viceversa. Un esagramma che contenga una linea mutante, di conseguenza, "tende" a trasformarsi in un altro esagramma che differisce dal primo per una sola delle 6 linee.
Ovviamente, quando l'oracolo risponde ad un nostro quesito proponendoci un esagramma, questo potrebbe presentare soltanto linee fisse, oppure una sola mutante, ma anche più d'una: allora l'esagramma tende ad un altro esagramma con più di una linea invertita rispetto al primo esagramma. In questo caso è come se ci si muovesse sull'iper-iper-iper-cubo su attraversando più di un iper-iper-iper-spigolo, cioè facendo variare più di una cifra binaria.

Se volessimo rappresentare sull'albero di Shao Yung un analogo tipo di passaggio da un esagramma con linee mutanti agli esagrammi "destinazione", dovremmo progettare spostamenti un po' più complicati. Lascio ai miei lettori l'ingrato (ma non troppo) compito di capire come funzionano questi "viaggi arborei".

Se in ogni esagramma ognuna delle 6 linee può mutare oppure no, non è difficile calcolare il numero degli esagrammi diversi che possono essere "raggiunti": è ovviamente 26 = 64. Questo significa che attraverso il mutamento delle linee possiamo passare da un esagramma ad uno qualsiasi degli altri esagrammi, oppure restare nello stesso esagramma (se nessuna linea è mutante).
Se però ci limitiamo a considerare il caso in cui una e una sola delle sei linee muta, allora gli esagrammi "raggiungibili" sono soltanto 6, uno per ogni linea. Sulla base di questa limitazione, il testo classico dell'I Ching si riferisce spesso ad una "catena" di esagrammi, in cui la linea che muta sale di una posizione esagramma dopo esagramma. Partendo, ad esempio, dall'esagramma 1 che corrisponde a sei linee yang, cioè intere, e facendo mutare la sua linea inferiore, otteniamo l'esagramma 44, che ha la prima linea spezzata e le altre intere.

Apro qui una parentesi, per puntualizzare un fatto importante. Abbiamo visto come l'ordinamento "naturale" degli esagrammi non può che essere quello legato alla rappresentazione "binaria" di Shao Yung, che poi corrisponde esattamente a quello che esce dal programmino proposto all'inizio di questo post; sfortunatamente, però, questa sequenza non è la stessa adottata dall'I Ching, il quale, infatti, elenca gli esagrammi in un ordine "strano", apparentemente casuale e probabilmente privo di una regolarità e di un significato matematico.
E' un vero peccato! Ma tant'è: dobbiamo farcene una ragione. Se adottiamo la convenzione che interpreta la linea intera come uno e le spezzata come zero, e che associa la prima linea dell'esagramma, cioè quella più in basso, alla cifra meno significativa del numero binario, allora l'esagramma 1, ad esempio, non corrisponde alla rappresentazione binaria del numero 1, ma a quella del numero 63, e l'esagramma 44 corrisponde al numero 62.

Ma torniamo alla nostra "catena" di esagrammi. L'esagramma 1 viene associato al mese di maggio, quindi alla primavera inoltrata, in cui siamo adesso: è questo, nella concezione cinese, il periodo dell'anno più pienamente vicino al principio yang. Nell'esagramma 44, invece, la presenza della prima linea spezzata viene interpretata come l'inizio della penetrazione del principio yin, che si manifesta nel mese di giugno. Potrebbe sembrare naturale fare coincidere questo periodo dell'anno, in cui si compie il solstizio estivo, con la fase di yang estremo (per così dire il principio "estivo"), rimandando al mese successivo l'inizio dell'entrata dello yin (il principio "invernale"); invece, in perfetto accordo con la visione cosmica taoista, è proprio nel mese del solstizio d'estate che, paradossalmente, comincia a farsi sentire l'inverno, un po' come nel simbolo del Taijitu la parte yang (bianca) più "piena" contiene già in sè un seme di principio yin (nero).
Proseguendo il ciclo dei mutamenti, l'esagramma 44 si trasforma nell'esagramma 33, costituito dalle prime due linee spezzate e dalle successive quattro intere: esso è associato al mese di luglio. E così via, attraversando di seguito gli esagrammi 12 (agosto), 20 (settembre), 23 (ottobre), 2 (novembre).
Quest'ultimo è formato da sei linee spezzate. Rappresenta il culmine del principio yin, che precede di un mese il solstizio invernale. Da questo esagramma in poi, si ricomincia a far mutare le linee partendo da quella più in basso.
Ecco allora l'esagramma 24, nel quale la prima linea è yang e tutte le altre sono yin: è facile comprendere, a questo punto, che si tratta dell'esagramma speculare rispetto al 44. Nell'esagramma 24, legato al periodo del solstizio invernale, il principio yang, estivo, torna a fare sentire la propria timida influenza (ecco perché l'esagramma è associato, nell'interpretazione dell' I Ching, al "Ritorno"); nel corso dei mesi successivi questa crescerà gradualmente, attraversando uno alla volta gli esagrammi 19 (gennaio), 11 (febbraio), 34 (marzo), 43 (aprile) e alla fine di nuovo l'esagramma 1, corrispondente al mese di maggio.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per comprendere il significato dei versi di Syd Barrett nel brano "Chapter 24". Prima di tutto, a quale esagramma dell'I Ching faceva riferimento il Pifferaio? Ovvio, all'esagramma n. 24: il "Ritorno".

Consultando una qualsiasi edizione dell'I Ching nella sezione dedicata a questo esagramma, troviamo frasi del tipo:

Sentenza: Il Ritorno. Riuscita. Uscire e rientrare senza male. Amici arrivano. Nessuna sfortuna. La stessa è la via dell'andare e del tornare e al settimo giorno viene il ritorno. Propizio quando c'è un luogo in cui andare.
Immagine: Il Tuono sotto la Terra: questa è l'immagine del Ritorno. Ispirandosi ad essa, gli antichi Re nel giorno del solstizio invernale facevano chiudere le porte della città, impedendo l'ingresso ai mercanti e agli stranieri, mentre i sovrani quel giorno non ispezionavano i lori territori.


La spiegazione fornita dal testo dell'I Ching fa riferimento al già descritto ciclo semestrale che parte dall'esagramma 44 (primo del ciclo) e, mutando una linea alla volta, giunge all'esagramma 2 (sesto del ciclo), associato all'oscurità yin del mese di novembre.

A movement is accomplished in six stages

(Un movimento si compie in sei stadi)


Il mutamento di quest'ultimo esagramma genera il settimo esagramma del ciclo, appunto l'esagramma 24, il "Ritorno", nel quale una giovane luce yang fa capolino anticipando il prossimo avvento delle stagioni calde:

...And the seventh brings return.
The seven is the number of the young light

(...E il settimo riconduce al principio.
Il sette è il numero della luce giovane)


E' interessante notare che l'esagramma che precede il 24, e che rappresenta l'oscurità yin del mese di novembre, è l'esagramma 2. Nella nostra rappresentazione binaria "naturale", esso codifica il numero 0, mentre l'esagramma 24 corrisponde, come già detto, al numero 1. Barrett esprime perfettamente questo fatto con il verso

It forms when darkness is increased by one

(Si forma quando l'oscurità è aumentata di uno)



I successivi versi sono:

Change returns success
Going and coming without error
Action brings good fortune
Sunset

The time is with the month of winter solstice
When the change is due to come
Thunder in the other course of heaven
Things cannot be destroyed once and for all
Change returns success
Going and coming without error
Action brings good fortune
Sunset, sunrise

(Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto.

Il tempo è quello del mese del solstizio invernale
Quando il cambiamento è destinato ad avvenire.
Tuono nell'altra rotta del cielo
Le cose non si distruggono una volta per tutte.
Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto, alba.)


e si riferiscono ad aspetti legati all'interpretazione divinatoria dell'esagramma, che a noi interessa meno. Da notare però il corretto riferimento al periodo del solstizio invernale.
Finisce qui questa avventura all'interno delle meraviglie matematiche dell'I Ching. Ringrazio il Pifferaio, Syd Barrett per avermi guidato in questo mondo misterioso e fatato: senza di lui non sarei riuscito a orientarmi, e mi sarei perso nella selva oscura degli esagrammi.

domenica 8 maggio 2011

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 2

Nella prima parte del post ho tracciato una linea immaginaria (e forse improbabile) che congiunge il fondatore dei Pink Floyd, Syd Barrett, pifferaio alle porte dell'oracolo, e il fondatore dell'analisi matematica, Gottfried Wilhelm Leibniz, anche lui, e molto prima di Barrett, folgorato sulla via dell'I Ching.
In realtà il fascino di questo antichissimo libro, certamente tra i più celebri e importanti della storia della letteratura mondiale, ha conquistato intellettuali e artisti di ogni epoca.

Tra questi va ricordato lo psichiatra svizzero Carl Gustav Jung (nella foto accanto), continuatore e poi oppositore della teoria di Sigmund Freud. Jung scrisse tra l'altro una celebre prefazione alla versione inglese dell'I Ching, che ancora oggi troviamo in molte edizioni del libro. L'opera di divulgazione di Jung rese famoso in Occidente il testo sapienziale cinese, e legò la sua interpretazione alle sue teorie sulla sincronicità.
Interpretazione, appunto. Fin qui ho parlato dell'I Ching in termini matematici, ma non del suo significato divinatorio. Come si interroga il Libro? In estrema sintesi, il procedimento canonico consiste nel porre un quesito all'oracolo, il quale risponderà indicando uno dei 64 esagrammi: le tecniche utilizzate per sorteggiare l'esagramma fanno uso di lanci di monete oppure di estrazioni di steli di achillea.
I testi associati all'esagramma prescelto dovranno quindi essere interpretati per trarne la risposta al quesito. Ma non è nemmeno di questo che voglio parlarvi.
Si diceva della fortuna che l'I Ching riscosse in Occidente a partire dallo scorso secolo. Ma tutte le cose divenute molte famose, si sa, possono essere soltanto amate o odiate:

I don't believe in magic.
I don't believe in I Ching.
I don't believe in bible.
I don't believe in tarot.

(John Lennon, "God", 1970)

Nonostante le diffidenze lennoniane sul Libro dei Mutamenti, pare che il suo ex collega George Harrison, noto cultore delle culture orientali, si fosse ispirato all'I Ching, pochi anni prima, nel comporre il testo della celebre “While My Guitar Gently Weeps”.
Più sofisticato e strutturato fu il progetto che il compositore statunitense John Cage (nella foto sotto) condusse a partire dal 1951: Cage realizzò diverse composizioni lasciandosi guidare dall'aleatorietà dell'I Ching, utilizzato come oracolo.
Torneremo in futuri post sulle bizzarre tecniche compositive di Cage basate su criteri combinatori.
Più recentemente, il musicista danese Per Nørgård, famoso per la colonna sonora del film "Il pranzo di Babette", nel 1982 dedicò all’I Ching una sua composizione per percussioni; solo due anni fa Vittorio Nocenzi, fondatore e tastierista del Banco del Mutuo Soccorso, ha pubblicato un intero disco di pezzi pianistici ispirati ad altrettanti esagrammi dell'I Ching.

Anche lo scrittore di fantascienza Philip K. Dick fu conquistato dal mistero del Libro dei Mutamenti: i personaggi della sua opera più famosa, "La svastica del sole", parlano spesso dell'I Ching e ne fanno continuamente uso; pare che lo stesso Dick avesse interrogato l'oracolo per compiere alcune fondamentali scelte narrative durante la stesura del romanzo. Tra l'altro il capolavoro di Dick nasconde una struttura che definirei ricorsiva, o gödeliana, ma questa è un'altra storia (materiale per un futuro post).

Tutto questo per sfiorare solo in superficie i legami tra l'antico testo cinese, la musica, la letteratura. Ma questo è soprattutto un blog di matematica, quindi ancora una volta mi richiamo all'ordine per non divagare, e ritorno a parlare del buon Leibniz (nell'immagine sotto).
Fu un gesuita missionario, padre Joachim Bouvet, di ritorno da uno dei suoi viaggi in Cina, a mostrare al grande matematico quegli antichi e strani disegni che noi chiamiamo esagrammi.
A Leibniz le linee intere e spezzate che componevano gli esagrammi apparvero subito per quello che effettivamente sono: cifre binarie. La linea spezzata, ad esempio, poteva essere assimilata allo zero, e quella intera all'uno.
Leibniz stava già studiando la possibilità di costruire sistemi di numerazione non decimali, e la geniale intuizione celata dietro quelle antiche linee lo affascinò all'istante.
Che cosa c'è di meraviglioso nella numerazione binaria? Il fatto che con due soli principi fondamentali (lo yang e lo yin, per usare la terminologia cinese) si riesce ad esprimere qualsiasi cosa.
Il significato filosofico di questa possibilità è molto profondo. Nella logica classica aristotelica, il principio di non contraddizione e il principio del terzo escluso sembrano suggerire una visione "binaria" del mondo, in cui un'affermazione può essere o vera o falsa, e non può essere entrambe le cose né può darsi una terza possibilità. La numerazione binaria, tuttavia, va ben oltre queste regole logiche, in quanto non ci si ferma ai due principi fondamentali ("yang" e "yin", o, come direbbe Aristotele, "vero" e "falso"): attraverso il procedimento ricorsivo introdotto nella prima parte di questo post, i due "semi" iniziali, mescolandosi tra di loro a più livelli, fanno germogliare un universo di combinazioni potenzialmente infinito, e certamente molto più espressivo e sfumato del rigido dualismo logico aristotelico.
Nella visione cosmogonica suggerita dall'I Ching, dal caos primordiale, dall’universo "vuoto e senza forma", simboleggiato dal simbolo del Taijitu, deriva il dualismo dello yang e dello yin; quindi, per successive ramificazioni binarie, tutte le infinite sfumature permesse dalle combinazioni possibili. Dopo soli sei livelli di ricorsione, abbiamo già 26 = 64 esagrammi, sufficienti a descrivere un universo divinatorio estremamente complesso ed espressivo, e di riflettere la complessità del mondo reale (che non è certo soltanto yang o soltanto yin).

Passando dall'ambito filosofico alla prospettiva matematica, l'essenza del discorso non varia, ed è esattamente questo il senso della numerazione binaria, così come quello di tutti i sistemi di numerazione.
Questi, infatti, si fanno carico di esprimere tutte le quantità possibili utilizzando un alfabeto limitato di simboli, appunto due nel caso binario, dieci nel caso decimale, e così via.
Il modo in cui i simboli si combinano è precisamente lo stesso meccanismo usato nell'I Ching per creare gli esagrammi.

Come abbiamo visto nella prima parte di questo post, le ramificazioni binarie ripetute ricorsivamente per sei livelli danno origine agli esagrammi, cioè alle combinazioni di sei linee (intere o spezzate), cioè, per usare una terminologia informatica, a stringhe di sei bit.
In un articolo del 1974, il grande Martin Gardner, indimenticato e non raggiunto maestro di tutti i divulgatori matematici, racconta che intorno all'anno Mille alcuni studiosi cinesi, tra i quali il pensatore Shao Yung, intuirono l'idea dell'albero binario e la applicarono agli esagrammi dell'I Ching.
Ripercorrendo, livello dopo livello, l'algoritmo ricorsivo descritto nella prima parte, si ottiene un diagramma come quello indicato nella seguente figura.


In questo diagramma la radice dell'albero è in basso, nella striscia bianca che rappresenta il "livello 0" e che corrisponde al Taijitu (o T'ai Chi). Da questo caos indifferenziato germogliano, al livello 1, i principi primi dello yin (nero) e dello yang (bianco). Al livello 2 lo yin di suddivide a sua volta in yin e yang, e così fa lo yang. Una volta completati sei livelli di questa suddivisione binaria, lo schema rivela automaticamente la struttura di tutti i 64 esagrammi. Come?
Osservate il sesto ed ultimo livello: è suddiviso in 64 caselle. Se immaginiamo di dividere l'intero schema (dal livello 1 al livello 6) in 64 colonne, e di rimpiazzare in ciascuna parte il nero con la una linea spezzata ed il bianco con una linea intera, le colonne rappresentano i 64 esagrammi!
Ma non è tutto. Se ci fermiamo a 5 livelli, osserviamo che al quinto livello ci sono 32 caselle: se consideriamo lo schema che si ottiene considerando i livelli dal primo al quinto, e lo suddividiamo nelle 32 colonne, esse corrispondono alle 32 combinazioni costruibili con 5 linee (potremmo forse chiamarli pentagrammi?). E così via, analogamente, per i 16 "tetragrammi", per gli 8 trigrammi, per i 4 bigrammi, e, limitandoci al primo livello, per i due principi cosmici dello yin e dello yang.

Se sostituiamo uno zero ad ogni linea spezzata, e un uno ad ogni linea intera, gli esagrammi nell'ordine di Shao Yung si trasformano in una sequenza di stringhe binarie: 000000, 000001, 000010, 000011, ..., 111111.
Che sequenza è? Ovviamente si tratta dei numeri da 0 a 64 espressi in notazione binaria!
Dato che, come abbiamo visto, il procedimento per ottenere queste combinazioni di bit è, nella sua essenza, ricorsivo, non dovremmo stupirci del fatto che possiamo scrivere una procedura di natura ricorsiva che genera tutti i numeri da 1 a 64 come stringhe binarie.
Appuntamento allora alla terza ed ultima parte del post, per vedere un esempio di tale procedura, e per continuare l'esplorazione nel meraviglioso mondo matematico dell'I Ching: senza dimenticare i misteriosi versi di Syd Barrett, che finalmente troveranno una spiegazione.

martedì 3 maggio 2011

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 1

A quanto pare, tra i post che ho pubblicato su questo blog, quello che ha riscosso i maggiori favori è stato quello sulla "Matematica di Ummagumma".
Per ringraziare i miei lettori dei complimenti e degli apprezzamenti su questo articolo, vorrei ancora una volta parlare di matematica e di informatica partendo da uno spunto "floydiano".
Il primo disco dei Pink Floyd uscì nel 1967, e venne realizzato nei mitici studi londinesi di Abbey Road, negli stessi giorni in cui i Beatles registravano l'epocale "Sgt. Pepper's Lonely Hearts Club Band".
Il suggestivo titolo, "The piper at the gates of dawn" ("Il pifferaio alle porte dell'alba"), fu copiato da quello di un capitolo del classico della letteratura per ragazzi "Il vento tra i salici", di Kenneth Grahame.

Quest'opera di esordio del famoso gruppo inglese fu quasi un lavoro personale di Syd Barrett. E' un esempio emblematico del rock psichedelico, pieno di sperimentazioni musicali e sonore, testi grotteschi e bizzarri, i cui protagonisti sono gnomi, biciclette, stelle e pianeti, spaventapasseri.
Tra le canzoni incluse nel disco, una delle meno note è "Chapter 24", il cui testo inizia con versi apparentemente molto misteriosi:








A movement is accomplished in six stages,
And the seventh brings return.
The seven is the number of the young light,
It forms when darkness is increased by one.
Change returns success,
Going and coming without error.
Action brings good fortune.
Sunset.


Un movimento si compie in sei stadi,
E il settimo riconduce al principio.
Il sette è il numero della luce giovane,
Si forma quando l'oscurità è aumentata di uno.
Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto.


A cosa diavolo si riferiscono questi versi ermetici di Barrett?
Sarebbe dura, probabilmente impossibile, orientarsi tra queste parole se non fosse noto che la canzone trae ispirazione da uno dei libri più antichi della storia del pensiero cinese, noto come "I Ching", o "Libro dei Mutamenti".
Nel corpus dei testi classici della saggezza compilato da Confucio, l'I Ching rappresenta il testo più antico.
E' formato da una prima parte "classica" e da un "commentario". Entrambe le sezioni sono suddivise in 64 capitoli, uno per ciascuno dei possibili esagrammi.
Un esagramma è una combinazione di sei linee, ciascuna delle quali può essere continua (e legata al principio yang) oppure spezzata (e legata al principio yin). Disponendo di due tipi di linea, ci sono 26 = 64 possibili combinazioni di sei linee: ecco spiegati i sessantaquattro esagrammi descritti nell'I Ching.

Nell'antica filosofia cinese, la contrapposizione tra lo yang e lo yin riflette la dialettica degli opposti che si completano reciprocamente e che si trasformano l'uno nell'altro, in una alternanza naturale ed eterna: dialettica che si riscontra, ad esempio, nelle contrapposizioni giorno - notte, maschio - femmina, sole - luna, caldo - freddo, secco - umido, estate - inverno, sud - nord, est - ovest, cielo - terra, attività - passività, movimento - riposo, durezza - morbidezza, forza - cedevolezza, e così via.
L'antico simbolo del Taijitu, centrale in tutta la filosofia e la cultura dell'Estremo Oriente, vuole proprio raffigurare la contrapposizione, la complementarietà e la reciproca trasformazione tra i due principi yang e yin.

Il principio yang, associato all'idea di forza, viene anche raffigurato, come già detto, dalla linea continua, mentre il principio yin, legato alla cedevolezza, è simboleggiato dalla linea interrotta, o spezzata.
Combinando due linee tra di loro, si possono creare 22 = 4 combinazioni, che possiamo chiamare bigrammi, e che nella tradizione cinese sono associate alle quattro fasi del ciclo delle stagioni, dei punti cardinali e dei momenti della giornata.
Guardiamo la figura sotto, in cui, seguendo il senso orario, si completa il ciclo formato dai quattro bigrammi: ciascuno di essi trova una propria corrispondenza con le quattro aree del Taijitu.
Ad esempio, combinando insieme una linea yang e una linea yin (la convenzione prevede di partire dal basso e salire verso l'alto), si ottiene il bigramma legato alla primavera, al mattino, all'est, cioè allo yang minore e al concetto di sorgente, di inizio; la fase successiva è associata alla combinazione di due linee yang, che simboleggiano l'estate, il mezzogiorno, il sud, cioè lo yang estremo e la crescita; ad esso segue il bigramma formato dalla sequenza yin-yang, che si associa all'autunno, alla sera, all'ovest, cioè allo yin minore e alla raccolta; e infine il bigramma formato da due linee yin, simbolo dell'inverno, della notte, del nord, cioè dello yin estremo e della prova da affrontare.

E mettendo insieme tre linee?
Si ottengono i trigrammi, che sono, ovviamente, 23 = 8.


I trigrammi vengono messi in relazione, secondo la filosofia cinese, con gli otto principi cosmici simboleggiati dal Tuono, dal Fuoco, dallo Stagno, dal Cielo, dal Vento, dall'Acqua, dal Monte e dalla Terra.
La mitologia cinese narra di un mitico re Fu Hsi, vissuto intorno al 2900 a.C., dotato di quattro occhi e di una coda di serpente:a questo sovrano sarebbe stato rivelato, in modo soprannaturale, il significato profondo dei trigrammi.
Secondo l'interpretazione di Fu Hsi, i trigrammi vengono disposti in un ordine ciclico, strutturato in modo tale che trigrammi reciprocamente complementari (ad esempio il Cielo e la Terra, oppure il Tuono e il Vento) si trovino in posizioni opposte.
La complementarietà dei trigrammi ha un significato metafisico e simbolico, ma anche matematico: ogni trigramma si trasforma nel suo complementare sostituendo le linee yang con linee yin, e viceversa.

La disposizione di Fu Hsi viene spesso chiamata "cielo anteriore", oppure "disposizione primaria". In Estremo Oriente viene considerata come un simbolo di buona fortuna, e viene spesso associata con il simbolo del Taijitu.

Passando dalle linee yang e yin ai quattro bigrammi, e da questi agli otto trigrammi, abbiamo compiuto due passi tra loro analoghi: abbiamo essenzialmente moltiplicato per due, cioè abbiamo duplicato, ramificato.
Partendo dai trigrammi potremmo ripetere lo stesso procedimento, in modo ricorsivo (ricordate Ummagumma e le matrioske?), per ottenere le 16 combinazioni di 4 linee, le 32 combinazioni di 5 linee, e infine i 64 esagrammi dell'I Ching.
Ogni esagramma può essere visto anche come una coppia di trigrammi: d'altra parte 8x8 = 64.
Ma seguendo l'interpretazione ricorsiva di cui parlavo prima, non è difficile immaginare un albero la cui radice rappresenta il principio cosmico unitario del Taijitu:
1) da questo tronco di dipartono i due rami principali dello yang e dello yin, cioè della linea intera e della linea spezzata;
2) da ciascuno di questi rami partono altri due rami, che danno origine ai quattro trigrammi del ciclo delle stagioni;
3) al terzo livello hanno origine, per ulteriore biforcazione, gli otto trigrammi di Fu Hsi;
e così via, per arrivare ai 64 esagrammi e, se vogliamo, anche oltre, indefinitamente, creando combinazioni formate da un numero qualsiasi di linee.
Quella che abbiamo descritto è una struttura molto familiare agli informatici, che viene chiamata albero binario.
Com'è possibile? I cinesi di 3000 anni fa avevano già compreso l'essenza della numerazione binaria? Bè, pare proprio di sì.
Non è un caso che nel 1679 il filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz, nel suo trattato "De Progressione Dyadica", descrisse il sistema di numerazione binaria, oggi alla base di tutta l'informatica, citando esplicitamente l'I Ching come sua fonte di ispirazione.
Successivamente fu George Boole, verso la metà dell'Ottocento, a riprendere gli studi di Leibniz, e a costruire in modo strutturato la logica binaria, oggi chiamata anche, in suo onore, booleana.
Nelle prossime parti di questo post (che si preannuncia articolato e ricco di sorprese), ritorneremo agli esagrammi, agli alberi binari, e soprattutto ai misteriosi versi di Syd Barrett, pifferaio alle porte dell'oracolo.