sabato 24 dicembre 2011

Carnevale dei libri di scienza #3: 10 libri da regalare per Natale

Dopo la seconda edizione ospitata da Mr. Palomar, il testimone del Carnevale dei Libri di Scienza passa al prestigioso blog Gravità Zero, con l'azzeccatissimo tema "10 libri da regalare per Natale".

Con le parole di Gravità Zero:
L'idea che anima l'appuntamento di questo mese di dicembre è la seguente: quali sono i libri che vorreste che i vostri cari, i vostri migliori amici, leggessero almeno una volta nella vita? Possono essere i libri che vi sono rimasti più lungamente impressi... quelli che vi hanno cambiato la vita, o il vostro modo di vedere il mondo.

Lo scopo del Carnevale dei Libri di Scienza, nato da una felice idea di Scienza Express, è la promozione dei libri di scienza, siano essi classici o libri pubblicati da poco.
Come scrive Daniele Gouthier:
"la formula del carnevale è molto interessante perché pone i partecipanti tutti sullo stesso piano, quello del dialogo e, a rotazione (volontaria), affida a ciascuno il compito di valutatore degli scritti altrui."

Questa edizione natalizia del Carnevale propone una interessante selezione di libri, tra le quali il saggio di Clifford Pickover che Mr. Palomar ha recensito pochi giorni fa.
Complimenti a Gravità Zero e a Scienza Express e a tutti gli altri partecipanti, e ancora buon Natale a tutti!

lunedì 19 dicembre 2011

Nastri e alberi di Natale

Si avvicina Natale. Che cosa regalare? Un libro, certo, è sempre un'ottima scelta: ma quale libro? Un libro di scienza, ad esempio. Va bene, ma quale? Ce n'è uno, scritto da Clifford A. Pickover, eclettico e brillante autore, giornalista e ricercatore americano, che è interamente dedicato ad una strisciolina di carta. Un nastrino apparentemente banale, del tutto simile a quelli con i quali confezioneremo i nostri pacchi regalo per Natale.
Questo nastro, al quale Pickover ha dedicato un intero libro di 250 pagine, sarebbe normalissimo, se non fosse per due caratteristiche particolari:
1. non è un nastro aperto, ma viene richiuso su se stesso a formare una specie di anello;
2. viene richiuso solo dopo avere sottoposto una delle sue estremità ad una torsione di 180°.
Grazie a questa innocente torsione, il nastro non è più così banale, ma diventa il nostro nastro, o, per usare il termine ufficiale, un nastro di Möbius, dal nome del matematico August Ferdinand Möbius che lo studiò a fondo.

Se non avete mai costruito un nastro di Möbius prima d'ora, fatelo subito! Basta una strisciolina di carta e un po' di colla (o nastro adesivo) per chiudere l'anello.
Quello che otterrete è una delle figure geometriche più sorprendenti della matematica.
La caratteristica più sconcertante è che il nastro di Möbius ha una sola faccia, mentre i nastri che abbiamo conosciuto finora hanno ovviamente due facce, una sopra e una sotto. Prendete il nostro nastro: se percorrete con un dito la superficie, potete infatti tornare al punto di partenza senza mai staccare il dito. Come l'artista olandese Maurits Cornelis Escher ha immaginato in alcune sue opere, una formica che percorresse l'anello si ritroverebbe al punto di partenza senza dover effettuare salti o attraversare la frontiera tra il "sopra" e il "sotto".
Intituitivamente ci sembra naturale che una superficie debba avere due facce, o due lati: una "superiore" o "esterna", e una "inferiore" o "interna". Il fatto che le due facce del nastro di Möbius siano in realtà la stessa faccia, nonostante appaia evidente dalla prova del dito (o della formica), rimane comunque qualcosa di strano e lontano dal senso comune.

Che cosa succede ora se tagliamo a metà l’anello, in senso longitudinale? Si accettano scommesse. Potremmo aspettarci di ottenere due nastri di Möbius diversi, o forse due nastri normali. Difficilmente, se non abbiamo già provato, ci aspetteremmo di trovarci in mano un nuovo nastro di Möbius, solo più lungo del precedente. Eppure è ciò che avviene.
E se lo tagliamo di nuovo? Incredibile, otteniamo due anelli concatenati!
Queste ed altre sorprendenti proprietà hanno reso il nostro nastro una fonte straordinaria di ispirazione non soltanto per i matematici, ma anche per molti artisti, scrittori e musicisti: abbiamo citato i disegni di Escher, ma potremmo ricordare molti altri esempi di opere che hanno preso spunto dalla bizzarra strisciolina.

Il buon Pickover ha scritto il saggio "Il nastro di Möbius" (titolo originale "The Möbius strip") nel 2006; l'edizione italiana è stata pubblicata lo stesso anno da Apogeo.
Si tratta di un libro divertentissimo, pieno di sorprese e di magie matematiche, ricco di incursioni nell'arte, nella letteratura, nel cinema, nei giochi, nella tecnologia, nella fantascienza.

Tra gli innumerevoli esempi di applicazioni del nastro di Möbius proposte da Pickover, alcune ci trasportano decisamente in un clima natalizio.
Un brevetto richiesto nel 1997 dal cinese Xian Wang parla di un "oggetto dotato di movimento alimentato elettricamente che viaggia su un binario capace di esplorare quadranti liberi descritti nel teorema di Möbius".
E' un divertente trenino elettrico in grado di viaggiare su un tracciato di binari möbiussiani sostenuti da vari supporti: Pickover ci assicura che "il tracciato può essere utilizzato per decorare un albero di Natale in quanto può serpeggiare tra i rami e gli ornamenti."

Un'altra nota natalizia la troviamo quando Pickover ci racconta di come Teja Krasek, una nota artista slovena, realizzi sculture a forma di nastro di Möbius abbellite da particolari tassellature come quelle scoperte dal matematico inglese Roger Penrose. Le tassellature di Penrose, basate sulla sezione aurea, hanno la speciale capacità di coprire superfici infinite in modo aperiodico, cioè senza ripetere mai la stessa configurazione (cosa che avviene ad esempio nello schema utilizzato dalle piastrelle che abbiamo in bagno).
Ebbene, Teja Krasek è un'artista che ama la matematica a tal punto che ha deciso di dedicarsi alla stranissima (e difficilissima) occupazione di decorare nastri di Möbius con tasselli di Penrose.
Pickover ci informa che se andiamo a casa di Teja Krasek nel periodo natalizio, troveremo un albero di Natale del tutto speciale, addobbato da meravigliosi e splendenti nastri di Möbius.
I nastri di Möbius, tra l'altro, sono più comodi delle comuni palle per l'albero di Natale: non è necessario legarli sull'albero in quanto possono essere infilati sui rami così come sono.
Scrive Pickover: "I nastri brillano per le stelle luccicanti che ne ornano la superficie e l'albero riesce a scaldare il cuore di qualunque matematico romantico."
Buon Natale a tutti da Mr. Palomar.

mercoledì 14 dicembre 2011

Carnevale della matematica #44: goto Popinga

Puntuale come un orologio svizzero, ecco a voi il Carnevale della Matematica, giunto all'edizione numero 44 e ospitato da quel mirabolante blogger che risponde al nome di Popinga.

Quarantaquattro! Benvenuti al Carnevale della Matematica di dicembre, il quarantaquattresimo da quando è iniziata la sua avventura italiana. Numero senza fama speciale, da noi è noto per ricordare una particolare disposizione di gatti, soprattutto per chi ha potuto vivere i tempi lontani in cui si studiavano davvero le tabelline...

Questo l'incipit dell'imperdibile Carnevale (che certo non ha potuto esimersi dal proporre l'indimenticata "44 gatti" dello Zecchino d'Oro 1968).

Il tema del mese, affascinante come pochi, era "Storia e storie della matematica". I partecipanti hanno risposto all'appello con ricchezza di contributi, sia con post ispirati all'argomento proposto, sia con articoli fuori tema (come quello di Mr. Palomar, riguardante una strana congiunzione matematica di specchi, sogni e frattali).

Buona lettura e buon Carnevale a tutti!

martedì 6 dicembre 2011

Specchi, sogni e frattali

Nel racconto "Tlön, Uqbar, Orbis Tertius" (il primo della celebre raccolta "Finzioni"), Jorge Luis Borges scrive:

"Bioy Casares ricordò allora che uno degli eresiarchi di Uqbar aveva giudicato che gli specchi e la copula sono abominevoli, poiché moltiplicano il numero degli uomini"

Lasciando la discussione sulla "copula" ad altre tipologie di blog, mi vorrei concentrare sulla questione degli specchi.
Che cos'è, in fin dei conti, uno specchio? Potremmo immaginarlo come una "macchina" che trasforma oggetti reali in immagini riflesse.
Pensiamo ora ai programmi informatici: ogni programma incorpora una certa logica, l'algoritmo, che trasforma i dati in ingresso in dati in uscita.
Non siamo allora del tutto fuori strada se paragoniamo uno specchio ad un programma per computer. Il confine tra input e output è chiaro: se mi guardo allo specchio, io sono il dato di ingresso fornito alla logica di elaborazione, e la mia immagine riflessa rappresenta l'informazione di uscita.
Insomma, è vero che ogni specchio moltiplica il numero degli uomini, ma lo fa fino a un certo punto: in effetti si limita a raddoppiarlo.
Si può fare di più?
Cosa accadrebbe se l'immagine riflessa venisse a sua volta rediretta verso l'algoritmo-specchio? Bè, quest'ultimo produrrebbe una nuova immagine riflessa: precisamente l'immagine riflessa dell'immagine riflessa. Si innescherebbe insomma un ciclo ricorsivo, come accade in ogni programma informatico che richiama se stesso.

Ma nella pratica come si può creare un loop di questo tipo con uno specchio? L'immagine riflessa
esce dallo specchio, mentre noi vorremmo curvarla in modo che sia di nuovo riflessa dallo specchio.
Curvare la luce? Non scherziamo.
In realtà basta molto meno per chiudere il cerchio: un altro specchio.
Qualche mese fa entrai in una pasticceria di Feltre, nel cui ampio salone due enormi specchi si guardavano l'un l'altro. Meraviglia delle meraviglie! Le immagini delle persone e degli oggetti presenti nella sala si moltiplicavano, se non in modo abominevole come diceva Borges (anzi no: Bioy Casares... ops... l'eresiarca di Uqbar), in modo vertiginoso: sicuramente qualcosa di più del banale raddoppio di immagini prodotto dallo specchio.
Il secondo specchio è l'artificio necessario e sufficiente per "girare" l'immagine riflessa sul primo specchio.
La funzione riflettente di uno specchio può essere svolta anche da un sistema tecnologico costituito da una telecamera, che riprende l'oggetto, collegata ad uno schermo televisivo, che visualizza, per così dire, un duplicato dello stesso oggetto.
In questo caso la chiusura del ciclo si può realizzare facilmente senza ricorrere ad una seconda telecamera o ad un secondo schermo: è sufficiente che la telecamera venga puntata sullo stesso schermo televisivo!
E' questo il cosiddetto fenomeno del video-feedback.
Nel celeberrimo e monumentale saggio "Gödel, Escher, Bach", e soprattutto nel successivo "Anelli nell'io", Douglas Hofstadter parla diffusamente del video-feedback. Nelle tipiche immagini prodotte dai feedback ottici si scorgono bizzarre fantasmagorie, corridoi infiniti, vertiginose voragini, come nell'immagine a fianco.
Il fascino di queste visioni caleidoscopiche è stato sfruttato da molti artisti, e ha trovato un particolare impiego in molti videoclip musicali, soprattutto a cavallo tra gli anni Settanta e Ottanta del secolo scorso. Uno dei primi esempi è il video della celebre "Bohemian Rhapsody" dei Queen, del 1975 (i feedback sono visibili nella sezione centrale del brano, quella in cui Freddie Mercury canta "Galileo, Galileo..."):



A parte questi esempi contenuti nei video musicali, probabilmente il fenomeno del feedback video rimane per ciascuno di noi poco familiare; tutti invece abbiamo sicuramente provato l'esperienza dell'analogo fenomeno sonoro, cioè il feedback audio.
L'ambientazione è tipica: pochi minuti prima dell'inizio di una conferenza, o di un concerto, qualcuno sta provando l'impianto audio, e all'improvviso un fastidiosissimo stridio assorda l'uditorio per qualche secondo. Cos'è successo? Semplicemente qualcuno ha avvicinato troppo il microfono ad una delle casse. Così facendo un suono raccolto dal microfono, anche se impercettibile, è stato amplificato e diffuso dall'altoparlante: ma il microfono che si trovava lì vicino ha di nuovo raccolto il suono rimandandolo, amplificato, alle casse, e attivando una reazione a catena potenzialmente infinita che ha determinato lo sgradevole boato (per la verità, alcuni chitarristi rock, come Jimi Hendrix, hanno a volte sfruttato il feedback audio intenzionalmente, e in modo controllato, per creare particolari sonorità).

Tutti questi esempi (doppio specchio, feedback video, feedback audio) possono essere rappresentati matematicamente in un modo molto semplice. Abbiamo sempre un'informazione (nei primi due casi un'immagine, nel terzo caso un suono) che viene raccolta da una "macchina" (lo specchio, il sistema telecamera-schermo, l'impianto audio) che produce come risultato un'informazione simile (l'immagine riflessa, l'immagine sullo schermo televisivo, il suono amplificato e diffuso dagli altoparlanti), e questo risultato viene poi utilizzato per rialimentare il ciclo.
Se, per semplicità, l'informazione iniziale viene assimilata a un numero, e la "macchina" viene modellata da una funzione F (ad esempio una funzione reale di variabile reali), ecco che ci troviamo di fronte ad una successione z1, z2, …, zN di numeri definita da:

zi+1 = F(zi)

In altre parole, ogni termine della successione viene ottenuto a partire dal precedente semplicemente dandolo in pasto alla "macchina": esattamente ciò che accade nei fenomeni visivi e sonori che abbiamo descritto poco fa.

Torneremo tra poco su queste funzioni iterative, per esplorarne alcune sorprendenti proprietà. Ma prima vorrei parlarvi di sogni.
Sogni? Che diamine c'entrano i sogni con la matematica?

Immaginate che la funzione S rappresenti il meccanismo attraverso il quale una persona x viene trasportata dalla dimensione della realtà a quella del sogno: il valore di uscita S(x) della funzione corrisponde così alla versione onirica della persona x.
(La definizione è, a dire il vero, piuttosto imprecisa e sfumata, perché in alcuni casi sarebbe più comodo che il valore della funzione indicasse, più in generale, il contenuto del sogno, che non è detto contenga una versione sognata del sognatore ma potrebbe essere costituito da altre persone o altri oggetti sognati: ma non mi formalizzerò troppo su questa questione).

Agli specchi e agli apparati video e audio, insomma, aggiungiamo il sogno come "macchina" in grado di realizzare l'"abominevole moltiplicazione" già paventata da Borges.

La letteratura e l'arte cinematografica sono piene di storie in cui il sogno permette di creare interessanti effetti di moltiplicazione, di iterazione e di ricorsione.
Nel mio vecchio post "La matematica di Ummagumma (Parte 1)", ad esempio, avevo citato il testo della canzone "Abate cruento" di Elio e le Storie Tese, che inizia così:

"Questa notte ho fatto un sogno strutturato a matrioska: io sognavo di sognare..."

La funzione S ha trasportato Elio nella sua versione onirica, che potremmo indicare come S(Elio); ma questo valore è stato poi inviato alla stessa funzione S, che ha generato così una versione sognata della versione sognata: S(S(Elio)).
Il "solito" Borges ci offre un altro delizioso esempio, tratto dalla già menzionata raccolta "Finzioni". Nel racconto "Le rovine circolari" uno "straniero" decide di sognare un altro uomo, per poi "imporlo alla realtà": cerca insomma di applicare la funzione sogno S per dare vita ad una persona S(straniero), ma giunto alla fine dei suoi giorni si rende conto di essere lui stesso il risultato dell'azione di S, cioè di essere il sogno di un altro:

"Andò incontro ai gironi di fuoco: che non morsero la sua carne, che lo accarezzarono e inondarono senza calore e combustione. Con sollievo, con umiliazione, con terrore, comprese che era anche lui una parvenza, che un altro stava sognandolo."

In questo caso abbiamo quindi
:

uomo = S(straniero)

ma anche:

straniero = S(altro)

Un altro esempio interessante proviene dal romanzo "I fiori blu", scritto nel 1965 dallo scrittore e matematico Raymond Queneau e tradotto in italiano da Italo Calvino. I protagonisti di questo delizioso romanzo sono due: il Duca d'Auge, uno strampalato eroe medievale che sembra viaggiare attraverso i secoli, e Cidrolin, un pigro diseredato urbano che vive su una chiatta, passando il tempo a bere essenza di finocchio e a riverniciare la staccionata lungo la banchina.

Ogni episodio descritto riguarda uno dei due protagonisti (a parte la scena finale, che vede finalmente l’incontro tra i due) e termina sempre con il personaggio che si appisola e comincia a sognare di essere l’altro.
Come nella storia del filosofo cinese Zhuangzi, che sogna di essere una farfalla (ma potrebbe essere la farfalla a sognare di essere Zhuangzi), così nel romanzo di Queneau non è mai chiaro se sia il Duca d’Auge a sognare di essere Cidrolin o viceversa.

Utilizzando la solita funzione sogno S, si direbbe che:

S(Cidrolin) = Duca d’Auge

ma anche:

S(Duca d’Auge) = Cidrolin

Ciascuno degli esempi citati mette in evidenza una successione di termini del tutto analoga a quelle che ho descritto a proposito dei fenomeni di feedback: anche qui ogni termine della successione è ricavato dal precedente applicando ripetutamente la funzione S.
Il sogno a matrioska di Elio genera una successione di soli tre termini: Elio, S(Elio),
S(S(Elio)); ma anche se la canzone non fornisce testimonianze in merito, possiamo immaginare che l'annidamento dei sogni prosegua all'infinito, creando termini ulteriori come S(S(S(Elio))), S(S(S(S(Elio)))), e così via.
Anche il racconto di Borges ci parla di una successione a tre termini:
altro, straniero = S(altro), uomo = S(straniero) = S(S(altro)); e qui potremmo fantasticare sia sul fatto che anche il cosiddetto "altro uomo" sia a sua volta il sogno di altri (aggiungendo quindi alla successione termini a sinistra), sia sul fatto che l'uomo sognato dallo straniero sia egli stesso in grado di sognare altri uomini (estendendo così la successione a destra).
La successione di Queneau è invece molto strana: i suoi termini continuano a riproporre in modo alternato i due protagonisti, Cidrolin e il Duca d'Auge.

Il lettore che volesse dilettarsi con altri e ben più complicati esempi di questa “topologia del sogno” deve certamente noleggiare il DVD del film "Inception" di Christopher Nolan, uscito nel 2010. Qui i "sogni dentro i sogni" si annidano a tre livelli, generando situazioni intricate e dando vita ad una trama avvincente oltre che intellettualmente stimolante.

Vorrei chiudere questo post accennando al fatto che le successioni indotte da funzioni iterative come quelle che abbiamo visto fin qui celano alcune proprietà davvero sorprendenti.
Nel 1979 il matematico Benoît Mandelbrot stava studiando la successione z1, z2, …, zN definita dalla funzione zi+1 = zi2+ c, dove z1 = 0 e c è un numero complesso prefissato. Si tratta, come vedete, di una successione del tutto analoga a quelle che abbiamo esplorato finora.
In particolare, potremmo chiederci se i valori assunti dai termini della successione tendono ad assestarsi su un valore finito, oppure se divergono verso valori sempre più grandi.
Ebbene, Mandelbrot si accorse che questo comportamento della successione dipendeva in modo impercettibile dal valore del parametro c; e volendo rappresentare sul piano complesso l'insieme dei valori di c tali per cui la successione assume valori finiti, si otteneva la seguente figura, dalla forma piuttosto familiare:
L'area nera costituisce il famoso insieme di Mandelbrot, e comprende i valori di c per i quali la successione non diverge. La zona bianca corrisponde invece ai valori del parametro tali per cui la successione cresce in modo indefinito. Ma invece di lasciare questi punti in bianco, si potrebbero colorare diversamente per rappresentare le diverse "velocità" con cui la successione diverge: in questo modo si generano versioni spettacolari e affascinanti del frattale di Mandelbrot, come la seguente:


Dietro la semplicità di una successione apparentemente innocua come quella che abbiamo visto, si nasconde quindi un universo di una complessità e di una ricchezza sconvolgenti: quello dei frattali.
Ma mi fermo qui: sul magico mondo dei frattali avrò modo di soffermarmi più a lungo in altri post.

lunedì 21 novembre 2011

Carnevale dei Libri di Scienza #2: il gioco

Il poeta tedesco Friedrich Schiller sosteneva che “L'uomo è veramente uomo soltanto quando gioca". Il suo omonimo e connazionale Friedrich Nietzsche, in “Così parlò Zarathustra”, rafforzò il concetto dicendo che “Nell'uomo autentico si nasconde un bambino: che vuole giocare”

Parlando di scienza, poi, perderemmo inevitabilmente di vista qualcosa se non tenessimo in seria considerazione la prospettiva del gioco. Lo scienziato, normalmente, coltiva in sé lo spirito ludico e l’atteggiamento curioso del bambino che gioca, coniugandolo con una concezione più matura che aspira alla sintesi e alla visione d’insieme. A questo proposito, il fisico americano Isidor Isaac Rabi, premio Nobel nel 1944, disse che “La scienza è un grande gioco che ispira e tonifica, e il campo di gioco è l'universo stesso.”

D’altra parte, lo spirito giocoso è utile non solo per chi la scienza la fa, ma anche, e soprattutto, per chi la comunica. Il divulgatore non è uno che riferisce asetticamente i fatti di scienza: piuttosto, li racconta, o meglio li narra, possibilmente facendo leva sugli aspetti emozionali del pubblico per rendere il messaggio più efficace e stimolante. Ecco allora che la capacità di giocare con la scienza può diventare un’arma molto potente in mano al divulgatore, e un motivo di piacere per il destinatario della comunicazione.

E chi meglio dei bambini può recepire un messaggio scientifico se viene proposto in forma giocosa? Rosa Maria Mistretta, nel suo blog La scuola del sapere ci propone il suo libro “Il sole e la sua famiglia”: un testo illustrato per bambini, ma “utile anche per i grandi”, da leggere e disegnare, che introduce i piccoli lettori alla scoperta dell’astronomia. Il protagonista Speedy viene da mondi lontani per guidare i suoi piccoli amici all’interno del sistema solare: attraverso semplici giochi i bambini familiarizzano con la grande famiglia del Sole e imparano ad orientarsi tra pianeti, asteroidi e comete.


Sempre restando sul pubblico dei bambini e dei ragazzi, Tania Tanfoglio, dal vivace blog Science for Passion, segnala il “Manuale degli indovinelli” di Vezio Melegari, concentrandosi in particolare sugli indovinelli riguardanti la matematica. Ad esempio, il classico enigma della sfinge (“Qual è l’animale che all’alba cammina con 4 zampe, a mezzogiorno con 2 e alla sera con 3?”) è fatto di numeri. Ci sono poi rompicapi che hanno a che fare con le tabelline, come: “quante volte il 12 è presente nelle tabelline?”, oppure “la tavola delle tabelline è finita o infinita?”, e tanti altri indovinelli, per divertirsi e per scoprire che dei numeri non c’è da aver paura.


Il mitico Marco Fulvio Barozzi, meglio noto come Popinga, contribuisce a questo Carnevale con un originalissimo post dedicato nientemeno che a… Mamma Oca: “una vecchia palmipede che veste alla contadina, con un grembiule variopinto e il cappellaccio in testa, e che da secoli è conosciuta per la sua grande abilità di raccontare favole, filastrocche e nonsense ai bambini”. Popinga ci accompagna in un viaggio attraverso le apparizioni di Mamma Oca nel corso degli ultimi secoli: dalle fiabe di Perrault e le nursery rhymes inglesi fino alle novecentesche citazioni musicali dovute a Maurice Ravel e ai Jethro Tull. Ma… e la scienza che c’entra? C'entra, eccome! Nella raccolta di filastrocche “Mamma Oca e la scienza moderna”, pubblicata da Frederick Winsor nel 1958 con le eleganti illustrazioni di Marian Parry, la simpatica pennuta è presa a pretesto per parlare di temi scientifici con sottile umorismo.

Nel recensire “Come dire” di Stefano Bartezzaghi, il blog Notiziole di mau di Maurizio .mau. Codogno ci fa riflettere sul fatto che “chiunque abbia visto giocare dei bambini sa che il gioco è un'attività serissima”: e questo libro è serio proprio perché gioca con la lingua e con le parole. Non si tratta di un libro di grammatica, ci ammonisce .mau., e d’altra parte il sottotitolo dell’ultimo capitolo è "come fottersene della grammatica e vivere felici"…



Il blog Scienza Express di Daniele Gouthier, fondatore e artefice di questo Carnevale, recensisce un celebre libro dal titolo deliziosamente autoreferenziale: “Qual è il titolo di questo libro?” del poliedrico e geniale Raymond Smullyan.
Come dice Daniele, l’opera di Smullyan è un libro ma al tempo stesso un gioco: “una vera avventura della mente tra barzellette ed enigmi, giochi logici e aforismi, furfanti e cavalieri, Bellini e Cellini, Dracula e...”.
Come in ogni gioco che si rispetti, ogni capitolo è un mondo, con le sue regole e le sue sfide. E, ci assicura Scienza Express, quando siete dentro, volete "provare e riprovare, per essere sicuri che la vostra logica sia alla pari con quella dell'autore. In una parola, volete giocare.”

Ad un gigante come Smullyan mi piace affiancare un altro grande, il "giocoliere" della matematica Martin Gardner. A parlare di Gardner, questo mese, siamo addirittura in due: il sottoscritto, cioè Mr. Palomar, con il libro “Ah! Ci sono! Paradossi stimolanti e divertenti”, e Roberto Zanasi, detto Zar, con il suo blog Gli studenti di oggi parla di “The colossal book of short puzzles”.
Entrambi i testi sono raccolte di articoli scritti da Gardner tra il 1956 e il 1981 per la rubrica "Mathematical Games" dello "Scientific American" (nell'edizione italiana, la rubrica "Giochi matematici" della rivista "Le Scienze").
Il primo libro è una appassionante scorribanda attraverso i paradossi, tra logica, aritmetica, geometria, fisica e statistica. I divertenti disegni che corredano il libro aiutano il lettore a superare le difficoltà insite in alcuni dei concetti esposti.

Se, come scrivo nel mio post, il libro rappresenta un "affascinante universo tascabile", il libro recensito dallo Zar è un universo di grandi dimensioni: come recita il titolo, appunto un "libro colossale", nel quale sono raccolti tutti i quesiti "brevi" di Gardner apparsi sulle pagine dello "Scientific American". Gli enigmi sono stati classificati da Dana Richards rispetto al tipo di matematica necessaria per risolverli, e sono accomunati dal fatto che ciascuno di loro può essere risolto con una qualche osservazione intelligente (anche qui, la cosiddetta esperienza aha!).

La prossima edizione del Carnevale dei Libri di Scienza cadrà nel periodo natalizio. Quale migliore argomento, allora, di quello scelto da Claudio Pasqua che ospiterà il Carnevale nel suo blog Gravità Zero ? Il tema è infatti: “10 libri da regalare per Natale”.
Le vostre recensioni devono pervenire a Gravità Zero entro martedì 20 dicembre.
Trovate il calendario delle edizioni del Carnevale nel sito di Scienza Express.

Credo sia davvero tutto. Mr. Palomar vi saluta, felice di avere per la prima volta ospitato un Carnevale, e vi augura buone letture e buona scrittura sui libri di scienza!

giovedì 17 novembre 2011

I paradossi del Grande Giocoliere

Come ho talvolta ricordato in questo blog, molti sono gli alti esponenti (ops, ho detto proprio esponenti...) della divulgazione matematica, ma uno è il vero padre di tutti noi: il giocoliere dei numeri, il Maestro, il più grande di tutti.
Sto parlando ovviamente di Martin Gardner, scomparso un anno e mezzo fa all'età di 95 anni, autore di più di 70 libri, e celebre soprattutto per i suoi incantevoli articoli apparsi tra il 1956 e il 1981 nella rubrica "Mathematical Games" dello "Scientific American" ("Giochi matematici" nell'edizione italiana, cioè la rivista "Le Scienze").
Gli inesauribili giochi matematici di Gardner hanno affascinato generazioni di appassionati; e certamente moltissime persone hanno scelto di intraprendere una carriera matematica o scientifica grazie all'influenza dei suoi articoli.

Di Gardner si è detto molto (per la verità non abbastanza, dato che il suo nome non è poi così celebre al grande pubblico): e non mi dilungherò nel tessere le sue lodi, peraltro più che meritate.
La sua grande bravura è stata quella di saper coniugare il senso della bellezza della matematica con il divertimento del gioco.
"La matematica matemagica combina la bellezza della struttura matematica con l'efficacia spettacolare di un trucco da prestigiatore" scrisse in uno dei suoi primi libri (coniando tra l'altro il fortunato termine "matemagica").

Come scrive Maurizio Codogno in un suo post:
"Gardner non aveva una formazione matematica, e si può dire che si è fatto le ossa negli anni, affinando sempre più le sue conoscenze; ma soprattutto il suo grande contributo fu lo sdoganamento della matematica ricreativa, e la possibilità per molti matematici di professione di pubblicare i propri risultati non troppo accademici, rendendoli contemporaneamente noti al pubblico."

I numerosissimi articoli che Gardner scrisse per lo "Scientific American" sono raccolti, in edizione italiana, nei volumi di "Enigmi e giochi matematici": un testo fondamentale che ogni appassionato di matematica dovrebbe possedere.

Avevo quasi deciso di dedicare un post a questa celebre e deliziosa raccolta, e mi stavo già cimentando nella recensione, quando dallo scaffale della mia libreria un altro libretto di Gardner ha fatto capolino. Mi riferisco a "Ah! Ci sono! Paradossi stimolanti e divertenti" (nell'edizione originale "Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight"): anche in questo caso una selezione di articoli usciti su "Scientific American".
Ebbene, alla fine ho scelto proprio questo libro, meno noto degli "Enigmi e giochi matematici", ma ricco della geniale brillantezza che contraddistingue ogni creazione di Gardner.
L'edizione che posseggo è quella della collana "Sfide matematiche" di RBA, uscita tre anni fa (pare che la prima edizione italiana, Zanichelli 1981, sia ormai introvabile)
Il libro è una piacevolissima carrellata di paradossi di ogni tipo, reali e apparenti che siano.
L'argomento è particolarmente accattivante, tanto è vero che sulla scia del libro di Gardner sono apparsi, in anni più recenti, altri testi abbastanza simili, di altri autori.

Nell'introduzione Gardner parafrasa la frase di Desdemona nell'Otello di Shakespeare ("Questi sono vecchi e amati paradossi per far ridere gli sciocchi in birreria") trasformandola in "Questi sono vecchi e amati paradossi per farci ridere all'ora di pranzo", e ci accompagna in un viaggio che inizia dai celebri e antichissimi paradossi logici, passa per l'aritmetica, la geometria, la probabilità e la statistica, per concludersi con gli strani paradossi che hanno a che fare con il tempo e con il moto.
Uno dei pregi del libro è rappresentato da un'infinità di disegnini divertenti che aiutano la comprensione del testo, a tratti non immediata data la difficoltà intrinseca di certe sottili tematiche.

Il lettore potrà quindi spaziare dal paradosso del mentitore a quello del barbiere, dai sogni di Alice e del Re Rosso ai numeri interessanti e non interessanti, dalle bizzarrie dell'hotel infinito alle magie delle matrici, dalla scala impossibile di Penrose alle curve frattali e ai nastri di Moebius, dal principio di indifferenza alla scommessa di Pascal, dal mondo piccolo alle cifre di pi greco, dai paradossi di Zenone alle macchine del tempo, fino ad arrivare alla relatività e a disquisizioni filosofiche sul caso e sul libero arbitrio.
Un affascinante universo tascabile, com'è ogni libro di Gardner.

lunedì 14 novembre 2011

Carnevale della matematica #43: goto Pitagora e dintorni

Per la prima volta il Carnevale della Matematica, giunto ormai alla veneranda età di 43 edizioni, è stato ospitato dal blog "Pitagora e dintorni" di Dioniso
Per l'occasione, il brillante blogger, che gestisce anche il famoso "Blogghetto", ha sfoderato una delle sue armi più invidiate: il famoso φιχιfonino oltretombale di Mηλον, che consente di effettuare collegamenti iperspazio-temporali retrogradi.
Grazie al mirabolante strumento, Dioniso si è messo in comunicazione nientemeno che con Pitagora di Samo, il mate-mitico nonché filosofo e teorico musicale dell'antica Grecia.

I contributi di questa edizione carnascialesca sono stati numerosi e di alto livello; solo Mr. Palomar, come spesso accade, è stato un po' taccagno, proponendo soltanto due post.
Per una strana coincidenza, i miei due articoli hanno riguardato entrambi due illustri dipartite: due giganti dell'informatica teorica (Dennis Ritchie e John McCarthy) che se ne sono andati nel corso del mese di ottobre, come ha fatto del resto anche Steve Jobs.

Buona lettura e buon Carnevale a tutti!

mercoledì 2 novembre 2011

Carnevale dei Libri di Scienza: coraggio, inviate i vostri contributi!

Come forse sapete, Mr. Palomar ospiterà la prossima edizione del Carnevale dei Libri di Scienza, e colgo l'occasione per ricordare a tutti gli amici blogger interessati a partecipare che i contributi vanno inviati al più presto al mio indirizzo paoloaless@gmail.com.
Il tema, come sempre non vincolante, è il gioco, inteso in qualsiasi delle sue molteplici accezioni.
Come ha scritto Daniele Gouthier, "vale tutto: libri giocosi e libri giocherelloni, libri di giochi e libri in cui si gioca, libri gioco e libri che ruotano attorno ai giochi."
Le segnalazioni saranno prese in considerazione se arriveranno entro il mezzogiorno di venerdì 18 novembre. Il Carnevale uscirà, puntuale e inesorabile, lunedì 21 novembre.

Ricordo, per chi non lo sapesse ancora, che il Carnevale dei Libri di Scienza è nato da una bella iniziativa di ScienzaExpress: qui potete trovare la prima edizione, e qui il calendario delle edizioni.
Questa nuova idea carnascialesco-scientifica si propone come un nuovo spazio in cui potete parlare dei libri di scienza che hanno lasciato in voi un segno e che per voi sono qualcosa di più che un insieme di pagine stampate. Con la ormai classica formula del carnevale, ogni mese potete partecipare con una o più recensioni, scegliendo se seguire o meno l'eventuale tema proposto.

Attendo copiosi i vostri brillanti contributi; cosa non meno importante, siamo alla ricerca di blogger volonterosi che si offrano di ospitare le prossime edizioni: se qualcuno vuole lanciarsi in questa avventura, si faccia avanti!
E buon Carnevale a tutti!

domenica 30 ottobre 2011

John McCarthy e l'attrazione fatale del 91

Dopo Steve Jobs e Dennis Ritchie, il fatidico mese di ottobre 2011 ci ha portato via un altro grande informatico: l'americano John McCarthy, uno dei padri dell'intelligenza artificiale, inventore del linguaggio di programmazione LISP, nonché premio Turing nel 1971.
Con McCarthy scompare uno dei giganti della ricerca teorica informatica, uno di quelli che hanno fatto davvero la storia della computazione.
Oltre alle sue ricerche pionieristiche sull'intelligenza artificiale (fu lui, nel lontano 1955, il primo ad adoperare la fortunatissima espressione "intelligenza artificiale"), a McCarthy dobbiamo l'invenzione di alcuni concetti oggi fondamentali dell'ambito della programmazione e delle tecnologie informatiche in genere: ad esempio il meccanismo del "garbage collection", ben noto a chiunque abbia scritto programmi per computer, e l'idea di rendere disponibile come servizio la potenza dei calcolatori, un po' come avviene per l'elettricità o l'acqua. Quest'ultimo concetto, proposto da McCarthy già all'inizio degli anni Sessanta, è stato recentemente rivalutato, e si è imposto con successo sotto forma di tecnologie con nomi diversi ("Software as a service", "Cloud computing", ecc.).

Vorrei qui ricordare McCarthy accennando ad una sua curiosa creazione matematica: la cosiddetta "funzione 91" di McCarthy.
La funzione 91 è definita come segue:







Come si può notare, la funzione è ricorsiva: per i valori minori o uguali a 100 la funzione è definita in termini di se stessa (addirittura con una doppia ricorsione).
La particolare definizione ricorsiva ha delle conseguenze molto interessanti. Provate a calcolare il valore della funzione per un qualsiasi n 101: ebbene, otterrete sempre e comunque 91!
Proviamo con n=100:






Con n=87:






















Se proviamo a disegnare il grafico della funzione 91 di McCarthy, otteniamo qualcosa del genere:


E' evidente, nel primo tratto della funzione, corrispondente ai valori di n 101, che la funzione rimane fissa sul valore 91.
Lo strano comportamento della funzione, che "precipita" sempre sul numero 91 per tutti gli n 101, è dimostrabile in modo abbastanza semplice, utilizzando il metodo di induzione. Non riporto qui i passi della dimostrazione, che possono essere trovati ad esempio sulla voce di Wikipedia dedicata alla funzione 91.

sabato 22 ottobre 2011

E' nato il Carnevale dei Libri di Scienza!

E' nato! La prima edizione del Carnevale dei Libri di Scienza è online sul sito di ScienzaExpress.

L'idea di Daniele Gouthier di dare vita a questo nuovo Carnevale scientifico è, a mio parere, davvero brillante, e meritevole di tutto il sostegno possibile. La promozione dei libri di scienza, e soprattutto dei buoni libri di scienza, è assolutamente fondamentale se vogliamo che il sapere scientifico si diffonda nel modo migliore presso la popolazione.

Scienza Express sarà il punto di riferimento di questo nuovo Carnevale, il quale, tuttavia, secondo la formula classica del Carnevale, verrà ospitato di volta in volta da un blog diverso.

Naturalmente sono benvenuti sia i contributi (cioè i post che parleranno di libri) sia le candidature per ospitare le prossime edizioni. Come scrive Daniele Gouthier:

Un "Carnevale dei libri di scienza" ospita post che parlano di novità e altri sui grandi classici. Naturalmente, sono ben graditi contributi che toccano libri sconosciuti purché abbiano significato qualcosa per chi ne scrive. Vale tutto. Dagli Elementi di Euclide a Bertrand Russell all'ultimo libro uscito ieri.

Questa prima edizione del Carnevale propone alcune recensioni molto interessanti. Lo stimolante tema proposto da Daniele, era "Storie di animali".
Mr. Palomar ha contribuito con il post sul romanzo "Il teorema del pappagallo" di Denis Guedj.

E sempre Mr. Palomar ospiterà la prossima edizione del Carnevale!
Il tema che ho voluto proporre è "Il gioco", che potete declinare come meglio desiderate, o, se volete, potete anche ignorare. Con le parole di Daniele:

Vale tutto: libri giocosi e libri giocherelloni, libri di giochi e libi in cui si gioca, libri gioco e libri che ruotano attorno ai giochi.

Potete pensare anche al gioco inteso come enigma, oppure come sport, oppure... insomma, vedete voi. Il Carnevale uscirà il 21 novembre su questo blog.
Per favore inviate i vostri contributi all'indirizzo paoloaless@gmail.com. Avrete la certezza della pubblicazione se le segnalazioni giungeranno entro il mezzogiorno di venerdì 18 novembre.
Buon Carnevale a tutti!

lunedì 17 ottobre 2011

In memoria di Dennis Ritchie

Il mese di ottobre 2011 ha visto la scomparsa di due grandi geni dell'informatica. Del primo, Steve Jobs, hanno parlato diffusamente tutti i mezzi di comunicazione, e si sono versati fiumi di inchiostro (soprattutto digitale, ovviamente).
Del secondo, Dennis Ritchie, hanno invece parlato pochissimi. Pochissime persone, d'altra parte, saprebbero dire chi sia stato Dennis Richie, e che cosa abbia fatto di tanto memorabile.
Eppure, l'importanza delle sue ricerche e dei suoi risultati lo pongono tra i massimi geni della storia dell'informatica.
Bastano due parole molto brevi, per stabilire la statura di Ritchie nel pantheon degli informatici di ogni tempo. La prima è UNIX. La seconda è C.
Assieme ad un altro grande informatico come Ken Thompson, presso i Bell Laboratories che videro la nascita del transistor e del laser, Ritchie fu infatti uno dei principali artefici del sistema operativo UNIX. Per decenni UNIX ha rappresentato una risorsa fondamentale per aziende, università e appassionati. UNIX, nel corso della sua lunga storia, ha avuto due figli illustri: uno è Linux, il sistema open source e gratuito più diffuso al mondo, lanciato nei primi anni Novanta dallo studente finlandese Linus Torvalds, l'altro è Mac Os X, sistema adottato nei sistemi Apple Macintosh dal 2001 in poi.
Negli stessi anni in cui vedeva la luce UNIX, e cioè in quegli anni di grande creatività e vivacità culturale che segnarono il passaggio tra anni Sessanta e anni Settanta, Dennis Ritchie plasmò anche il linguaggio di programmazione C: un altro pilastro fondamentale dell'informatica dal cui grembo sono derivate decine di altre piattaforme, come C++, Java, Perl, PHP, Python e molti altri.
Per il suo contributo essenziale al mondo della computazione, Dennis Ritchie ottene nel 1983, insieme a Thompson, il prestigioso premio Turing.
Onore dunque non soltanto al pur geniale Jobs, ma anche al grande Ritchie.

domenica 16 ottobre 2011

Il teorema del pappagallo, ovvero la matematica in forma di giallo

Prendete un pappagallo. Non un pappagallo qualsiasi, s’intende, ma un pennuto parlante, un po’ pedante, irresistibilmente simpatico, di nome Nofutur, che “non ripete, ma racconta”. Aggiungete un anziano filosofo, il signor Pierre Ruche, generoso e combattivo, che gestisce una libreria del quartiere parigino di Montmartre. Non dimenticate Perrette, donna dall’enigmatico passato, i suoi figli, i gemelli Jonathan e Lea, concepiti in un tombino delle fogne dove lei era caduta per sbaglio, e soprattutto Max, ragazzino sordo ma dalla particolare sensibilità. Condite con Albert, taxista che ha conosciuto il mondo intero senza mai uscire da Parigi, e Habibi, proprietario di una drogheria araba. Completate il quadretto con una trama avvicente, da vero e proprio thriller, in cui gli insoliti testimoni si chiamano… Talete, Pitagora, Euclide, Archimede, Tartaglia, Goldbach, Eulero, Fermat!
Si potrebbe definire questo libro un giallo matematico. O si tratta forse un romanzo sulla matematica? Oppure un testo di storia della matematica camuffato da romanzo? O forse… Qualunque cosa sia, questo libro testimonia la grande passione dell’autore per numeri e teoremi: in questo libro, che da best-seller è divenuto ormai un classico, Denis Guedj, già noto per il romanzo storico-scientifico “Il meridiano”, vince la sua scommessa di trasformare l’arida e astratta matematica in qualcosa di vivo, animando numeri ed equazioni grazie alla concretezza delle vite dei suoi protagonisti.
A proposito di storie, non è la trama del romanzo in sé che conta. A dire il vero, si tratta di un plot forse un po’ debole: a tratti si ha la sensazione che gli stravaganti personaggi gravitanti attorno alla libreria parigina non rappresentino il vero centro dell’interesse di Guedj, ma che costituiscano soltanto una cornice, per quanto simpatica, escogitata per sostenere le storie dei veri protagonisti, i matematici dei secoli passati. Già, perché chi domina davvero la scena è la matematica stessa.

La trama merita comunque un accenno. Un giorno, l’anziano Ruche riceve una insolita lettera da un amico matematico che non vede da cinquant’anni, Elgar Grosrouvre. Nella lettera Grosrouvre annuncia che la sua immensa biblioteca di libri di matematica sta per essere trasportata a Parigi, presso la libreria di Ruche. Ma l’arrivo dei preziosissimi libri portano con sé la notizia della misteriosa morte di Grosrouvre in Amazzonia, sulla quale Ruche comincia ad indagare, aiutato dalla sua variegata “tribù” e dal variopinto pappagallo. Il filosofo Ruche, per decifrare l’enigma, si mette a studiare aritmetica, algebra, trigonometria e logica, materie che ha odiato fin dai tempi dell’università: a ottantaquattro anni (non è mai troppo tardi) scopre così la bellezza della matematica. Tra le pagine delle opere recapitate a Ruche, si nasconde la soluzione del giallo della morte di Grosrouvre: è stato forse ucciso a causa di alcune sue dimostrazioni che non ha voluto rivelare? O si è trattato di un incidente? Ruche e i suoi amici si ritrovano così scaraventati nell’affascinante mondo della matematica, viaggiano nei libri dall’Egitto ad Atene, da Crotone a Baghdad, facendo la conoscenza di illustri studiosi di ogni epoca: dai matematici dell’antica Grecia a quelli del mondo arabo, fino ad arrivare ai grandi matematici europei dei secoli più recenti. La svolta avviene quando prima Nofutur e poi anche Max vengono rapiti: per liberarli Ruche si ritrova in Sicilia, dove compare lo strano personaggio di Tavio, alias Don Ottavio. Il giallo comincia a dipanarsi, e per giungere alla soluzione finale la scena si sposterà addirittura a Manaus, in Amazzonia: e Nofutur, ovviamente, si rivelerà figura chiave.

Il merito più grande di Guedj è quello di aver saputo fare della matematica una storia appassionante e divertente, facendone risaltare la vera essenza: non formule complicate e astrusi teoremi, ma qualcosa di vivo, trascinante e affascinante.
Il pretesto narrativo in forma di giallo conduce per mano il lettore verso la riscoperta della storia della matematica, fatta di uomini in carne ed ossa alle prese con enigmi ben più intricati di quello della morte di Grosrouvre. Ogni lettore in più che il romanzo di Guedj ha affascinato e convinto della bellezza della matematica è una piccola grande vittoria della buona divulgazione. Anche un pappagallo può servire in questa impresa.

La citazione matematica del sabato (#10)

Io odio l'algebra. John Conway (grande matematico inglese, che ho citato, ad esempio, in questo post )