martedì 15 febbraio 2011

All you need is Fourier


Tutti gli appassionati dei Beatles (io compreso) sanno che una delle canzoni più famose del gruppo, "A Hard Day's Night", si apre con uno strano accordo, dissonante e molto attraente. Come fecero i Beatles a ottenerlo? In altre parole, quali note suonarono per creare quella bizzarra armonia?
Pare infatti che, per quanto ci si provi, non sia affatto facile riprodurre alla perfezione l'effetto armonico che scaturì all'inizio di quel brano del 1964. Gli spartiti propongono almeno quattro varianti ufficiali, ma nessuna sembra essere soddisfacente quanto l'originale.
Certo, ai più sembrerà assurdo che qualcuno abbia dedicato tempo ed energie a questo quesito, diciamolo pure, piuttosto ozioso. Eppure si tratta di uno dei grandi "misteri" del rock 'n' roll, sul quale sono stati versati fiumi di inchiostro.
Va bene, sarà pure così, ma la matematica cosa c'entra?
C'entra eccome, al punto che un professore di matematica della Dalhousie University in Canada, tale Jason I. Brown, ha addirittura scritto, qualche anno fa, un articolo molto tecnico per dirimere l'annosa questione.


L'approccio scelto da Brown fa uso di una trasformata di Fourier: l'onda sonora corrispondente al frammento musicale viene analizzata e scomposta in una somma di infiniti termini, ciascuno dei quali rappresenta un'onda perfettamente sinusoidale (un suono puro come quello del diapason), con una sua frequenza propria e una propria ampiezza (o intensità). Ognuno di questi termini corrisponde a quello che i musicisti chiamano "armonica": quello caratterizzato dalla frequenza più bassa è l'armonica fondamentale, mentre gli altri rappresentano le armoniche secondarie, a frequenze multiple della fondamentale, sempre più trascurabili mano a mano che la frequenza cresce, in quanto l'ampiezza diminuisce progressivamente fino a spegnersi.


Se questa faccenda della trasformata di Fourier può apparirci arida e freddamente matematica, non dimentichiamo mai che è alla base di tutta l'armonia: la magia degli accordi e tutta l'arte del contrappunto, della fuga e della polifonia si reggono su questi concetti matematici.
Ha ragione il professor Brown quando afferma che "La musica è essenzialmente matematica". Così come aveva ragione George Gershwin quando disse che la musica è una scienza emozionale.
Ma sto divagando. Brown ha utilizzato, più precisamente, una trasformata discreta di Fourier (DFT, Discrete Fourier Transform): ha infatti campionato il segnale beatlesiano originario, ottenendo una successione di valori numerici, decine di migliaia al secondo, e poi ha applicato la trasformazione per convertire questa successione in un insieme di funzioni semplici, ognuna corrispondente ad una singola frequenza, cioè ad una nota musicale ben precisa.
La DFT è molto popolare anche tra gli informatici (a proposito di collegamenti tra musica e informatica...) perché uno degli algoritmi più celebri e importanti del Novecento è quello proposto nel 1965 da James Cooley e John Tukey per calcolare appunto la DFT (pare che l'algoritmo di Cooley e Tukey, in realtà, non fosse del tutto originale perché basato su una vecchia idea di Carl Friedrich Gauss: già, sempre lui).

Insomma, a quale conclusione ha portato lo studio del professor Brown?
Sulle prime, la ricerca sembrava essersi arenata su un binario morto. Dall'analisi di Fourier effettuata, sembravano uscire infatti troppe note.
Sappiamo che alla registrazione del brano erano presenti George Harrison, con la sua chitarra a 12 corde, John Lennon e la sua chitarra a 6 corde, e Paul McCartney al basso: ma questi strumenti non bastavano a rendere conto di tutte le frequenze rilevate dalla ricerca del professor Brown.
Certo, alcune delle note uscite dall'analisi potevano essere rumore di fondo, ma quali esattamente? Alcuni fatti erano assodati: ad esempio, le note più basse provenivano senz'altro dal basso di McCartney; ogni corda pizzicata da Harrison sulla sua chitarra a 12 corde doveva essere accompagnata dalla corrispondente armonica all'ottava superiore; e così via.


Dopo settimane di tentativi, il professor Brown non era ancora riuscito a spiegare tutte le frequenze: in particolare, restavano alcune armoniche associate ad una nota di Fa, che non poteva essere uscita da nessuno degli strumenti sopra menzionati.
E allora? Chi suonò quel famigerato Fa?
Un giorno Brown ebbe l'idea risolutiva: la nota fantasma deve essere uscita da un pianoforte suonato da George Martin, il cosiddetto "quinto Beatles", produttore del celebre gruppo e autore di indimenticabili arrangiamenti ed orchestrazioni (come in "Yesterday", "Eleanor Rigby" e "Penny Lane").

Mi chiedo però: visto che l'articolo del professor Brown è uscito ormai da diversi anni, nessuno ha ancora pensato di chiedere a George Martin se quel giorno lui si trovasse davvero alla tastiera del pianoforte a registrare con i Beatles, o se invece era in tutt'altre faccende affaccendato?
Ma chi se ne importa, l'importante era parlare un po' di Beatles e di trasformate di Fourier... O no?

5 commenti:

  1. se non ricordo male, GM suonava il piano in _A Hard Day's Night - dovrei avere la versione "Live at the BBC" dove il pezzo di piano è stato brutalmente editato dalla versione in studio :-)

    Quindi probabilmente il fa è il suo.

    (p.s.: nota pistina: nella chitarra a 12 corde, le due più acute sono all'unisono, non all'ottava)

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  2. Credo che le due note separate da un'ottava che Brown si aspettava di trovare nell'analisi spettrale dell'accordo non fossero tanto le due corde del Mi cantino, ma una corda qualsiasi e la sua seconda armonica (che si trova un'ottava sopra). Dico bene?

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  3. Sono arrivato qui tramite Lega Nerd per questo interessante articolo sui Beatles e Fourier (che a questo punto sarà il sesto Beatles!) e già ho letto un'altra decina dei tuoi articoli. Maledizione, un'altra giornata di lavoro che va a farsi benedire! :-)
    Complimenti per lo stile: sono sempre contento di vedere che argomenti tradizionalmente definiti "ostici" possono essere resi comprensibili a chiunque abbia voglia di mettere un minimo in moto il cervello.

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  4. @extendedreality: grazie di cuore, complimenti come i tuoi mi fanno davvero molto molto molto piacere (anche se, distraendoti dal lavoro, mi sento in colpa per avere contribuito a ridurre il PIL del nostro Paese già in crisi :-) )

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  5. Giles Martin (figlio di George) spiega in questo video

    https://www.youtube.com/watch?v=AvxPc5MPEuQ

    come è ottenuto l'accordo.

    E' interessante sentire la versione primordiale dell'accordo nelle prime versione della canzone (ascoltate i vari bootleg in rete).

    Mattia

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