domenica 27 febbraio 2011

Come ti decifro i Coldplay


Quando nel giugno del 2005 gli scaffali dei negozi di dischi si riempirono con le copie del nuovo album dei Coldplay, gli appassionati rimasero sorpresi e forse sconcertati da due caratteristiche del disco: il titolo e la copertina.
"X&Y" era sicuramente un titolo enigmatico, ma lo era ancora di più l'immagine di copertina, costituita da misteriosi rettangoli colorati disposti in una configurazione apparentemente insensata.
In realtà, l'immagine non conteneva misteriosi messaggi né clamorose rivelazioni in codice. Semplicemente, le due caratteristiche sconcertanti del disco contenevano la stessa informazione: detto altrimenti, i rettangoli colorati della copertina, decifrate secondo un codice in uso parecchi decenni fa, corrispondevano, in teoria, al titolo "X&Y".
Ho detto "in teoria", perché qualcosa dev'essere andato storto.
Ma andiamo con ordine.
Guardiamo bene la copertina del disco: lasciamo perdere i colori, che non sono essenziali per decifrare il messaggio, e cerchiamo di ridisegnare il reticolo raffigurando in grigio le caselle "piene". Otteniamo una specie di matrice con quattro colonne e cinque righe.


Il codice al quale accennavo poco fa è il cosiddetto "codice Baudot": sviluppato nel 1874, fu utilizzato nelle telescriventi per molti decenni, per essere poi soppiantato dai sistemi EBCDIC e ASCII.
Il codice Baudot venne inventato molti anni dopo il codice Morse. Mentre questo utilizzava cinque diversi simboli base, e cioè il punto, la linea, l'intervallo breve (tra ogni lettera), l'intervallo medio (tra parole) e l'intervallo lungo (tra frasi), il codice Baudot introduceva una semplificazione importante: i simboli utilizzati erano soltanto due, cosa che rendeva binario il sistema di codifica.
Ogni carattere veniva codificato nel codice Baudot con una sequenza di 5 bit, cosa che consentiva all'operatore di utilizzare una tastiera con cinque tasti come quella illustrata nella figura.


Utilizzando soltanto 5 bit per codificare un carattere, sarebbe stato possibile rappresentare soltanto 2 alla 5, cioè 32 caratteri in totale. Un po' pochi, non vi sembra? Le lettere sono già 26, e se aggiungiamo le 10 cifre da 0 a 9 siamo già a quota 36. E non abbiamo nemmeno preso in considerazione i simboli di interpunzione o altri simboli speciali. Per questo Baudot, senza dover aumentare i bit per ogni carattere, ebbe l'idea di suddividere i caratteri rappresentati in due insiemi diversi di caratteri: le lettere e le figure. Le 26 lettere da A a Z appartenevano ovviamente al primo insieme, mentre nel secondo ricadevano tutti gli altri caratteri, tra cui le cifre. Normalmente i caratteri venivano interpretati come lettere, e per indicare che il successivo carattere doveva essere invece interpretato come figura, veniva premesso il carattere speciale "11011" (indicando con "1" il simbolo "pieno" e con "0" il simbolo "vuoto").
Ogni combinazione di 5 bit, ad eccezione dei due caratteri speciali di "passaggio", poteva essere interpretata sia come lettera sia come figura, per cui i caratteri rappresentabili erano in tutto 60.


Alla luce di queste istruzioni, come si decifra il messaggio nella copertina del disco dei Coldplay? Se utilizzate bene la tabella di decodifica, otterrete come risultato "X9Y".
Ohibò, com'è possibile? Ci aspettavamo, ovviamente, "X&Y", cioè il titolo del disco!
Bè, ve l'avevo detto che qualcosa dev'essere andato storto.
Il carattere "&" è codificato, nel sistema Baudot, dalla sequenza "01011", mentre nel reticolo della copertina troviamo la sequenza "00011", che corrisponde a "9" (dato che il secondo carattere del messaggio è "11011", che precede un carattere interpretato come figura). Forse è stato commesso un banale errore di un bit nella preparazione dell'immagine di copertina; o chissà, forse l'errore è stato voluto, per introdurre un motivo in più di discussione tra i fan più "matematici".

martedì 15 febbraio 2011

All you need is Fourier


Tutti gli appassionati dei Beatles (io compreso) sanno che una delle canzoni più famose del gruppo, "A Hard Day's Night", si apre con uno strano accordo, dissonante e molto attraente. Come fecero i Beatles a ottenerlo? In altre parole, quali note suonarono per creare quella bizzarra armonia?
Pare infatti che, per quanto ci si provi, non sia affatto facile riprodurre alla perfezione l'effetto armonico che scaturì all'inizio di quel brano del 1964. Gli spartiti propongono almeno quattro varianti ufficiali, ma nessuna sembra essere soddisfacente quanto l'originale.
Certo, ai più sembrerà assurdo che qualcuno abbia dedicato tempo ed energie a questo quesito, diciamolo pure, piuttosto ozioso. Eppure si tratta di uno dei grandi "misteri" del rock 'n' roll, sul quale sono stati versati fiumi di inchiostro.
Va bene, sarà pure così, ma la matematica cosa c'entra?
C'entra eccome, al punto che un professore di matematica della Dalhousie University in Canada, tale Jason I. Brown, ha addirittura scritto, qualche anno fa, un articolo molto tecnico per dirimere l'annosa questione.


L'approccio scelto da Brown fa uso di una trasformata di Fourier: l'onda sonora corrispondente al frammento musicale viene analizzata e scomposta in una somma di infiniti termini, ciascuno dei quali rappresenta un'onda perfettamente sinusoidale (un suono puro come quello del diapason), con una sua frequenza propria e una propria ampiezza (o intensità). Ognuno di questi termini corrisponde a quello che i musicisti chiamano "armonica": quello caratterizzato dalla frequenza più bassa è l'armonica fondamentale, mentre gli altri rappresentano le armoniche secondarie, a frequenze multiple della fondamentale, sempre più trascurabili mano a mano che la frequenza cresce, in quanto l'ampiezza diminuisce progressivamente fino a spegnersi.


Se questa faccenda della trasformata di Fourier può apparirci arida e freddamente matematica, non dimentichiamo mai che è alla base di tutta l'armonia: la magia degli accordi e tutta l'arte del contrappunto, della fuga e della polifonia si reggono su questi concetti matematici.
Ha ragione il professor Brown quando afferma che "La musica è essenzialmente matematica". Così come aveva ragione George Gershwin quando disse che la musica è una scienza emozionale.
Ma sto divagando. Brown ha utilizzato, più precisamente, una trasformata discreta di Fourier (DFT, Discrete Fourier Transform): ha infatti campionato il segnale beatlesiano originario, ottenendo una successione di valori numerici, decine di migliaia al secondo, e poi ha applicato la trasformazione per convertire questa successione in un insieme di funzioni semplici, ognuna corrispondente ad una singola frequenza, cioè ad una nota musicale ben precisa.
La DFT è molto popolare anche tra gli informatici (a proposito di collegamenti tra musica e informatica...) perché uno degli algoritmi più celebri e importanti del Novecento è quello proposto nel 1965 da James Cooley e John Tukey per calcolare appunto la DFT (pare che l'algoritmo di Cooley e Tukey, in realtà, non fosse del tutto originale perché basato su una vecchia idea di Carl Friedrich Gauss: già, sempre lui).

Insomma, a quale conclusione ha portato lo studio del professor Brown?
Sulle prime, la ricerca sembrava essersi arenata su un binario morto. Dall'analisi di Fourier effettuata, sembravano uscire infatti troppe note.
Sappiamo che alla registrazione del brano erano presenti George Harrison, con la sua chitarra a 12 corde, John Lennon e la sua chitarra a 6 corde, e Paul McCartney al basso: ma questi strumenti non bastavano a rendere conto di tutte le frequenze rilevate dalla ricerca del professor Brown.
Certo, alcune delle note uscite dall'analisi potevano essere rumore di fondo, ma quali esattamente? Alcuni fatti erano assodati: ad esempio, le note più basse provenivano senz'altro dal basso di McCartney; ogni corda pizzicata da Harrison sulla sua chitarra a 12 corde doveva essere accompagnata dalla corrispondente armonica all'ottava superiore; e così via.


Dopo settimane di tentativi, il professor Brown non era ancora riuscito a spiegare tutte le frequenze: in particolare, restavano alcune armoniche associate ad una nota di Fa, che non poteva essere uscita da nessuno degli strumenti sopra menzionati.
E allora? Chi suonò quel famigerato Fa?
Un giorno Brown ebbe l'idea risolutiva: la nota fantasma deve essere uscita da un pianoforte suonato da George Martin, il cosiddetto "quinto Beatles", produttore del celebre gruppo e autore di indimenticabili arrangiamenti ed orchestrazioni (come in "Yesterday", "Eleanor Rigby" e "Penny Lane").

Mi chiedo però: visto che l'articolo del professor Brown è uscito ormai da diversi anni, nessuno ha ancora pensato di chiedere a George Martin se quel giorno lui si trovasse davvero alla tastiera del pianoforte a registrare con i Beatles, o se invece era in tutt'altre faccende affaccendato?
Ma chi se ne importa, l'importante era parlare un po' di Beatles e di trasformate di Fourier... O no?

lunedì 7 febbraio 2011

San Paolo, i cretesi e Benigni


Nella Lettera a Tito (1,10-16), San Paolo scrive:

Uno dei loro, proprio un loro profeta, già aveva detto: "I Cretesi son sempre bugiardi, bestie malvagie, oziosi ghiottoni”. Questa testimonianza è vera. Perciò correggili con fermezza, perché rimangano nella sana dottrina e non diano più retta a favole giudaiche e a precetti di uomini che rifiutano la verità.

A cosa si riferiva il mio illustre omonimo, folgorato sulla via di Damasco?
Ovvio: al celebre paradosso del mentitore, il classico paradosso logico tradizionalmente attribuito alla figura semi-mitica del filosofo cretese Epimenide, il quale un giorno avrebbe affermato:

Tutti i cretesi sono bugiardi.

Se un cretese ci dicesse che tutti i cretesi sono bugiardi, oltre a sospettare della sanità mentale dell'isolano, per seguirlo saremmo costretti a infilarci in un vicolo logico senza uscita: infatti se fosse vero quel che dice, lo status di mentitore dovrebbe applicarsi anche a lui, e quindi non dovremmo credergli, il che ci porterebbe a ritenere che i cretesi sono tutti bugiardi, e di conseguenza... Aiuto, è proprio un circolo vizioso infinito!

Sul paradosso del mentitore sono stati versati fiumi di inchiostro: oltre ad essere un pallino dei logici (anche per il suo collegamento con il teorema di incompletezza di Gödel), è un cavallo di battaglia dei matematici ricreativi, tra i quali il sempre (giustamente) citato Martin Gardner.

Esistono molte versioni alternative di questo paradosso. Una delle forme classiche è la seguente:

Questa frase è falsa.

Il filosofo francese Jean Buridan, italianizzato in Giovanni Buridano o latinizzato in Iohannes Buridanus, vissuto intorno al 1300, famoso per avere precorso alcuni risultati della fisica moderna, come ad esempio il principio d’inerzia, riformulò il paradosso spezzando la frase in due:

Socrate dice "Platone dice il falso"

Platone dice "Socrate dice il vero"


Prendendo le due frasi separatamente, non troviamo alcun paradosso, ma considerate insieme esse provocano il solito disastro. Se ipotizziamo che Socrate sia sincero, allora Platone mente; ma allora Socrate non dice il vero, e ciò confuta la nostra ipotesi iniziale: Socrate è bugiardo, e quindi Platone è sincero. Ma allora Socrate dice il vero, e così via, in una nuova slavina di contraddizioni. Se partiamo con un’assunzione opposta, cioè che Socrate sia bugiardo, ricadiamo nella stessa catena di antinomie e non possiamo stabilire chi tra Socrate e Platone dice il vero e chi dice il falso.

Un’altra versione famosa del paradosso è quella che lo storico Diogene Laerzio attribuisce al filosofo Eubulide di Mileto, vissuto nel IV secolo a.C. L’affermazione paradossale di Eubulide è sintetizzata in una frase di una sola parola (greca):

ψευδόμενος

cioè "io sto mentendo".
La formulazione di Eubulide è più interessante di quella di Epimenide, sia perché egli focalizza la sua affermazione su di sé, cioè enuncia una frase autoreferenziale, sia perché con l'espressione "sto mentendo" anziché "sono bugiardo", Eubulide non lascia spazio all’eventualità che la frase stessa possa essere vera.
Già, perché quando diciamo che una persona è bugiarda, non intendiamo dire che costui dica sempre bugie appena apre bocca. Ogni tanto, anche un uomo bollato come mentitore una piccola verità la dirà pure, o no?.
Come ha detto una volta Roberto Benigni: "Anche Adolf Hitler o Stalin, un ponte, una strada l'avranno fatta. Anche il Mostro di Firenze l'avrà detto 'buongiorno' a qualcuno qualche volta!"
Concedendo allora che di tanto in tanto anche un bugiardo possa asserire il vero, dovremmo ammettere che l’affermazione del cretese Epimenide può essere veritiera: e in questo caso non si genererebbe alcun paradosso.

Comunque, allineiamoci pure all'interpretazione "severa", in base alla quale un bugiardo è un individuo che non dice mai cose vere, e quindi l'affermazione di Epimenide è inevitabilmente paradossale.
In questa prospettiva, non sappiamo se San Paolo, nel riprendere l'affermazione paradossale di Epimenide, fosse consapevole o meno di riprodurne l'assurdità.
Sarebbe infatti assurdo citare proprio un cretese per dare valore alla propria tesi della inaffidabilità dei cretesi.
Voglio invece credere, anche per una questione di simpatia derivante dall'omonimia, che San Paolo avesse compreso perfettamente il paradosso e che il suo intento fosse in realtà ironico.

mercoledì 2 febbraio 2011

Paradossi elettorali

Oddio, diranno i miei lettori, adesso anche lui si mette a parlare di politica.
No, niente affatto: lungi da me l'idea di snaturare il blog con spericolate deviazioni di argomento.
Tuttavia, per rendere più vivo e chiaro il paradosso elettorale che voglio esporvi, mi riferirò a nomi reali, utilizzandoli comunque senza riferimento alla realtà.
Supponiamo che in un recente sondaggio sia stato chiesto agli italiani di esprimere le proprie preferenze elettorali in uno scenario probabile che vede la presenza di tre blocchi politici, rispettivamente guidati da Berlusconi, Bersani, Casini.
Ad ogni intervistato viene chiesto di mettere in ordine di preferenza i tre candidati alla guida del governo.
Emerge che il 66,66% degli elettori italiani preferisce Berlusconi a Bersani; risulta inoltre che il 66,66% degli italiani preferisce Bersani a Casini.
Sembrerebbe ovvio, a questo punto, concludere che le chance di Casini siano pressoché nulle, e che Berlusconi sia preferito a Casini dalla maggioranza degli italiani.
E' così? Anche se può apparire strano, non è detto.
Supponiamo infatti che un terzo degli intervistati abbia risposto con il seguente ordine di preferenza:
1. Berlusconi;
2. Bersani;
3. Casini.
Un altro terzo ha invece espresso il seguente ordine:
1. Bersani;
2. Casini;
3. Berlusconi.
Il rimanente 33,33% ha fornito le seguenti preferenze:
1. Casini;
2. Berlusconi;
3. Bersani.
Ora, vediamo che, se queste sono state le risposte degli intervistati, effettivamente due terzi (precisamente il primo e il terzo gruppo) preferiscono Berlusconi a Bersani, e altri due terzi (il primo e il secondo gruppo) preferiscono Bersani a Casini.
Tuttavia, vediamo che sempre due terzi degli italiani (rappresentati dal secondo e dal terzo gruppo) preferiscono Casini a Berlusconi, contrariamente alle aspettative dettate dalle prime due indicazioni di preferenza.
Questo paradosso del voto era conosciuto già alla fine del Settecento, e viene di solito associato al nome di Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, noto come marchese di Condorcet.
Condorcet si occupò di politica negli anni della Rivoluzione Francese, ma anche di economia e di matematica.
Il suo paradosso evidenziò la difficoltà di progettare un sistema elettorale ideale: in particolare mostrava che i voti di preferenza, quando esistono almeno tre scelte, possono assumere una configurazione "ciclica", in quanto le preferenze collettive non sono necessariamente transitive. Da ciò consegue che i desideri della maggioranza possono essere contraddittori, cioè in conflitto gli uni con gli altri.
Chissà se i nostri politici conoscono questo curioso e antico paradosso elettorale...